Diskriminat
 

DİSKRİMİNANT


Diskriminat,cebirsel bir denklemin katsayılarından hesaplanan ve denklemin çözümlerine ilişkin bilgi veren sayı.ax2+bx+c=0 biçimindeki ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı b2 – 4ac”dir.Üçüncü dereceden x3+xax2+bx+c=0 denkleminin diskriminantı ise a2b2+18abc-4b3-4a3c-27c2 biçimindedir.Katsayıları gerçek sayı olan ikinci ya da üçüncü dereceden denklemlerde ,denklemin diskriminantı 0”dan büyükse yalnızca gerçek kökler, 0”a eşitse en az ikisi birbirine eşit yalnızca gerçek kökler ve 0”dan küçükse iki sanal kök vardır.İkinci dereceden ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 genel ( konik) denkleminin diskriminantı,denklemin özelliğini ( elips,hiperbol ya da parabol ) tanımlar.
Diferansiyel denklemlerin diskriminantları,çözüm kümelerine ilişkin bilgi veren cebirsel denklemler biçimindedir.


Kaynak;AnaBritannica cilt 10 frmsinsi.net için derlenmiştir.

Cevap : Diskriminat
 

Diskriminant matematik biliminde bir cebirsel kavramdır. Gerçel katsayılı ikinci derece polinom denklemler'in çözümü için kullanılır. İkinci dereceden büyük herhangi bir polinom'un köklerinin bulunması için de bu kavram, köklerin toplamı için gereken ifadenin ve köklerin çarpımı için gereken ifadenin bulunması suretiyle genişletilmiştir. Bu arada bir polinom için çoklu köklerin varlığı veya yokluğu için gereken koşul da diskriminant'in varlığı ve yokluğu ile bulunabilmektedir.


http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721540


Diskriminant kavramı polinomların incelenemesinden daha başka matematik alanlarda da kullanılmaktadır. Bu kavramın kullanışı konik kesitlerin ve genel olarak kuadratik şekillerin daha iyi anlaşılmasına izin vermektedir. Galois teorisi'nin kuadratik formlara veya sayılar sonlu uzantısı hakkındaki gelişmelerde de diskriminant kavramı rol oynar. Matris sistemindeki determinant hesaplanmasının temelinde de diskriminant kavramı yatmaktadır.

İkinci derecede polinom

Gerçel katsayılı denklemin çözülmesi

İkinci derecede bir polinom denklem ele alalım ve denklemde a, b ve c üç gerçel sayılı katsayı olsun ve a değeri 0 dan değişik olsun
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721540 denklemi ve http://upload.wikimedia.org/wikipedi...958820361a.png olsun. Bu denklemin diskriminantı şöyle tanımlanan Δ (delta) sayısı ile ifade edilir:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721540 Diskiriminant'ın bilinmesi bu ikinci derece polinomun çözülmesini sağlar:
a) Δ > 0 yani Δ pozitif ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. x1 ve x2 olarak ifade edilen bu iki kök şu formül kullanılarak bulunur:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721540 b) Δ = 0 yani Δ sıfıra eşit ise, denklemin, değerleri birbirleriyle çakışan, yani birbirine eşit, iki gerçel kökü vardır:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721540 c) Δ < 0 yani Δ negatif ise, denklemin gerçel kökü yoktur yani denklemin çözümü bulunamaz.
Kompleks katsayılı ikinci derece denklemin çözülmesi

Ana madde: Kompleks katsayılı denklem kökü Eger a, b ve c kompleks sayılar ise veya denklemin çözümü için kompleks sayı kullanılması kabul edilmişse durum biraz daha değişiktir. D'Alembert-Gauss teoremine göre denklemin en aşağı bir tane çözümünün bulunması gerekir. Kompleks sayılıların ise her zaman 2 tane kare kökü bulunur; yani öyle bir δ değeri vardır ki bunun karesi ( δ2) Δ'ya eşittir. Buna göre
a) Eğer diskriminant sıfır dan değişik bir değerde ise, denklemin iki çözüm değeri, yani x1 eve x2, şu formülle bulunur:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721540 b) Eğer diskriminant değeri sıfır ise denklemin çözümü olarak birbiriyle çakışmış eşit şu iki tane kök http://upload.wikimedia.org/wikipedi...7cae8826de.png bulunur:

http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721540 Kısaltılmış diskriminant

Bazan ikinci derecedeki polinom denklem şu şekilde yazılmaktadır:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721540 Bu şekilde değişik bir diskriminant bilinir ve bu kısaltılmış diskriminant (Δ') şöyle tanımlanır:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721540 Eğer bu denklemin kökleri varsa, şöyle bulunurlar:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721540 Örnekler

a) İlk olarak şu örnek denklemin çözümünü arayalım:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721796 Çözüm için, yani iki kok x1 ve x2 bulmak için, şu Δ diskiriminant ifadesi incelenir :
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721796 b)İkinci örnek olarak verilen denklem şudur:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721796 ve bunun diskriminant değeri sıfır olarak şöyle bulunur:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721796 Bu demktir ki bu denklem çözümü birbirine eşit iki gerçel kök olur
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721796 Bu birbirine çakışık iki kök değeri -3 olur.

c) Son olarak örnek denklem şu olsun:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721796 Bu denklem işin diskriminant Δ değeri şu olur:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721796 yani Δ negatifdir. Bu halde denklemin gerçel sayılarla kökleri bulunmamaktadır. Faket bu halde kompleks kökleri bulunabilir. Diskriminantın kare kökü i√3 olur ve burada i "sanal birim" operatorüdür. Bundan dolayı şu çözüm ortaya çıkar:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721796 .
İkinci boyutta kuadratik formlar

Ana madde: Kuadratik form

http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345722138

Eger kuadratik formun diskriminantı negatif ise, φ(x, y) = a ile tanımlanan R2 noktaları ensamblı bir hiperboldur. Eğer a pozitif ise, mavi ile gösterilen eğriye benzer şekil alir. Eğer a negatif ise ortaya çıkan eğri yeşil eğri benzeridir. Eğer a sıfıra eşitse, hiperbol dejenere olur ve kırmızı eğri benzeri bir eğri oluşur.


Gerçel sayılar seti üzerinde, iki değişkenli (x ve y) iki boyutlu φ kuadratik formu şu formülle ifade edilir:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...7eaf4b448c.png Kuadratik form aynı zamanda bir matris ifade ile de gösterilebilir:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721796 Bu matris şeklinde ifadenin determinantinin açılması, daha önce diskriminat için verilen ifadeye, yani -1/4(b2 - 4ac) ifadesine eşittir. Bir geçen matris P kullanarak yapılan bir baz değişmesi bu determinatın değerinde değişme yapar. Daha detaylı bir açıklama ile, yeni baz için değer eski baz ile P determinantının karesinin çarpımına eşittir ve determinantın işareti değişmeden aynı kalmaktadır. Bu analizin incelenmesi daha ayrıntılı bir maddede yapılmaktadır.
Bunun için iki boyutlu kuadratik formları için üç tane farklı tanımlama yapılmaktadır. B bazında olan kuadratik formun dsiskriminantı, B bazındakı kuadratik forma bağlı olan matrisin determinatı olur. Daha onceki hale benzer bir açıklama ve hesaplama ile kuadratik formun diskriminantının b2 - 4ac. ifadesine esit olduğu tanımlanabilir. Sonra, kuadratik formun determinantına bağlı tek değişmez gibi, diskriminant da +1, 0 veya -1 değerleri alabilen determinant işareti olarak tanımlanır.
Diskriminant kuadratik formları üç tane değişik gruba ayırmaktadır. İki boyutta, kanonik bazda determinatın değerinin diskrimantı tanımlaması yapıldıktan sonra, eğer verilmis bir a degeri icin diskriminantın işareti pozitif ise, φ(x, y) = a değişebilirinin (x, y) noktalarının Ea ensamblı bir elipse karşıttır veye ensambl boştur. Eğer diskriminant sıfır ise, bu halde Ea bir parabol'a karşıt olur. Eğer diskriminant negatif ise, Ea bir hiperbol olur. Kuadratik formlar üç farklı şekilde konik seksiyon elde etmeye izin verir.
Herhangi bir derecede polinom

Bir polinom için kök değerini diskriminant yardımı ile çıkarma yöntemi ikiden büyük polinomlar için generalize edilmemmıştır. Fakat polinomun diskriminantı kavramı yine de kullanışlıdır. Doğrusal cebir içinde bir endomorfizim minimal polinomunda çoklu köklerin mevcut bulunması endomorfizmin tabiatını değiştir. Bu şekilde mevcudiyet diagonalleştirme operasyonu imkânsiz yapar. Bu açıklama rasyonel sayılarai da içine aldığında, indirgenemiyen polinomların (yani faktorize edilemeyenler) çoklu köklerinin bulunmasi her türlü hal için imkânsizdir. Bu hal tüm haller için gerçek değildir. Galois teorisi içinde yapılan bu ayrım önemlidir ve sonuçlar konfigirasyona bağlı olarak değişik olabilir.


Örnekler

• İkinci derece polinomlar için ve matris notasyonu kullanarak şu ifade ele geçirilir :

http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721227

• Üçüncü derecede polinomları için genellikle bormalize edilmiş polinom, yani ana diagonal elemanlarının hepsi 1' e eşit olan matrix, kullanılır ve şu ifade ortaya çıkar:

http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721227 Bundan şu formül çıkartılır [1] :
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721227 Bu ifade epey karmaşık görünmektedir; fakat bunun bir uygun nedeni vardır. Geleneksel olarak bu karmaşık ifade kullanılırsa yapılan ikamelerle şu şeklide bir polinom elde edilebilir ve bunun diskriminanti gayet basittir:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721227 Gerçel katsayılı 3uncu derece polinom denklemi halinde, eğer dışkırımınant kesinlikle negatif ise denklemin üç tane ayrı değerde gerçel çözümü bulunur; eğer determinant sıfır ise üç tane birbirine çakışışan tek bir gerçel değerde çözüm vardır ve eğer determinan kesinlikle pozitif ise tek bir gerçel çözüm nbulunupo diğer iki tane çözüm ise birbirlerine conjuge kompleks sayılardır.

• Elips eğrileri iki değişkenli üçüncü derece polinomların özel bir şeklinden ortaya çıkarlar.

Elipsin en basit bir halinde denklem şöyledir: http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721227 Bunda http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721227 katsayıları gerçel sayılardır. Bu halde diskriminant şöyle tanımlanır: http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721227.
Genel şekilde ifade

P dereceli polinom için genel diskriminant ifadesi şöyle tanımlanır:
http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721227 ve bundan şu ortaya çıkar:


http://frmsinsi.net/attachment.php?a...1&d=1345721227
Diskriminant cebirsel tamsayılar halkası

Sayilar cebiri teorisi tanimi farkli gorunen bir diskriminant kavrami kullanir. Bu kavram bir kuadratik formdaki determinanta karsittir ve matamati halka A icin kullanilir. Her diskriminantin her iki tanimi da birbiriyle cok yakin olarak baglidirlar.
Eğer A halkasini (tumuyle relatiflerden olusan bir Z icin) Z[a] ile esit yapan bir cebirsel tamsayı a mevcutsa, a icin minimal polinom Z icindeki katsayilari aynen icerir. A'nin polinomlara gore tanimlanmis anlami ile cebirsel sayı teorisine gore halkanin diskrimanti anlamı ile tamamne esittir.