Rasyonel Sayılarda Ondalık Sayılar

Rasyonel Sayılarda Ondalık Sayılar Konu anlatımı
Ondalık Sayılar ile ilgili çözümlü sorular

RASYONEL SAYILARDA ONDALIK SAYILAR
m Є Z ve n Є Z+ olmak üzere, m / 10n şeklinde yazılabilen kesirlere Ondalık Kesir, sayılara da Ondalık Sayılar denir Yani, paydası 10' un kuvveti olan kesirler (sayılar) dir

Burada a ya tam kısmı, bcd ye de kesir kısmı denir
Her doğal sayının ondalık kesir kısmı sıfırdır
5,0 ; 175,0 ; 1453,0

B ONDALIK KESİRLERDE ÇÖZÜMLEME
Bir ondalık kesri basamak değerlerinin toplamı biçiminde ifade etmeye ondalık kesri çözümleme denir

C ONDALIK KESİRLERDE DÖRT İŞLEM
1 Toplama ? Çıkarma : Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama ? çıkarma işleminde olduğu gibi toplama ? çıkarma işlemi yapılır Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır
2 Çarpma : Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır
3 Bölme : Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır

D DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLAR
Bir rasyonel sayı ondalık yazıldığında, ondalık kısmındaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu açılıma devirli ondalık açılım denir
Devreden kısım üzerine (?) işareti konulur

· Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayı belirtir
· Her rasyonel sayının bir devirli ondalık açılımı vardır
· Bazı devirli ondalık açılımlar ondalık kesir değildir
0,333? gibi (Çünkü rasyonel sayı olarak yazıldıklarında, ondalık kesir tanımına uymuyor)

E DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLARI RASYONEL SAYIYA ÇEVİRME
Bir devirli ondalık açılıma karşılık gelen rasyonel sayıyı bulmak için aşağadaki yol takip edilir

· Pay için ?sayı aynen yazılır, devretmeyen kısım çıkarılır?
· Payda için ?virgülden sonra devreden rakam sayısınca (9) devretmeyen rakam sayısınca (0) yazılır? İfadeleri kullanılır

Devreden sadece (9) ise pratik olarak bir önceki rakam 1 artırılır Devreden sayı iptal edilir

Paydası 10 un bir kuvveti olan (veya bu şekle getirilebilen) her rasyonel sayı sıfır devredenli bir ondalık açılıma sahiptir

F ONDALIK KESİRLERDE SIRALAMA
Ondalık kesirlerde karşılaştırma yapılırken, soldan sağa doğru, aynı basamaktaki rakamlar karşılaştırılır
Bu karşılaştırmada, sayı değeri büyük olan rakamın yer aldığı kesir, diğerlerinden büyük olur

G BİR ONDALIK KESRİ VERİLEN BİR BASAMAĞA GÖRE YUVARLAK YAPMA
Bir ondalık kesri, kendisine eşit olarak alınabilecek yaklaşık değerlerle ifade etmeye yuvarlak yapma denir Yaklaşık ifade etme sembolü » şeklindedir
Bir ondalık kesri, verilen bir basamakta yuvarlak yapmak için, bu basamağın sağındaki rakama bakılır Rakamın sayı değeri;
· 5 ten küçük ise verilen basamaktaki rakam aynen kalır ve sağındaki basamaklar atılır
· 5 ve 5 ten büyük ise, verilen basamağın sayı değeri 1 artırılır ve sağındaki basamaklar

ÖRNEK SORU 1:

5:X ? 1 kesri bileşik kesir ise, x nedir?

ÇÖZÜM:
lx-l ≤ 5 ve x ? 1 ≠ 0 olmalı

-5 ≤ x ? 1 ≤ 5

-5+1 ≤ x-1 +1 ≤ 5+ 1

-4 ≤ x ≤ 6 ve x ≠ 1

3a b/c ye tamsayılı kesir denir

5 2/3-4 ¼=17/3-17/4=68-51/2
(4) (3)

=17/12 bulunur

4kesirlerde sadeleştirme ve genişleştirme yapılır

2/3=25/35=10/55

=2(-3)/3(-3)=-6/-9=6/9

20/30=210/310=2/3

5kesirler arasında toplama,çıkarma,çarpma,bölme işlemleri yapılırtoplama ve çıkarma işlemlerinde paydaların eşit olması gerekir

Örnek soru:
1/2a(1)-/a(2)=1-2/2a=-1/2a=-1/2a=1/-2a

6kesir problemlerinde önce parantez içi işlemler yapılırEğer parantez ok ise önce bölme, çarpma sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılır

Örnek soru 3:
[3(1 +5/3)]:1/7](1/4+1/3)]:6 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 16 B) 49/9 C) 21 D) 16/3

Çözüm:

[3(1+5/3):1/7(1/4+1/3)]:6

[38/3:1/77:12]:6

[38/37/17/12]:6/1

849/12x1/6=49/9 bulunur

Örnek soru 4:

1 ½1/3-3/4:6/8+1/2 işleminin sonucu kaçtır?

A) 0 B) 1/12 C) 5/24 D) 1

ÇÖZÜM:

= ½1/3-3/4:6/8+1/

=3/21/3-3/48/6+1/2

=1/2-1+1/2=0

7Paydası 10, 100, 1000, şeklinde kesirlere ondalık sayı denir

A/10=0,a ab/10=a,b

8Bazı kesirler ondalık sayıya çevrildiğinde virgülden sonrası düzenli olarak sonsuza kadar devam ederBöyle sayılara devirli ondalık sayılar denir

Örnek soru:
2/9 kesrini ondalık olarak yazarsak;

9Devirli ondalık sayılar rasyonel sayıya çevrilirken aşağıdaki formül kullanılır

Ab,cde=abcde-abcd/900 =sayının tamamı-devretmeyen sayı/virgülden sonra devreden kadar 9 virgülden sonra devretmeyen kadar 0
1235=1235-12/990=1223/990
10 pozitif kesirler arasında sıralama yapılırken şu yollardan herhangi biri kullanılır

a-) Paydaları eşitlenir, payı büyük olan büyüktür
b-) Payları eşitlenir, paydası küçük olan büyüktür
c-) Ondalık sayıya çevrilir
d-) Pay ve payda arasındaki fark aynı ise basit kesirlerde payı büyük olan büyüktür Bileşik kesirlerde ise payı küçük olan büyüktür

(3/8<7/12)5 fark
(12/2>33/23)10 fark

11 Negatif kesirler sıralanırken önce pozitif gibi sıralanır, sonra sıralanma ters çevrilir

Örnek

a=-1/2, b=-2/3, c=-3/5 ise a,b ve c yi sıralayınız

Çözüm: 1/2 , 2/3, 3/5 sayılarını sıralayalım Bu kesirlerin paylarını 6 da eşitlersek sırasıyla;
6/12, 6/9, 6/10 olur
6/12<6/10<6/9 bulunur1/2<3/5<2/3 sayılarını ?1 ile çarparsak ?1/2>-3/5>-2/3 a>c>b bulunur

12 Rasyonel sayılarda arada olma iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı vardır
x<y için x ve y iki rasyonel sayı ise
x<x+y/2 <y olmak üzere
x+y/2 rasyonel sayıdır

Örnek soru:
1<x<2 olacak biçimde her herhangi üç tane x rasyonel sayısı yazınız

Çözüm:
1<x1<x2<x3<2 olsun
x2=1+2/2=3/2
x1=(1+3/2)1/2=5/21/2=5/4
x3=(3/2+2)1/2=7/21/2=7/4

----------1-------x1--------x2---------x3----------2------------
5/4 3/2 7/4

örnek soru:

½ ile 2/3 rasyonel sayıları arasında ve paydası 36 olan kaç tane rasyonel sayı yazılabilir?

Çözüm:
1/2 =18/36 ve 2/3=24/36
(18) (12)
1/2<x<2/3 → 18/36<x<24/36
x ε (19/36, 20/36, 21/36, 22/36, 23/36) koşula uygun 5 tane sayı yazılabilir

Örnek soru:
0,0039/0,13=39/10000/13/100

=39/1000039/13=3/100=0,03

örnek soru:
x pozitif bir ondalık sayıdırx+1/20 bir tamsayı olduğuna göre, x in virgülden sonraki kısmı nedir?

Çözüm:
X+1/20

X+0,05=1,00
↓
0,95+0,05=1,00

öyleyse x in virgülden sonraki kısmı 0,95 olur

Örnek soru:
1,2,3,4,5 rakamlarının ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayı pay, öteki ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayıda payda olmak üzere, elde edilebilecek kesirlerden en küçüğünün yaklaşık değeri nedir?

Çözüm:
Sayımız 23/54 ≡ 0,43 bulunur

Örnek soru:
Bir sayıyı 0,25 ile çapmak, bu sayıyı kaça bölmektir?

Çözüm:
A 0,25
A 25/100=A1/4=A/4

Bir sayıyı 0,25 ile çapmak bu sayıyı 4 e bölmek demektir

Örnek soru:

A=11/10, B=101/100, C= 1001/1000, D= 10001/10000
Olduğuna göre, bu sayıları sıralayınız

11/10(1000), 101/100(100), 1001/1000(10), 10001/10000(1)

11000/10000, 10100/10000, 10010/10000, 10001/10000

paydaları eşit olan pozitif kesirlerden payı büyük olan daha büyük olduğu için

a>b>c>d bulunur

Örnek soru:

0,5161616 devirli (periyodik) ondalık sayısını rasyonel sayı biçiminde ifade ediniz

Çözüm:
0,5161616=0,516
=516-5/990=511/990

ÖRNEK SORU:
(2-1/2)+(1/2+2)/(3+4/3)-(3+1/3)

ÇÖZÜM:

(2-1/2)+(2+1/2)/(3+4/3)-(3+1/3)
=2+2/13-10=2/3=8/23/3=4 Bulunur

Örnek soru:
Dört arkadaş bir tepsi baklavayı şekildeki gibi paylaşmışlardırAldıkları paylara göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
AMeral?in payı hakan?ın payından azdır
BAYŞE?NİN payı, ALİ?NİN payından fazladır
CAYŞE?nin payı, MERAL?in payına eşittir
DHAKAN?ın payı, AYŞE?nin payına eşittir

Çözüm:
1/4(2) +3/8+1/8=2/8+3/8+1/8=6/8
Tamamı 8/8 dir
Ayşe?nin payı 8/8-6/8=2/8=1/4 bulunurÖyleyse Meral?in payı Ayşe?nin payına eşit olur

Örnek SORU:
3/2:2/2-2/2:2/3 İşleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

3/21/2-2/13/2

3/4(1)3/1(4)=3-12/4

=-9/4 bulunur

Örnek soru
A=6/7,b=10/11,c=12/5 sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı nedir?

Çözüm:

Payı paydasından büyük olan pozitif kesirler 1 den büyük, paydası payından büyük olan pozitif kesirler 1 den küçük olduğu için a ve b,1 den küçük, c,1 den büyüktür