|
Prof. Dr. Sinsi
|
Polinomlar İle İlgili Sorular Ve Çözümleri
Polinomlar ile ilgili Sorular ve Çözümleri
ao, a1, a2  an R ve n - N olmak üzere
P(x) = an xn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + + a1x + ao biçimindeki çok terimlilere polinom denir
3x3 + 2x2 – 5x + 3 bir polinomdur
2 x4 – 3x2 – 6x + 3 bir polinomdur
–3 x2 + 5x – 1 polinom değildir
x3 – x–2 + x + 4 polinom değildir
Bir polinomun derecesi en büyük dereceli terimin derecesidir
Örneğin x3 – 3x2 + 4 üçüncü dereceden bir polinomdur
P(x,y) = x5 + x2y2+ x4y2 + y3 – x gibi iki bilinmeyenlerin üsleri toplamıdır
Örneğin yukarıdaki polinomda x4y2 teriminin derecesi 4+2 = 6 dır
Bir P(x) polinomunun derecesini d ( P(x) ) biçiminde göstereceğiz
Örneğin, x4 – 2x3 + 5x2 + x + 3 ise
d ( P(x) ) = 4 dür
İki polinomun eşitliği (denkliği):
O iki polinomun derecelerinin aynı ve aynı dereceden terimlerinin katsayılarının eşitliği ile tanımlanır
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Q(x) = 2x2 – 3x + 4
iken,
P(x) = Q(x) ise:
ax3 + bx2 + cx + d = 2x2 – 3x + 4 den
a = 0, b = 2, c = –2 ve d = 9 bulunur
POLİNOMLARDA TOPLAMA – ÇIKARMA
Toplama ve çıkarma aynı dereceden terimlerin toplama veya çıkarılması ile yapılır
ÖRNEK :
P(x) = 2x3 + 3x2 – 5x + 4
Q(x) = 5x2 + 6x2 + 5
ise P(x) + Q(x) ve P(x) – Q(x) ifadelerinin eşitlerini bulunuz?
Çözüm :
P(x)+Q(x) = (2x3 + 3x2 –5x + 4) + 5x3+6x2+5
= 7x3 + 9x2 – 5x + 9
P(x)-Q(x) = (2x3 = 3x2 – 5x+4) – (5x3+6x2+ 5)
= 2x3 + 3x2 – 5x + 4 – 5x3 – 6x2 – 5
= –3x3 – 3x2 – 5x – 1
POLİNOMLARDA ÇARPMA
a) Tek terimli bir polinomun çok terimli bir polinomla çarpımını yapmak için çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği uygulanır
Örneğin;
3x2(2x3 – 3x2 + 5x – 3) = 6x5 – 9x4 + 15x3 – 9x2 dir
b) Çok terimlilerin çarpımında, birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimi ile ayrı ayrı çarpılır Bunların toplamı alınır
Polinomların çarpımında, çarpımın derecesi, çarpanların dereceleri toplamına eşittir
d(P(x) Q(x)) = d(P(x) + d(Q(x) ) dır
ÖRNEK :
P(x) = x2 – 2x + 1
Q(x) = x3 – 3x2 ise P(x) Q(x) = ?
Çözüm :
P(x) Q(x) = (x2 – 2x + 1) (x3 – 3x2)
= x5 – 3x4 – 2x4 + 6x3 + x3– 3x2
= x5 – 5x4 = 7x3 , 3x2
ÖRNEK :
P(x) = x3 – 7x
Q(x) = x3 + 7x ise P(x) Q(x) = ?
Çözüm :
P(x) Q(x) = (x3 – 7x) (x3 + 7x)
= x6 + 7x4 – 7x4 – 49x2
= x6 – 49x2
ÖRNEK :
P(x) = x12 + x3 + x2 + 2x + 1
Q(x) = xn + xn–1 + x
( P(x) Q(x) ) ın derecesi 15 ise n kaçtır?
Çözüm :
d ( P(x) Q(x) = d ( P(x) ) + d(Q(x)) olduğu için
15 = 12 + n n = 3 tür
ÖRNEK :
polinomunun derecesi kaçtır?
Çözüm :
n + 24 ve 8n doğal sayı olmalıdır Buradan n = 2 ise
2+24 = 1 ve 82 = 4 bulunur
O halde polinom
P(x) = 3x + 2x4 = 3x2 + 4 biçimindedir Azalan kuvvetlere göre sıralanırsa
P(x) = 2x4 + 3x2 = 3x + 4 dür
P(x) in derecesi 4 olarak bulunur
Polinomlarda bazı özel çarpımlar vardır Bunlara özdeşlikler de denir Bu çarpımları ezbere bilmek gerekir Bunları tersinden kullanarak çarpanlara ayırmaları yaparız
ÖZDEŞLİKLER :
1) (x – y) (x + y) = x2 – y2
2) (x – y) (x2 + xy + y + y2
3) (x – y) (x3 + x2y + xy2 + y4) = x4 – y4
4) Genel olarak
(x–y) (xn–1 + xn–2y + xn–2 y2 ++ xyn–2 + yn–1)=xn–yn dir
5) x + y ≠ 0 koşulu ile
(x + y)0 = 1
(x + y)1 = x + y
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(iki terimli toplamın karesi: birincinin karesi + birinci ile ikincinin çarpımının iki katı + ikincinin karesidir)
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(İki terimin toplamının küpünü siz yukarıdaki gibi ifade edin
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 dür
Terimlerde xin üzeri bir azalırken y nin üzeri bir artarak sıra ile yazıldığına dikkat ediniz Kat sayıları paskal üçgeninden bulunur
Paskal üçgeni:
Örneğin (x + y)5 in açılımı istense 5 derece (6 sıra) karşısında bulunan sayılar sıra ile katsayı olarak alınırlar ve,
(x+y)5 = x5 + 5xy4 + 10x3Y2 + 10x2y3 = 5xy4 + y5 olarak bulunur
6) x – y ≠ 0 için
(x – y)0 = 1
(x – y)1 = x – y
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
----------------------------------------------------------------------------------------
2 Kaynak
POLİNOMLAR
TANIM
n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + an – 1xn – 1+anxn
biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n dereceden polinom (çok terimli) denir
TEMEL KAVRAMLAR
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + an – 1xn – 1+anxn
olmak üzere,
Ü a0, a1, a2, , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir
Ü a0, a1x, a2x2, , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir
Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir
Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve
der [p(x)] ile gösterilir
Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir
Ü a0 = a1 = a2 = = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır
Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir Sabit polinomunun derecesi sıfırdır
Her polinom bir fonksiyondur Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir
Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır
ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR
P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir
POLİNOMLARDA EŞİTLİK
Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir
Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir
Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır
Herhangi bir polinomda; kat sayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır
P(ax + b) polinomunun; kat sayıları toplamı
P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir
Ü P(x) polinomunun;
Çift dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı:'dır
Tek dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı:'dır
POLİNOMLARDA İŞLEMLER
1 Toplama ve Çıkarma
P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 +
Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 +
olmak üzere,
P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 +
P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 +
olur
2 Çarpma
İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir
3 Bölme
der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,
P(x) : Bölünen polinom
Q(x) : Bölen polinom
B(x) : Bölüm polinom
K(x) : Kalan polinomdur
Ü P(x) = Q(x) B(x) + K(x)
Ü der [K(x)] < der [Q(x)]
Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür
Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]
Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır
Bunun için;
1) Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır
2) Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür
3) Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır
4) Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır
5) Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir
KALAN POLİNOMUN BULUNMASI
Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz
1 Bölen Birinci Dereceden İse
Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine yazılır
P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir
• P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan
Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa
Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur
P(x) polinomunun a(x – b) (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,
P(x) = a(x – b) (x – c) Q(x) + mx + n olur
P(b) = mb + n (1)
P(c) = mc + n (2)
(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur
Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir
3 Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa
Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur
1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur
2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır
• P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölümünden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır
4 P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+, n > 1)
P'(x) : P(x) polinomunun 1 türevidir)
P(x) = axn + bxm + d ise,
Pı(x) = a nxn–1 + b mxm–1 + 0
Pıı(x) = a n (n – 1)xn–2 + b m(m –1)xm–2 dir
P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise,
P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan
K(x) = (x – a) k2 + k1 olur
G BASİT KESİRLERE AYIRMA
a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,
eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur
eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur
Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen de yazılır
Aynı işlemler B için de yapılır Buna göre,
DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER
m > n olmak üzere,
der[P(x)] = m
der[Q(x)] = n olsun
Buna göre,
1) der[P(x) ± Q(x)] = m dir
2) der[P(x) Q(x)] = m + n dir
3) P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm polinomu B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir
4) k Î N+ için der[Pk(x)] = k m dir
5) der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır
|