Apéry Sabiti

Kullanılan sayılar
γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
İkilik sistem 1001100111011101
Onluk sistem 12020569031595942854
Sonsuz kesir olarak yazılışı

Apéry sabiti, matematiğin gizemli sayılarından biridir Elektrodinamik alanında elektronun jiromagnetik oranının ikinci ve üçüncü derece terimlerinin yanı sıra birçok fiziksel soruda karşılaşılan bu sabit, paydasında üstel fonksiyon barındıran integrallerin çözümünde de kullanılmaktadır Debye modelinin iki boyut için hesaplanması buna örnek olarak gösterilebilir Sayı, aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır

Burada ζ, Riemann zeta fonksiyonunu ifade etmektedir Bu sayının yaklaşık değeri

Bu sayının çarpmaya göre tersi rastgele seçilen üç pozitif tamsayının aralarında asal olma olasılığına eşittir

Apéry teoremi

Bu sabit, onun bir irrasyonel sayı olduğunu 1978 yılında kanıtlayan Roger Apéry (1916–1994)'ye atfedilmiştir Bu sonuç, Apéry teoremi olarak adlandırılır Özgün ispatın karmaşık yapısından ötürü anlaşılamaması Legendre polinomlarını kullanan ispatları popüler hale getirmiştir Apéry sabitinin bir doğaüstü sayı olup olmadığı henüz bilinmemektedir

Wadim Zudilin ve Tanguy Rivoal'ın yürüttükleri çalışma, sonsuz çoklukta ζ(2n+1) sayısının irrasyonel olduğunu göstermiştir Ayrıca, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olması gerektiği bulunmuştur

Seri şeklinde yazılışı

Leonhard Euler (Euler 1773) 1772 yılında bu sayıyı seri şeklinde ifade etmiştir (Srivastava 2000, s 571 (111)):

Bu ifade birçok kez yeniden bulunmuştur

Simon Plouffe her uygulamada farklı doğruluk derecesine sahip birçok seri önermiştir Bunlar, (Plouffe 1998):

ve

ifadeleridir

ζ(2n + 1)'in farklı değerleri için geçerli eşitlikler zeta sabitleri maddesinde bulunmaktadır

Bulunan diğer seri ifadeleri şunlardır: