Matematikte Grup (Öbek) Nedir?

**Prof. Dr. Sinsi** · 12-19-2012

Genellikle grup olarak bilinen bu matematiksel yapı, soyut cebirin en temel yapısıdır

Öbek, öncelikle bir kümedir, öğeleri boş olmayan bir küme ve üzerine tanımlı bir ikili işlemi olan bir kümedir

Öbek kuramı, bu işlemin özelliklerine göre öbekleri inceler

Soyut cebirin halka, cisim, modül gibi diğer yapılarının temelini oluşturur

En yalın matematik sistemlerden biridir

Üzerinde * gibi bir işlem tanımlanmış bir A kümesi bu işleme göre kapalı ise ve işlemin birleşme özelliği var ve A kümesi, birim eleman ile her bir elemanın tersini içeriyorsa, bir gruptur

Örneğin A kümesi {1, i, -1, -i} ve * işlemi de karmaşık sayılardaki çarpma işlemiyse (A,

) sistemi bir gruptur

Çünkü, sözgelimi -i

i = -i2 = 1 olup A'da elemandır; -i

(1

i) = (-i

1)

i = -i

1

i = 1 olup * işleminin birleşme özelliği vardır ve birim eleman olarak 1 var olup i'nin tersi -i (gerçekten -i

i = 1'dir), -1'in tersi 1, -i'nin tersi i'dir

Tanım

Eğer boşkümeden farklı ve üzerinde bir tane ikili işlem tanımlanmış bir G kümesi

Bileşme: Her a, b, c G için a(bc)=(ab)c

belitini sağlıyorsa bir yarı öbektir (yarıgrup)

Eğer bir yarı öbek,

(iki yönlü) Birim öğe: Her a G için öyle bir e G vardır ki ea=ae=a

belitini sağlıyorsa bu kümeye birlik (monoid) denir

Eğer bir birlik,

Tersinir öğe: Her a G için öyle bir G için ab=ba

belitini sağlıyorsa değişmeli öbek (değişmeli grup) ya da Abel'in anısına Abelyen öbek (abelyen grup) olarak adlandırılır

İşlemi vurgulamak için (G, ) gösterimi kullanılır (ki burada "" işlemin simgesidir)

Öbek kuramı (grup kuramı), demin tanımladığımız öbek (grup) yapısıyla ilgilenir

Ödeği tanımlarken yaptığımız tanımlar ise çoğunlukla bazı kesin teoremleri en genel halleriyle ifade etmek için kullanılır

Bir öbeğin mertebesi |G| ile gösterilen kardinal sayıdır (yani kümenin öğe sayısıdır)

|G| sonluysa (ya da sonsuzsa), G ye sonlu öbek (ya da sonsuz öbek) denir

Bazı Öbek Örnekleri

Toplama işlemiyle tam sayılar kümesi (Z, + ), değişmeli bir öbektir
Çarpma

12-19-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Matematikte Grup (Öbek) Nedir? Genellikle *grup* olarak bilinen bu matematiksel yapı, soyut cebirin en temel yapısıdır Öbek, öncelikle bir kümedir, öğeleri boş olmayan bir küme ve üzerine tanımlı bir ikili işlemi olan bir kümedir Öbek kuramı, bu işlemin özelliklerine göre öbekleri inceler Soyut cebirin halka, cisim, modül gibi diğer yapılarının temelini oluşturur En yalın matematik sistemlerden biridir Üzerinde * gibi bir işlem tanımlanmış bir A kümesi bu işleme göre kapalı ise ve işlemin birleşme özelliği var ve A kümesi, birim eleman ile her bir elemanın tersini içeriyorsa, bir gruptur Örneğin A kümesi {1, i, -1, -i} ve * işlemi de karmaşık sayılardaki çarpma işlemiyse (A,) sistemi bir gruptur Çünkü, sözgelimi -ii = -i2 = 1 olup A'da elemandır; -i(1i) = (-i1)i = -i1i = 1 olup * işleminin birleşme özelliği vardır ve birim eleman olarak 1 var olup i'nin tersi -i (gerçekten -ii = 1'dir), -1'in tersi 1, -i'nin tersi i'dir Tanım Eğer boşkümeden farklı ve üzerinde bir tane ikili işlem tanımlanmış bir G kümesi Bileşme: Her a, b, c G için a(bc)=(ab)c belitini sağlıyorsa bir yarı öbektir (yarıgrup) Eğer bir yarı öbek, (iki yönlü) Birim öğe: Her a G için öyle bir e G vardır ki ea=ae=a belitini sağlıyorsa bu kümeye birlik (monoid) denir Eğer bir birlik, Tersinir öğe: Her a G için öyle bir G için ab=ba belitini sağlıyorsa değişmeli öbek (değişmeli grup) ya da Abel'in anısına Abelyen öbek (abelyen grup) olarak adlandırılır İşlemi vurgulamak için (G, ) gösterimi kullanılır (ki burada "" işlemin simgesidir) Öbek kuramı (grup kuramı), demin tanımladığımız öbek (grup) yapısıyla ilgilenir Ödeği tanımlarken yaptığımız tanımlar ise çoğunlukla bazı kesin teoremleri en genel halleriyle ifade etmek için kullanılır Bir öbeğin mertebesi \|G\| ile gösterilen kardinal sayıdır (yani kümenin öğe sayısıdır) \|G\| sonluysa (ya da sonsuzsa), G ye sonlu öbek (ya da sonsuz öbek) denir Bazı Öbek Örnekleri Toplama işlemiyle tam sayılar kümesi (Z, + ), değişmeli bir öbektir Çarpma