Kaos, Karmaşıklık Bilimi Ve Yeni Bilimsel Anlayışlar

Kaos, karmaşıklık bilimi ve yeni bilimsel anlayışlar - 1

Kaos'u anlamak

Kaos kelimesi, eski Yunan medeniyetinden beri kullanımda olan ve “mutlak evrensel düzen” anlamına gelen “cosmos” kelimesinin tam zıddı; yani “mutlak anarşi, kargaşa ve düzensizlik” anlamında kullanılmış bir kelimedir Milattan önce 8 Yüzyılda yaşamış olan Hesiodos, Theogony adlı eserinde “her şeyden önce kaos vardı” ifadesini kullanmıştı Eski Yunanlılar kaosun kralsızlık olmasının yanında, düzeni doğuran bir özelliğe de sahip olduğunu düşünüyorlardı Fakat yirminci yüzyıla kadar bu anlamda herhangi kayda değer bir fikir üretilmemiştir Kaos kelimesinin yaygın olarak çağrıştırdığı anlam, evrende, en azından bir takım hadiselerin matematiksel denklemlerle modellenip öngörülemeyecek denli karmaşık ve rastgele kuvvetlerin etkisi altında bulunduğunu veya hareket ettiğini ifade eder

Bu gün bilim dünyasında kullanılan kaos kavramı ise, aşağıda detaylandırmaya çalışacağım gibi bu yaygın anlamından çok farklı olarak, görünüşte düzensiz ve öngörülemez olarak sınıflandırılabilecek bir çok sistem ve davranışın, aslında üst düzeyde matematiksel bir düzene sahip olduğunu gösteren yeni bir fizik alanını simgelemektedir Bu gün “kaos teorisi” ve onun çerçevesinde meydana gelen gelişimi daha iyi anlayabilmek için bilimin geçirdiği dönüşüme kısa bir bakış atmak yararlı olacaktır

Belirlenircilik (Determinizm)

Isaac Newton, maddenin temel etkileşim kanunlarını bularak adını bilim tarihine silinmez bir şekilde yazdırmıştı Newton’un tanımladığı oldukça basit ve anlaşılır hareket kanunları, kütleçekimi ve ivme gibi konular, o zamana kadar çözülememiş olan bir çok soruna köklü ve kalıcı çözümler sağlamıştı Artık atılan bir okun zamanla hızının değişmesini açıklamak için Newton’un ortaya koyduğu hareket kanunlarını kullanarak ve başlangıç şartlarını (kuvvetleri, hareketi başlatan kuvvetleri ve harekete karşı olan etkileri) kesin bir şekilde bildiğimiz takdirde okun düşeceği noktayı çok büyük bir kesinlikle hesaplayabilirdik Newton’un kanunları o kadar kuşatıcıydı ki, Newton’dan sonra gelen takipçileri doğal olarak evrende hesaplanamaz, anlaşılamaz hiç bir olay kalmadığı düşünmeye başladılar Nitekim Newton’un çağdaşı bir başka bilim adamı olan Laplace, “evrenin herhangi bir anındaki tüm değişkenleri bilen bir zihnin, evrenin geçmişini ve geleceğini herhangi bir zaman süresi boyunca rahatlıkla hesaplayıp ortaya koyabileceğini” öne sürmüş ve bu gün “Laplace’ın Cini” olarak bilinen kavramı ortaya koymuştu Bu kavramın özünde, Newton’cu yönteme duyulan tam ve sarsılmaz bir güven vardı

Elbette doğada, Newton’un ortaya koyduğu kanunlarla açıklanamayan bir çok karmaşık hadise vardı Her ne kadar aya gönderilen roketlerin hedeflerine doğru bir şekilde varmasını sağlayan kanunlar Newton’un kanunları olsa da, bu kanunların, doğayı ve evreni anlamak açısından bize tüm cevapları sağlamaktan uzak oldukları yavaş yavaş anlaşılmaya başlandı Düşen bir yaprağın hareket yolu, akan bir suyun düzgün mü girdaplı mı akacağı problemi, hava koşullarının uzun süreli öngörülmesi gibi karmaşık sorunlar kolayca çözülecek cinsten değildi Fakat Newton’un yasaları o kadar evrenseldi ki bu karmaşık sistemleri bile hesaplayabilirdi; tek sorun, bu sistemler üzerine etki eden değişkenleri yeterince hassas bir şekilde ölçemiyor olmaktı Teknoloji gelişip ölçüm yöntemleri ilerledikçe bu sıkıntı da açılacak ve evrende insanoğluna gizli hiç bir bilgi kalmayacaktı Bu görüşe genel olarak Belirlenircilik (determinizm) adını veriyoruz Kısaca determinizm, meydana gelen tüm olayların, geçmişte meydana gelmiş olayların kaçınılmaz sonucu olduğu öne süren bir felsefi görüştür

Görecelik Devrimi

Newton’cu paradigma olarak adlandırılan bakış açısı belki de dünya tarihinin en uzun süre baskın olarak kabul edilen bilimsel paradigmalarından birisidir ve derin etkisi halen devam etmektedir Newton’un öncülük ettiği evrensel fizik yasaları 16 Yüzyıldan yirminci yüzyıla kadar hakimiyetini sürdürmüş, bütün testlerden başarıyla geçmiş ve ciddi olarak sorgulanması için ortada bir sebep görünmemişti Yirminci yüzyıla girerken, Alman vatandaşı Albert Einstein, bilim dünyasında depreme neden olan buluşlarını ardı ardına yayınlamaya başladı Bunlardan en önemlisi, bu gün görecelik (relativity) kuramı olarak bildiğimiz kuramdır Bu gün halen tartışmasız geçerliliğe sahip olan bu zarif kuram bizlere, hız, konum ve zaman gibi, o zamana kadar “mutlak” zannedilen değişkenlerin, ölçümü yapan gözlemcinin referans çerçevesine göre değişiklik gösterdiğini söyledi Yani gözlemcinin konumu ve hızı, yaptığı ölçümleri etkiliyordu ve artık mutlak ölçümler yerine “izafi” (göreceli) ölçümlerden söz etmek gerekiyordu Einstein’a kadar bu konunun dikkat çekmemesinin en önemli nedenlerinden birisi, izafiyet etkilerinin günlük hayatımızda hissedilmezken, ancak çok yüksek hızlara ulaşıldığında veya engin uzay boşluğunda seyahat eden ışık ışınlarında gözlenebiliyor olmasıydı İzafiyetin etkileri (rölativistik etkiler) günlük yaşamımızda ölçülemeyecek kadar küçüktü Günlük hayatımızı doğrudan etikelemese bile, bilimsel yönteme kesinsizlikleri ve izafiyeti sokması açısından çok büyük anlayış değişikliklerine neden oldu

Kuantum Devrimi

Einstein’ın çalışmalarıyla hemen hemen aynı dönemlerde, bu büyük bilimadamının buluşlarından da ilhamla, fizikte başka yenilikler oluyordu “Kara cisim ışıması” adı verilen bir fiziksel olayı açıklamakta çaresiz kalan bilim dünyası, Max Planck’ın bulduğu çözümle bir anda yepyeni bir gündeme sahip oldu Planck, çözümsüzlüğe mahkum görünen denklemlere, elinde hiç bir kanıt olmamasına rağmen, enerjinin “küçük ve belirli paketler” halinde yayıldığı fikrini ekleyerek çözümü kolayca elde edebileceğini göstermişti Planck’ın “quanta” adın verdiği bu paketçikler, varsayımsal olsa da, denklemlerin deneysel sonuçlarla uyumlu sonuçlar vermesini sağlamıştı O zamana kadar kesintisiz bir radyasyon olduğu düşünülen enerjinin, aslında belirli büyüklükteki “paketler” halinde salınması fikri, o dönem için büyük bir devrimdi ve Planck’ın kullandığı ve “miktar” anlamına gelen “kuanta” sözcüğünden yola çıkılarak bu bulguların arkasından ortaya çıkan yeni fizik, “kuantum fiziği” olarak anılmaya başlandı

Kuantum fiziğinin başarısı sadece bu özel olayı açıklamakla sınırlı kalmadı Nisbeten kısa bir süre içinde Warner Heisenberg, Niels Bohr, Erwin Schrödinger, Wolfgang Pauli ve daha bir çok bilim adamı, evrenin yapıtaşları olan atomların dünyasındaki gariplikleri birer birer keşfetmeye başladılar Heisenberg, kuantum fiziği deneylerinde, günlük deneyimlerimizle hiç uyuşmayan bir evreni keşfetti Daha da tuhafı, bu evrenin bizzat bizleri ve etrafımızdaki tüm maddeyi oluşturan atomların yapıtaşlarında gizli olmasıydı Heisenberg, kendi adıyla anılan “belirsizlik ilkesi”ni ortaya koyarak, atom altı düzeyde ölçümlerimizin hep bir belirsizliğe mahkum olacağını, ilkesel olarak ispatladı Schrödinger, maddenin temel yapıtaşlarını etkileyen “dalgamsı” dokunun matematiğini bize sağlarken, her madde parçasına bir “dalga”nın eşlik ettiğini de Fransız bilim adamı Louis de Broglie’den öğrendik Kısacası, mikro alem, hiç de bildiğimiz dünyaya benzmiyordu; orada “ışınlanma”, “aniden belirme veya yok olma”, “mesafeleri hiçe sayan anında haberleşmeler” ve “birden fazla yerde aynı anda bulunabilme”, “birden çok halde aynı anda bulunma” gibi ancak bilim-kurgu hikayelerinde veya masallarda duyabileceğimiz şeyler, adeta sıradan gerçekliğin parçalarıydı! Bu parçacıklar çok sayıda bir araya gelmeleriyle oluşan bildiğimiz dünya ise, bu mikro alemden çok farklı olarak klasik fizik kurallarının hakim gözüktüğü bir evrendi İkisi arasındaki bu geçişin nasıl olduğu bilimadamları tarafından hala anlaşılmaya çalışılan önemli gizemlerden birisidir

Mikro alemde karşımıza çıkan tüm bu yeni olaylar, bilimadamlarının “determinizm” konusunu en baştan sorgulamasına neden oldu Fakat determinist dünya görüşünü asıl sarsan buluşlar, büyük ölçekli (makro) sistemlerle uğraşan araştırmacılardan geldi Zira, evrenin yapıtaşlarını oluşturan küçüğün de küçüğü yapıtaşlarının bu garip davranışları belki bir şekilde kabul edilebilirdi; fakat artık her gün hayatımızın içinde olan nice olayın hiç de sandığımız gibi olmadığını anlaşılmaya başlanıyordu

Kaos biliminin doğuşu

1971 yılında, Lorenz adlı bir meteoroloji uzmanı, hava tahminleri yapmakla uğraştığı laboratuavarındaki bilgisayarında garip bir şeyler keşfetti: Lorenz, hava durumunu bilgisayarında modelleyerek, sayısal bir hava durumu tahmin sistemi üzerinde çalışıyordu Hava olaylarını rakamlara ve kodlara indirgemiş ve sonra bilgisayara öğrettiği kurallarla -ki bunlar meteorolojik kurallardı- bu girdilerden nasıl hava sonuçlarının çıkacağını, bilgisayardan aldığı çıktılarla gözlemlemekteydi Bigisayarlar, bir insanın ömrünün yetmeyeceği hesaplamaları ve tekrarlı işlemleri bıkıp usanmadan, hızlı bir biçimde yapabilme özelliğine sahiptirler O günkü örnekleri çok düşük kapasiteli ve yavaş cihazla olsalar da, günler boyu, hiç durmadan böyle hesaplar yaparak, sonuçları çıktı olarak vermek amacıyla kullanılıyorlardı Bu çıktılar, hava koşullarını belirleyen parametrelerin değişkenliklerini ifade eden sayı dizileri şeklindeydi ve Lorenz bunların grafik analizlerini yaparak, sayıları hava durumundaki değişikliklere dönüştürüyordu

Bir gün Lorenz, bilgisayarın yaptığı işlemi, orta yerinden başlatmak istedi; bilgisayar süregiden bir işlem yaparken, işlemi kesip, makinanın vermiş olduğu ara değerlerden birini, başlangıç değerleri olarak bilgisayara girmeyi denedi Kısa bir süre sonra hayretle farkettiği üzere, bilgisayarın verdiği çıktılar bir önceki hesaplama dizisiyle hiç bir ilgisi kalmamış, tamamen farklı sonuçlar vermeye başlamıştı Bu yeni serinin önceki seri ile hiç bir alakası yoktu artık Lorenz önce makinanın bozulduğunu düşünse de kısa süre sonra durumu farketti Kendisi klavyeden ondalık bir sayı değerini bilgisayara girerken, virgülden sonraki üç basamağı girerek işlemi tekrar başlatmakta bir sakınca görmemişti; çünkü bu kadar küçük bir ondalık değerin, hesaplamalar üzerinde bir etkisi olmayacağını düşünüyordu (0506127 yerine 0506 girmişti) Fakat sonuçlar hiç de onun düşündüğü gibi değildi Lorenz’in bilgisayara girerken yok saydığı o ondalık basamaklar, değer olarak hava akımları içinde “bir kelebeğin kanat çırpması” kadar önemsizken, kısa bir süre sonra, izleyen sonuçlarda büyük farklılıklara neden olmuştu Yani bir kelebek sadece kanat çırparak büyük bir fırtına çıkarmıştı! Lorenz bu bulgularını yayınladığı makalesinde, bu gün oldukça popüler bir terim olan “kelebek etkisi”ni ilk kez kullanmıştır (Ruelle, 1990) “Kelebek etkisi”, dünyanın bir yanında kanat çırpan bir kelebeğin, dünyanın bambaşka bir köşesinde fırtına çıkmasına sebep olabileceğini söyler Elbette kanat çırpan her kelebek bir fırtınaya sebep olmaz; fakat meydana gelecek bir fırtınayı çok önceden tahmin etmek istiyorsak, hava durumu gibi karmaşık bir sistemde, bir kelebeğin kanat çırpmasından kaynaklanan minik hava akımları kadar küçük değişkenleri bile hesaba katabilecek bir ölçüm ve modelleme sistemimiz olması gerekir Kelebek etkisi kavramı, kaotik sistemlerin önemli bir özelliği olan “başlangıç şartlarına hassas bağlılık” özelliğini de veciz bir biçimde ifade eder



Şekil 1 Üç boyutlu faz uzayında Lorenz’in dinamik sisteminin davranışlarını gösteren Lorenz çekeri

Lorenz’in temellerini attığı kaos fiziği, bu gün bir çok uygulama alanına sahiptir Bu fizik dalı, ‘doğrusal olmayan’ (nonlinear) sistemleri inceler Bu sistemleri aslında günlük hayatımızda hepimiz tanırız: Bir nehirde dalga dalga akan su, suya damlayan bir damla mürekkebin su içinde dağılışı, ağaçtan düşen bir yaprağın düşüş güzergahı, bir yağmur damlasının camda kayarken izlediği yol… Bunlar hep doğrusal olmayan sistemlere örnektirler

Bunlar neden doğrusal değildir? Çünkü, hareketleri önceden hesaplanıp tahmin edilemezler Doğrusal olmayan bir sistem her zaman, doğrusal bir sistemde olduğu gibi, ‘girdi’leri ile orantılı bir ‘çıktı’ vermez Elde edilecek cevap veya çıktı, sistemin iç dinamiklerinin o anki haline ve sistemin başlangıç koşullarına bağlıdır Örneğin açık havada ağaçtan düşen bir yaprağın yerde hangi notaya düşeceğini tam olarak hesaplamamız imkânsızdır Laboratuarda sabit koşullar altında (rüzgârsız bir ortamda örneğin) oldukça yakın bir şekilde hesaplayabileceğimiz yaprağın yere varma noktası, açık havada çok karmaşık değişkenlerin rol aldığı karmaşık bir hadiseye dönüşüverir Yahut yediğiniz bir tatlıyı bir kez daha tattığınızda, ondan bambaşka bir tat alırsınız aslında Çünkü artık siz, o tatlıyı “ilk kez yiyen” bir insan değilsinizdir Kısacası, bu tip hadiseler ‘kaotik’tir Rastlantısal da değildirler, çünkü içkin ve karmaşık bir düzene sahiptirler Aslında en büyük kaotik sistemler, canlılar olarak bildiğimiz ve bizim de dâhil olduğumuz sistemlerdir

Garip Çekerler

Garip çekerler (strange attractors), tamamen rastlantısal davranıyormuş gibi gözüken kaotik sistemlerin davranışlarının uzun süreli seyirlerini incelemekte kullanılan özel bir grafik yöntemi olan ‘faz uzayı’ diyagramlarıdır Burada ortaya çıkan karmaşık ama düzenli hareket desenleri, halen bu bilim dalı ile yeni tanışanları şaşırtmaya devam ediyor Çekerler, incelenen sistemin gerçek dünyada doğrudan gözlenemeyen bazı değişkenlerinin zamana karşı nasıl bir dönüşüm geçirdiğini gösteren grafiklerdir İncelenen sistem “kaotik” özelliklere sahip olduğunda, ortaya çıkan çekerler de “garip” özelliklerinden dolayı “garip çekerler” olarak adlandırılırlar Örneğin, Lorenz’in hava durumuna ilişkin ortaya koyduğu matematiksel model, böyle bir grafikle görselleştirildiği takdirde, karşımıza, üç boyutlu uzayda, kanatları yarı açılmış bir kelebeği andıran bir görüntü çıkar (Şekil 1) Bu desenin anlamı özetle şudur: Hava koşulları tamamen rasgele bileşenlerin etkisi ile oluşuyor gibi görünse de, aslında belli bir sınır dahilinde ve karmaşık dinamik kurallarla hareket eden değişkenlerden oluşur Siz, herhangi bir anda, hava koşullarının ne olacağını tam olarak kestiremezsiniz; fakat hava koşullarının bu grafiğin izin verdiği şartların dışına taşmayacağını bilirsiniz Çünkü bu bir davranış grafiğidir ve sistemin belli bir zaman aralığında ve verilen başlangıç koşullarıyla gösterebileceği tüm durumları bir arada temsil eder Sistem buradaki sınırlar dışına taşamaz Taşsa bile, bu deseni oluşturan iç kuvvetler o denli güçlüdür ki, sistem yine kendisini bu sınır döngü içine ‘çeker’ İşte bundan dolayı, faz uzayı diyagramlarında ortaya çıkan bu tip görüntülere ‘çeker’ (attractor) adı verilir Kaotik çekiciler, zaman içinde asla kendini aynen tekrar etmeyen, fraktal karmaşıklığa sahip eşsiz biçimlerdir

Farklı sistemler, incelenen değişkenlerine göre farklı çeker biçimleri ile karşımıza çıkarlar Örneğin, düzenli salınan ve sönümlenmeye uğramayan (enerjiyle beslenen) basit bir sarkacı ‘sistem’ olarak alırsak, sarkacın anlık hızını anlık konumuna göre bir grafiğe döktüğümüzde, ortaya bir ‘daire çeker’ çıkacaktır Çünkü bu sistem, belli bir anda, salınımın iki aşırı ucu arasında bir yerde olmak zorundadır ve bu da faz uzayında kapalı bir “daire” ile temsil edilir

Daha karmaşık sistemlerde ise, daha karmaşık desenler görülür Örneğin internette örneklerine bolca rastlayabildiğimiz Lorenz, Duffing, Henon veya Rössler çekerleri, böyle karmaşık ve özel şekillerdir



Şekil 2 Rössler çekeri

Garip grafik biçimler olarak “çeker”ler sadece matematiksel soyutlamalardan türetilmiş sistemlerle ilgili değildir İnsan iradesinin de dahil olduğu gündelik bir çok olayın uzun sürelerle izlenmesi sonucu kaotik bir davranışa sahip olduğu ve belli “çekerler” ile uyumlu davranışlar sergilediği gösterilebilmektedir Bunların arasında en meşhur örnekler, vahşi hayvan topluluklarının birey sayılarında yıllara göre meydana gelen değişiklikler, yıllar boyu tutulmuş kayıtlardan yola çıkılarak incelenen Nil nehrinin yükselme ve alçalma davranışları, veri aktarım hatlarında meydana gelen gürültülerin periyotları (son ikisi bizzat fraktal geometrinin kurucusu Benoit Mandelbrot tarafından incelenmiştir) ve alınıp satılan kağıtların değerlerinin sürekli dalgalandığı menkul kıymetler borsaları gibi sistemlerin davranışlarıdır

Kaotik Sistemler

Kaos bilimcileri artık, gerçekte gözümüze görünen düzensizliklerin çoğu zaman bir aldanma olduğu görüşünde birleşiyorlar (Horgan, 1995) Görünürde etrafımızdaki hemen her olayda bir hesaplanamazlık, bir karmaşa, bir önceden bilinemezlik hüküm sürmekte Fakat bu hesaplanmazlık, rasgelelik ve düzensizlik anlamına da gelmiyor Zira kaos terimi, günlük yaşamda kullanıldığından farklı olarak, kısmen hesaplanabilen, fakat içkin bir düzene sahip karmaşıklık anlamında kullanılmakta Her sistem veya her hadise, şu veya bu şekilde bir yerlerinde kaotik bileşenler içerir

Kaotik sistemlerin önemli özelliklerini şöyle sıralayabiliriz:

1 Hesaplanamaz olmak: Karmaşık veya kaotik sistemlerin belli bir zaman sonra nasıl davranacaklarını tam olarak kestirebilmek imkansızdır Bunun en bildik örneği, hava durumu tahminleridir Bir-iki gün için yapılan hava tahminleri genellikle -pek büyük bir sapma olmaksızın- doğru çıkarken, hala bir haftalık veya yıllık olarak güvenilir bir hava tahmini yapmamız mümkün değildir Elbette birisi ‘seneye şu gün, hava parçalı bulutlu olacak’ diyebilir ama bunu bilimsel yoldan hesaplayabilmemiz imkansızdır Çünkü Lorenz’in da kaza eseri gösterdiği gibi, en küçük bir değişkeni (örneğin bir kelebeğin kanat çırpmasından ortaya çıkan hava akımlarını) ihmal etmek bile, hesabımızın yanlış çıkmasına neden olur Eğer yukarıdaki tahmini yapan kişi, insanüstü bir duyu yolu vb kullanmıyorsa ve hava gerçekten tahmin ettiği gibi çıkmışsa, ya çok şanslı biridir; yahut bildiğimiz bilimsel yöntemler dışında başka bir bilgi alma yolu keşfetmiştir

2 Başlangıç koşullarına hassas bağlılık: Bu özelliği bu gün bizler “kelebek etkisi” olarak yakından tanıyoruz Lorenz’in yuvarlayarak bilgisayara girdiği milyonda birlik bir değişikliğin sistemin davranışında kısa bir süre içinde büyük değişiklikler yapması, başlangıç koşullarına hassas bağlılığın bir sonucu Bir çok kaotik sistem, başlangıç koşullarındaki (yahut sistemin incelenmeye balandığı andaki durumunu belirleyen değerlerdeki) ölçülemeyecek kadar küçük değişimlere çok farklı tepkiler vermeleri ile ideal ve öngörülebilir sistemlerden ayrılırlar Dahası, özellikle canlı dünayda karşımıza çıkan makro ya da mikro bir çok sistemde bu özelliğin hakim olduğunu bu gün rahatlıkla söyleyebiliyoruz Başlangıç koşullarına hassas bağlı olan sistemler aynı zamanda “öngörülememe” özelliğine de sahiptir Herhangi bir anda sistem üzerine etki eden tüm etkenleri bilmemiz imkansız olduğundan, sistemlerin uzun süreli davranışlarını tahmin edemiyoruz

3 Doğrusal olmama: Kaotik sistemler her zaman aynı girdiye aynı biçimde tepki vermezler Doğrusal sistemlerde, her zaman girdiyle orantılı bir çıktı oluşmasına rağmen kaotik sistemlerde, sistemin kaderini belirleyen koşulların karmaşıklığından ve yukarıda bahsedilen diğer özelliklerin de etkilerinden dolayı, sistem öngörülemeyen bir davranış sergiler Bu yüzden, bu tip sistemlerin davranışlarını (en azından görece kısa bir zaman dilim için bile olsa) hesaplayabilmek için doğrusal olmayan (nonlinear) denklemler kullanılır

4 Özbenzeşim (Kendine benzerlik; self-similarity): Kaotik davranış gösteren sistemler, doğrusal olmamak ve bilinen anlamıyla periyodik olmamak kaydıyla belli davranış kalıplarını gerek aynı zaman ölçeğinde, gerekse farklı zaman pencelerelerinde tekrar edebilirler İleride örneklerini göreceğimiz gibi, kaotik davranan bir sistemin bir kaç saatlik verileri, bir kaç günlük ve aylık verilerinde gözlenenlere benzer temel davranış kalıpları içerebilir Davranışların bu şekilde tekrar etmesi “self-similarity” olarak adlandırılır ve özellikle günlük hayatta karşımıza çıkan bir çok karmaşık davranış biçimini anlamak üzere bizlere yepyeni açılımlar sunar Etrafımızdaki biçimler de özbenzeşim özellikleri gösterir (İlginç bir örnek için Bkz Şekil 15)

Kaos Bilimi Ne işe Yarar?

Kaos kuramı ve bunun üzerine bina edilen kaos bilimi, evrende ve günlük hayatımızda sıklıkla karşılaşılan ve evvelce tamamen rasgele (stokastik) olarak nitelenen olayları sayısallaştırıp ölçülebilir hale getirmek, veya en azından bu tip sistemlerin davranış seyirleri hakkında yeterli kesinlikte tahminlerde bulunabilmekle uğraşır Karmaşık ve öngörülemez olan her şey, kaos bilimcisinin ilgi alanındadır Tabii ki, tıptan tutun, ekonomiye kadar, yaşadığımız evreni anlamaya çalıştığımız tüm bilim dallarının ana konuları, aslında böyle karmaşık ve öngörülemez birçok bileşen içerir Para piyasalarının uzun süreli ‘davranış’ kayıtlarının kaotik yöntemlerle incelenerek matematiksel olarak modellenmesinin, kısa vadeli de olsa, sağlıklı borsa hareketi tahminleri yapılmasına imkan verdiği görülünce, kaos daha da ünlendi Günümüzde, ekonomik ve sosyal sistemlerin davranışlarını incelerken artık kaos biliminin sağladığı veriler ve bu bilime ait matematiksel yöntemler sıklıkla kulanılmaktadır Canlı sistemlerde, adeta tam bir karmaşa halinde hareket eden beyin dalgaları, kan basıncı dalgalanmaları, epilepsi ve benzeri sinirsel hastalıkların ortaya çıkış düzenleri gibi görünürde rastlantısal olan bir çok hadisenin, aslında belli kurallar ve döngüler içinde gerçekleştiğini, yine kaos biliminin matematiksel formülleri ortaya koydu Psikiyatri ve sinir bilimleri başta olmak üzere, yaşam bilimlerinin tüm alanları, yaşamın o akıl almaz karmaşıklığının bolca ‘kaos’ ihtiva ettiğini gün geçtikçe daha açık bir biçimde ortaya koyuyorlar Bir derede akan suyun oluşturduğu girdapların, uçak kanatlarında oluşan tribülansın ve diğer başka bir çok benzer görüngünün temelinde yine kaotik kuralların yattığı bir bir ortaya kondu

Dağılıcı (Dissipative) Sistemler – Düzen Doğuran Kaos

Nobel ödüllü Kimyacı İlya Prigogine, kaos ve karmaşıklık bilimi üzerine yaptığı çalışmalarda, özellikle canlıları oluşturan maddenin cansız maddeden olan farklarına dikkat çekmişti Canlılar gibi, enerji akışını kullanan fakat enerjinin neden olduğu düzensizlik artışına teslim olmayan sistemlerin kendi kendilerini örgütleyebildiğini ve termodinamik dengeden uzak durumlarda bu doğurgan ve dinamik düzeni koruyabildiklerini farketti İşte bu tip sistemlere bu gün biz genel olaral dağılıcı (dispatif) sistemler adını veriyoruz (Prigogine ve Stengers, 1997)

Dağılıcı sistemler, enerji girdisi sürdüğü sürece, karmaşık etkileşimler gösteren hiyerarşik iç dinamiklerinden şaşırtıcı düzenler doğurabilirler Örneğin canlılar, dışarıyla enerji ve bilgi alışverişinde bulunan açık sistemler olarak, dağılıcı sistem özelliği sergilerler Canlılık, maddenin karmaşık bir düzen oluşturacak şekilde bir araya getirilmesi ve bu birleşmeden tutarlı ve iç dengesini (homeostazis) koruyabilen bir oraganizma çıkmasını sağlar Canlılık, çok karmaşık mekanizmalara daysansa da, göreceli olarak daha basit sistemlerde de dağılıcı yapı özelliği ortaya çıkabilmektedir Isıtlan bir kap suyun yüzeyinde belli sıcaklık derecelerinde gözlenen altıgen Bernard hücrelerinden, para ve ürün alışverişi ile oluşturulan pazar sistemlerinin davranışlarına kadar bir çok “sistem” böyle özdüzenlenme (self organization) özellikleri sergilerler (Prigogine ve Stengers, 1997; Sardar ve Abrams, 2010)

Halen, insanların oluşturduğu toplumsal sistemler başta olmak üzere, bu tip karmaşık sistemlerin nasıl işlediğine ve kendi kendisini nasıl idame ettirdiğine dair bilgilerimiz çok sınırlı Fakat kaos bilimi, bu tip “özdüzenlenmeli” sistemlerin işleyişini anlamak konusunda bize şimdiye kadar sahip olmadığımız bir çok ipucu sunuyor

Fraktal Geometri ve Kaos

Fraktal geometri, yaklaşık çeyrek asırdır bilim dünyasının gündeminde olan ve doğadaki karmaşık biçim ve süreçleri gittikçe daha iyi anlamamıza yardımcı olan özel bir geometri dalıdır Bu geometri dalı, orta öğretimden beri bildiğimiz Öklit (Euclid) geometrisinden çok farklıdır Neredeyse tamamen matematiksel soyutlamalardan oluşan olan Öklit geometrisi, bildiğimiz üçgenlerin, doğruların, karelerin ve küplerin geometrisidir Teknoloji ve matematik alanında çokça işimize yaramasına rağmen, bu geometri, doğadaki biçim ve süreçleri açıklama konusunda bize ancak sınırlı ve yaklaşık bir bilgi verebilmektedir Sözgelimi, bir ağacın geometrik ve biçimsel özelliklerini Öklid geometrisi ile tanımlamaya çalışmak imkansıza yakın zorlukta bir girişimdir



Fraktal geometriyi bugün bildiğimiz boyutlara taşıyarak bilim dünyasındaki yerini almasını sağlayan Benoit Mandelbrot, dağların konilere, yıldırımların düz çizgilere, kıyı şeritlerinin eğrilere, bulutların dairelere benzemediğine vurgu yaparak, doğayı anlamak için yeni bir geometriye ihtiyacımız olduğunu söyleyerek işe başladı (Mandelbrot, 1983) 1980′li yıllarda söylediği bu sözlerinde ne kadar haklı olduğu çok kısa bir süre geçtikten sonra anlaşıldı Fraktal geometri daha sonraki bölümde örneklerini vermeye çalışacağım gibi, bir çok yeni anlayış ve analiz yönteminin doğuşuna zemin hazırladı Bu gün özellikle biyolojide, canlı süreçleri ve yapıları anlayacak yepyeni yöntemlerimiz mevcut Bu yöntemlerin bir çoğunda “fraktal” bakış açısının izlerini görebilirsiniz

Fraktal geometri, basit geometrik kuralların sürekli tekrar edilmesi yoluyla elde edilen şekillerle ilgilenir Basit bir fraktal biçimi oluşturabilmek için, önceden tesbit edilen kuralların defalarca tekrarlanması gerekir ve teorik olarak çoğu zaman bu işlem sonsuza kadar sürdürülebilir Biçimleri oluşturmak üzere uygulanan kurallar genellikle bilgisayarlara basit fonksiyonlar olarak tanımlanır ve bu fonksiyonlara verilen başlangıç değerleri ile hesaplamalara başlanır Hesaplama zinciri, her seferinde fonksiyonun çözümünden elde edilen sonucun bir sonraki basamakta aynı fonksiyona girdi olarka verilmesi ile sürdürülür Fonksiyonların bu şekilde sürekli olarak tekrarlanarak hesaplanmasına matematikte “iterasyon” adı verilir İterasyonlar sonucu elde edilen sayısal değerler uygun yöntemlerle grafiksel görüntülere dönüştürülür ve böylece (eğer kullanılan fonksiyon uygun ise) fraktal biçimleri elde etmek gayet kolaydır



Fonksiyonlar ve iterasyon işlemi temel mantık olarak her ne kadar basit olsa da, binlerce ve bazen milyonlarca iterasyonun ard arda gerçekleştirilmesi insan gücünü aşan bir işlemdir Bu yüzden, karmaşık fraktal biçimleri oluşturabilmek bilgisayarların icadına kadar mümkün olamadı Fraktal geometrinin temelleri üzerine geçmişte yapılan çalışmalar da bilgisayarların icat edilmesini beklemek zorunda kaldı

Bildiğimiz anlamda fraktal biçimlere dair ilk çalışmalar Fransız matematikçi Gaston Julia tarafından yapılmıştı Kendi adıyla anılan Julia kümesini (kendisi bilgisayarlar henüz icat edilmediğinden nasıl bir şey olduğunu gerçekte hiç görmemiş olsa da) keşfetti (Şekil 5) Julia’dan sonra uzun bir süre bu alanda dikkate değer bir gelişme olmadı 1960’larda ise Benoit Mandelbrot, kendi adıyla anılan Mandelbrot kümesini keşfederek fraktal geometrinin esas kurucusu oldu Mandelbrot kümesi (Şekil 6) bu gün fraktal biçimlerin en ünlüsü olarak kabul edilmektedir



Şekil 3 Koch’un kar tanesi

Eşkenar bir üçgenle başladıktan sonra sürekli olarak her kenarın orta üçte birinin çıkartılarak, yerine çıkartılan parçadan iki tane eklenmesi yoluyla oluşturulan basit bir fraktal biçimdir En çarpıcı özelliklerinden birisi, kenar uzunluğu sonsuz iken alanının sınırlı olmasıdır



Şekil 4 En basit fraktal şekillerden birisi olan Sierpinski üçgeni

Eşkenar bir üçgenden başlanarak, her seferindeki eldeki üçgenlerin üçte birlik bir kısmını uzaklaştırmak yoluyla elde edilir Bilgisayarlar aracılığıyla ne kadar yakından bakılırsa bakılsın, Sierpinski üçgeni iç içe geçmiş (nested) üçgenli bir yapısal kalıp gösterir



Şekil 5 İlk defa Fransız matematikçi Gaston Julia tarafından tanımlanan 20 Yüzyılın başlarında tanımlanan Julia kümesinin bilgisayar tarafından çizilmiş ve renklendirilmiş hali



Şekil 6 Benoit Mandelbrot tarafından keşfedilen ve fraktal biçimlerin en ünlülerinden birisi olan Mandelbrot kümesi Mandelbrot kümesi aynı zamanda Julia kümelerini üretmek için de kullanılmaktadır



Şekil 7 Mandelbrot kümesinin bir noktasından büyütülerek alınmış detay görüntüsü Sonsuz karmaşıklığa sahip bir geometrik şekil olduğundan Mandelbrot kümesinin karmaşıklığı yakından baktıkça artar



Şekil 8 Doğadaki fraktal-benzeri biçimlerden örnekler Doğada bulunan canlı-cansız bir çok biçim fraktal geometrik özellikler sergiler Bundan dolayı fraktal geometri tabiattaki biçim ve oluşları açıklamak için uygun bir model olarak değerlendirilmektedir



Şekil 9 Sığırcık kuşlarının oluşturdukları sürülerin dinamik ve değişken biçimleri, doğada karmaşık dinamiklerle biçim oluşumlarının en ilginç örneklerinden birisidir Oluşan şekillerin bir çoğu fraktal geometrik özellikler taşır

Fraktal geometrik şekillerin önemli özellikleri, başlangıç şartlarına hassas bağlılık, sonsuz karmaşıklık ve özbenzeşimdir Görüldüğü gibi, kaotik sistemlerle ortak olan bir çok özelliğe sahip olan fraktal geometri “kaosun resmi” olarak da anılır Bu benzerlik tesadüfi değildir; benzerliğin altında yatan esas unsur, basit de olsa, fraktalları üreten denklem veya fonksiyonların iterasyonları sonucunda ortaya çıkan “davranışların” kaotik olmasıdır Burada “davranış” derken kastedilen şeyin, tekrarlı hesaplamalar boyunca elde edilen sayı dizileri olduğu unutulmamalıdır

Fraktal (Kesirli) Boyutlar

Fraktal geometrinin anlayışımıza kattığı önemli bir kavram da “fraktal boyut” kavramıdır Boyut dediğimiz şey, özellikle soyut içerimleri olan bir kavramdır Bildiğimiz gibi, matematikte “nokta”, boyutsuz bir kavramı temsil etmek için kullanılır Benzer şekilde, eğrilik ve karmaşıklığına bakılmaksızın bir çizgi (yahut eğri) tek boyutlu, bir yüzey iki boyutlu ve katı nesneler üç boyutlu olarak bilinir Einstein’in görelilik kuramından sonra, içinde yaşadığımız üç boyutlu evrene bir de dördüncü zaman boyutu ilave edildi Fakat bizim yapısal (geometrik) anlamda kavrayabildiğimiz boyutların sayısı üçtür Zira içinde yaşadığımız mekanlar üç boyutludur (yahut biz o kadarını algılayabildiğimiz için bize öyle gelir) Dolayısıyla dünyamızdaki tüm maddesel nesneler gerçekte bizim için üç boyutludur (ne kadar ince olsalar da en, boy ve yükseklikleri vardır) Daha alt boyutlar (iki, bir ve sıfır boyut) bizim için ancak kavramlardan ibarettirler; bunlarla gerçek hayatımızda karşılaşmayız Eğer ortaöğretim sırasında nokta, eğri, doğru veya yüzeylerden kafası karışanlardansanız, bu kısmı seveceksiniz: Fraktal geometri bizlere bu bildiğimiz boyutlara ilaveten kesirli (fraktal) boyutları armağan etti Fraktal geometri sonrası 1,23 boyutlu çizgilerden, 2,355 boyutlu yüzeylerden bahsedebiliyoruz artık

Fraktal boyut, bir yapının karmaşıklığını bize gösteren oldukça faydalı bir sayısal değerdir Bir üçgenin, yahut bir dairenin kenarlarını oluşturan çizgilerin, yahut o izgileri oluşturan sonsuz sayıda noktanın boyutunu belirlemekte bir zorluğumuz yok Sonuçta tüm Öklit biçimleri sıfır, bir, iki ve üç boyutlu bileşenlerden oluşurlar Gerçek dünyada da sağduyumuz (beynimizin kolaylaştırıcı işlevleri sayesinde) boyut tesbitinde zorlanmaz Ayakkabımızın biraz çok-birimli bir yapısı olsa da, üç boyutlu bir nesne olduğunu biliriz Ayakkabımızın dış yüzeyi ise, kuramsal olarak iki boyutlu bir yüzey olarak düşünülebilir Evimizde duvara asılı durumda duran bir ayna da böyledir Düz bir aynanın yüzeyi aslında iki boyutlu bir yüzey örneğidir Sağduyumuzun bize söylediği budur ama, aslında gerçek biraz daha farklıdır

Ayakkabınızın, yahut aynanızın yüzeyine mikroskopla baktığınızı düşünün Ayakkabınızın yüzeyi mikroskobik olarak karmakarışık bir yapıya sahiptir ve asla dışarıdan bakıldığı zaman görüldüğü gibi dümdüz değildir Ayna için de aynı şey geçerlidir: Güçlü bir mikroskopla baktığınızda göreceğiniz görüntü, eğer daha önce görmediyseniz sizi kesinlikle şaşırtacaktır O güzelce sırlanmış ve düzeltilmiş aynanızın yüzeyi girinti ve çıkıntılarla, (tabir yerindeyse) dağlar ve vadilerle doludur Bu görüntülerde gördüğünüz yapıları artık iki boyutlu yüzeyler olarak görmekte zorlanmaya başlarsınız İşte fraktal boyut kavramı da burada devreye girer Gördüğünüz şeyi matematiksel olarak bir-iki-üç boyuttan herhangi birine oturtamıyorsanız, ara değerleri tercih etmeyi düşünebilirsiniz Fraktal geometrinin de bize sağladığı avantaj budur

Fraktal biçimler, sonsuz kenar uzunlukları olmasına rağmen sonlu (sınırlı) alanları çeviren şekiller içerir (Koch kar tanesi ve Mandelbrot kümesi gibi; sırasıyla Şekil 3 ve Şekil 6) Bu yapıların sınırlarını oluşturan çizgiler o denli karmaşıktır ki,bunları tek boyutlu çizgiler olarak nitelemek matematiksel olarak artık doğru değildir Zira bu şekilllerdeki kenarları oluşturan algoritma (matematiksel bir fonksiyonun tekrar tekrar hesaplanması anlamında) bir “iterasyon”dur ve iterasyon sonsuza ilerlerken ilginç bir şey olur: Kenar uzunluğu sonsuza giderken, alan hep sınırlı kalır Bunu anlamak için, bir dairenin içine, kareden başlayarak kenar sayıları gittikçe artan çokgenler yerleştirdiğimizi düşünebiliriz Kare dört kenarlıdır; çevresi ise kenar uzuluğununun dört katıdır Şimdi, ilk çemberimizin içinde kalmak şartı ile kenar sayımızı artıralım: Beşgen, altıgen, yedigen, sekizgen… Daire içine yerleştirdiğimiz şekillerin kenar sayısı arttıkça iki şey olur: Öncelikle kenar uzunlukları kısalır ve kenar sayısı artsa da uzunluğun kısalmasına bağlı olarak toplam çokgen çevresi, gittikçe azalan bir hızla artarİkinci olarak da, çokgenimizin kenar sayısını artırmakla, çokgenin kenar uzunluğunu daireye gittikçe daha çok yaklaştırırız Fakat kaç kenarlı olursa olsun, çokgenlerimizin çevresi asla daireyle eşit olmayacaktır; ta ki, çokgenimizin kenarları, daireyi oluşturan çemberin “eğri kenarına” dönüşene kadar İşte bu süreç içinde sonsuz kenar kullanabiliriz; fakat toplam alanımız yine de ilk dairemizin alanından daha küçük olacaktır

Fraktal boyut ölçümü için matematikte Hausdorff-Besicovitch boyutu kavramı sıkça kullanılır Kısaca tanımlamak gerekirse “bir yapıyı (örneğin bir çizgiyi) kaplamak için gereken disklerin çapı ve sayısı arasındaki ilişki” olarak ifade edilebilir Formül olarak da

D (Hausdorff-Besicovitch boyutu) = lim (h–0)[log N(h)]/[log(1/h)] olarak verilir

Burada N(h), kaplamak için gerekli olan disklerin sayısı ike, (1/h) ise diskin çapını belirtir Bunu “bir birimlik bir doğru” için yapacak olursak: [log2n/log2n]=1 olur ki, bir doğru parçasının bildiğimiz topolojik (Öklid) boyutu da 1’dir Fakat bu hesabı bir Koch eğrisi için yaparsak, Koch eğrisinde kenar uzunluğu her “büyütmede” 1/3′ün katları şeklinde arttığından:

(log1/log1), (log4/log3), (log16/log9), (log64/log27), (log4^n/log3^n) = (nlog4/n log3) = (log4/log3) = 1,261859507

Buradaki sonucu günlük tecrübeler ışığında tam olarak değerlendimek biraz zor olabilir Koch eğrisi aslında bir çizgi olmakla birlikte, karmaşıklığı çok fazla olduğundan, boyutu 1′den fazladır Fakat iki boyutlu bir yüzey de değildir; dolayısıyla bu karmaşık bir çizginin boyutunu 1 ile 2 arasındaki bir sayıyla ifade etmemiz gerekir İşte Hausdorff-Besicovitch boyutu bize bunu sağlamaktadır

Buradan, fraktal geometri için yeni bir tanım üretebiliriz Bazı kaynaklarda fraktal biçimlerin “fraktal (kesirli) boyutları” olduğu sıklıkla göze çarpar; yukarıda ben de benzer bir ifade kullandım Fakat (Peano doldurucu eğrileri gibi) bazı “fraktal” yapılar böyle değildir Onların Hausdorff-Besicovitch boyutu 2 iken, topolojik boyutları 1 olabilir (Alttaki şekilde de görüldüğü gibi Peano eğrisi aslında tek boyutlu bir eğridir) Yani bazı fraktallerin de Hausdorff-Besicovitch boyutu, bir “tam sayı” olabilir



Şekil 10 Yüzeyi dolduran Peano eğrisinin oluşturulma basamakları ( )

Dolayısıyla fraktal biçimlerle ilgili daha doğru bir tanım olarak şunu söyleyebiliriz:

Fraktal, Hausdorff-Besicovitch boyutu (D) topolojik boyutundan (Dt) daha büyük (D>Dt) olan nesnelerin genel adıdır

Süreçlerdeki fraktal boyutlar:

Fraktal boyut kavramı, özellikle canlı dünyaya bakışımızda devrimsel değişikliklere yol açtı Fraktal geometri dendiğinde aklımıza genellikle canlıların veya doğanın biçimsel özellikleri geliyor olabilir Fakat fraktal geometrinin bize sağladığı faydalar, biçimleri anlamaktan da çok ötelere geçmiştir Doğada meydana gelen bir çok olayın zaman içindeki seyirlerinin incelenmesi sonucunda, bu davranış biçimlerinin “fraktal” karakterler gösterdiği görülebilir Örneğin, insan veya hayvanlardan, beynin aktivitesi sırasında kaydedilen EEG (elektroensefalografi) dalgaları, özel yöntemlerle incelendiğinde, sadece ekranda görüldüğü gibi “iki boyutlu çizgilerden” ibaret olmadıkları, yüksek karmaşıklığa sahip fraktal biçimler oldukları artık bilinen bir olgudur Bunun gibi daha bir çok doğal süreçte fraktal karmaşıklık karşımıza çıkar Hatta, daha ileriki bölümlerde değineceğimiz gibi, bir sistemin davranışındaki değişiklikleri ölçmek için “fraktal boyutlarındaki değişmelere bakmak” artık çok yaygın olarak kullanılmaya başlanan bir analiz yöntemidir

Az önce bahsettiğimiz garip çekerler üzerinde yapılan boyut incelemeleri de fraktal sonuçlar vermektedir Yüksek karmaşıklığa sahip bu grafiklerin sadece görsel olarak değil, sayısal ve matematiksel olarak da fraktal yapıda olduklarını böylece gösterebiliyoruz (yani, Hausdorff-Besicovitch boyutları, topolojik boyutlarından daha büyük)



Şekil 11 Ikeda çekerinin farklı büyütmelerdeki görünümleri (Soldan sağa, 1-4-16 ve 64 kez büyütülmüş görüntüler)

Sonuçta gelinen noktada ilginç bir durum da karşımıza çıkıyor: Nasıl ki Öklid geometrisinin noktaları, çizgileri, düzlemleri ve küpleri aslında birer idelalleştirme ise, sıfır, bir-iki ve üç boyut kavramları da aslında bizler için birer idealleştirmeden ibarettir İnsan beyni, etrafındaki evreni basitleştirerek algılamaya yönelik olarak çalışan bir aygıt olduğundan bu durum çok da şaşırtıcı olmasa gerek Karmaşık matematiksel tekniklerin ve bilgisayarların gelişimine kadar beklemesi gereken bu fraktal ve kaotik yapı-süreç anlayışı, etrafımızdaki hiç bir şeyin aslında o kadar basit olmadığını bize bir kez daha farkettiriyor

Kaosu Ölçme Yöntemleri

Bir sistemin kaotik olup olmadığını anlamak için elimizde ilk olması gereken şey, sistemin davranışına dair olabildiği kadar uzun süreyle kaydedilmiş bir değişkenler kaydıdır Sistemin zamanla değişen parametrelerini gösteren ve sistemin zaman içinde nasıl bir davranış gösterdiğinin bir yansıması olanb u tip verilere “zaman serileri” adı verilir Zaman serileri, herhangi bir değişkenin zamanın bir fonksiyonu olarak değişimini gösteren verilerdir İnsan kafatasının üzerinden kaydedilen elektroensefalogram verileri, yıllara göre fiyat endeksleri, yerkabuğu hareketlerinin kayıtları yahut çalışan bir makinanın yüksek frekanslı titreşimleri, zaman serilerine bir kaç örnek olarak zikredilebilir Şimdi, bir zaman serisinin kaotik olup olmadığını anlamak sık kullanılan bazı matematiksel araçlara kısaca bir göz atalım:

Çeker oluşturma (attractor construction):

Zamanla değeri değişen bir değişkenin kaotik analizi için ilk basamaklardan birisi genellikle sistemin davranışının faz uzayındaki görünümünün elde edilmesidir Bir dizi karmaşık hesap gerektiren bu süreç, bilgisayarlar yardımıyla bugün kolaylıkla gerçekleştirilebilmektedir MATLAB gibi yazılımların içinde bu işlem için kullanılabilecek hazır makro ve algoritmalar mevcuttur Çeker oluşturmak için bilinmesi gereken en önemli parametre “gömme boyutu” (embedding dimension) denen parametredir Gömme boyutu, sistemin davranışlarını etkileyen bağımsız dinamik kaynakların sayısını tahmin eden bir hesaplamadır ve böylece incelenen sistemin davranışının en iyi biçmde görsel hale getirilebilmesi için kaç boyutlu bir faz uzayına ihtiyaç olduğu bu şekilde hesaplanır Görsel tutarlılık açısından üç boyuttan daha büyük gömme boyutları pek tercih edilmese de bazı karmaşık kaotik sistemlerde çok daha büyük boyutlu faz uzaylarına ihtiyaç duyulabilmektedir Gereken bir diğer parametre de “zaman gecikmesi” (time delay) parametresidir Bu hesaplama sonucunda, zaman serisinin hangi zaman aralıklarında geciktirilerek grafiğe dökülmesi gerektiği hesaplanır

Lyapunov Üstelleri:

İlk defa Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918) tarafından tanımlanan bu yöntem, bir zaman serisinin kaotik bileşenler içerip içermediğini anlamamıza yarayan matematiksel bir analiz yöntemidir Lyapunov üsteli, bir sistemin olası durumlarını gösteren “çeker”ler üzerinde, başlangıçta yakın komşu olan iki rastgele noktanın birbirlerinden ayrılma derecesinin sayısal bir fadesidir Eğer bu komşu noktalar hızla birbirlerinden ayrılıyorlarsa, hesaplanan en büyük Lyapunov üsteli pozitif bir değerde olacaktır ve bu da incelenen sistemin davranışının kaotik olduğuna dair önemli bir işarettir Başka bir deyişle Lyapunov üsteli, “başlangıç şartlarına hassas bağlılık” özelliğinin sayısal bir göstergesidir

En büyük Lyapunov üstelinin pozitif olması kaotik durumun bir gostergesidir Laypunov üstellerinin sayısı sistemin kurgulandığı faz uzayının boyut sayısına göre değişir Örneğin, üç boyutlu bir faz uzayında karşılaşılabilecek Lyapunov üstelleri (λ1, λ2, λ3) şöyledir; (-,-,-): sabit nokta, (0,-,-): limit döngü, (0,0,-): simit, (+,0,-): garip çeker (kaos) Lyapunov üsteli hesaplamaları genellikle uzun süreli ve temiz kaydedilmiş zaman serileri üzerinde en iyi sonucu verirken, daha kısa süreli ve kısmen gürültülü sinyaller üzerinde yapılacak hesaplamalar için ilave bazı algoritmalar kullanılması gerekir

Poincaré Kesiti (Poincaré Section):

Oluşturulan çekerler (attractor) genellikle çok karmaşık yapılara sahip olabilirler ve görsel olarak incelenmesi çoğu zaman oldukça zordur Poincaré kesitleri olarak bilinen yöntem bu zorluğu aşmadaki en önemli yardımcılardan birisidir Adından da anlaşılacağı üzere, bu yöntemle, karmaşık yapılı kaotik çekerlerin istenen herhangi bir noktasından geçen kesitler alınarak, bu kesitlerin görünümlerine ve özelliklerine göre sistem hakkında bazı yargılara varılabilir Bu yöntem, canlı dokuların yapısını anlamak için onlardan ince kesitler alınarak mikroskop altında incelenmesine dayanan histoloji biliminin işlevine çok benzer

Faz uzayına çizilen çekerlerden elde edilen kesitlerin görüntüleri sistemin dinamiği hakkında da bir fikir verir Nasıl ki bir simitten alınan kesit bir daire veya elips olarak karşımıza çıkarsa, burada da kesitlerin görüntüleri, faz uzayındaki çekerin yapısı hakkında bize bir çok fikirler verir Özetle söylemek gerekirse, Poincaré kesitindeki noktaların dağılımı tek ve küçük bir bölgede sonlu sayıda ise hareket periyodik, kapalı bir eğri ise hareket yarı periyodik, belirli alanlarda yoğunlaşmış kümeler şeklinde ise hareket kaotiktir

Doğrusalsızlığın Tesbiti (Detection of Nonlinearity):

Bir zaman serisinde izlenen sinyallerin doğrusal olup olmadığını anlamanın da bazı matematiksel yolları vardır Bir dizi karmaşık matematiksel teknikle, bilgisayarların hızlı işlem gücünü de kullanarak bugün bu işlemler hızlı bir biçimde yapılabilmektedir Bu amaçla en çok kullanılan yöntem “vekil veri analizi” (surrogate data analysis) denen yöntemdir Bu analiz tipinde, eldeki sinyalin bir bezerini oluşturmak için doğrusal (lineer) bir algoritma kullanılır ve üretilen yapay (vekil) sinyalle gerçek sinyal arasındaki ilişkiler incelenir Eğer ilişki yoksa, sonuçta sinyalin doğrusal olmadığı gösterilmiş olur Bu yöntemin yanında daha başka bir çok hesaplama tekniği de önerilmiştir fakat hepsinin de sadece belli durumlarda geçerli olmasına neden olan bazı zayıflıkları vardır (Yılmaz ve Güler, 2006)

Fraktal boyut analizi

Daha önce bahsedildiği gibi “fraktal” terimi, değişik ölçeklerde artarak karşımıza çıkan karmaşıklığın bir ifadesidir Bir geometri alanı olmasının yanı sıra, özellikle zaman serilerinin karmaşıklık ve kaotiklik özelliklerini belirlemek için kullanılır Fraktal sinyal analizi, fraktal doku analizi gibi farklı tekniklerin kullanıldığı bu tip analizlerde temel amaç zaman serisinin karmaşıklığının saptanmasıdır Bir zaman serisinin fraktal boyutlarının artışı sürecin karmaşıklığının bir ölçüsü olarak kullanılmaktadır