Karmaşık Analiz Nedir? |
12-19-2012 | #1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
Karmaşık Analiz Nedir?Karmaşık analiz, ya da başka bir deyişle kompleks analiz, karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır Geleneksel olarak karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi olarak da atfedilir Matematiğin sayılar teorisi, uygulamalı matematik gibi birçok alanında ve fizikte kullanılır Karmaşık analiz bilhassa, genel olarak holomorfik fonksiyonlar ve meromorfik fonksiyonlar diye iki ayrı sınıfa ayrılan karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlarla ilgilidir Herhangi bir analitik fonksiyonunun gerçel ve sanal kısmının Laplace denklemini sağlamak zorunda olması sayesinde karmaşık analiz iki-boyutlu fizik problemlerine geniş bir şekilde uygulanabilir Tarihi Mandelbrot kümesi, bir fraktal Mandel_zoomjpg Karmaşık analiz kökleri 19 yüzyıla ve hatta karmaşık sayıların kullanımına bağlı olarak biraz daha öncesine uzanan klasik bir matematik dalıdır Karmaşık sayıları ilk kullanan 16 yüzyılda kuadratik ve kübik denklemleri çözerken Cardano olmuştur 18 yüzyılda karmaşık sayıları içeren fonksiyonları bulan ise Euler olmuştur Karmaşık sayıları içeren teknikler arttıkça, gerçel değerli fonksiyonlar kuramındaki çoğu problemin karmaşık sayılar kullanılarak daha kolay bir şekilde çözüldüğü gözlemlenmiştir Ancak, yine de karmaşık sayılar 19 yüzyılın ortasına kadar istenen ünü yakalayamamış ve genel bir uzlaşım alanı olmamıştır Örneğin, Descartes denklemlerin karmaşık köklerini reddetmiş ve bunlara "sanal (imajiner)" terimini uygun görmüştür Euler de karmaşık sayıların "sadece hayalde var olduğu" kanısındaydı ve denklemlerin karmaşık köklerinin denklemin aslında hiçbir kökü olmadığını göstermekte yararlı olduğunu düşünmüştü Karmaşık sayıların genel kabulü ve bu kabul ile karmaşık analizin doğması aslında büyük ölçekte Gauss'un karmaşık sayıları geometrik bir şekilde temsil edip geliştirmesiyle başlamıştır Gauss'un çalışmalarının ardından karmaşık analiz matematikte yeni gözde bir alan olarak doğmuş ve zamanın üretken matematikçileri olan Cauchy, Weierstrass ve Riemann'ın da katkılarıyla birçok alanla bağlantılı bir matematik disiplini haline gelmiştir Ancak, her ne kadar Gauss'un çalışmaları karmaşık analizi yeni bir alan haline getirmiş olsa da, karmaşık sayıların ilk tam ve matematiksel kesinlik içindeki ifadesi Gauss'un çağdaşı Hamilton tarafından verilmiştir Geleneksel olarak karmaşık analizin, bilhassa açıkorur gönderimler teorisinin, fizikte birçok uygulaması mevcuttur Karmaşık analiz ayrıca analitik sayılar teorisinde de kullanılmaktadır Modern zamanda, karmaşık dinamiklerin ortaya çıkmasıyla ve holomorfik fonksiyonların yinelemesi yardımıyla üretilen fraktal resimleri (ki en popüleri de Mandelbrot kümesidir) ile tekrar popüler olmuştur Karmaşık analizin bugünkü önemli uygulamalarından biri açıkorur değişmez kuantum alan teorisi olan sicim teorisidir Ayrıca birçok mühendislikte, özellikle de kuvvet mühendisliğinde, karmaşık analizin kullanımı ve uygulaması mevcuttur Karmaşık Fonksiyonlar Karmaşık fonksiyon bağımsız değişkenin ve bağımlı değişkenin her ikisinin de karmaşık sayı olduğu bir fonksiyondur Tam olarak, karmaşık bir fonksiyon tanım kümesinin karmaşık düzlemin altkümesi olduğu ve yine görüntü kümesinin karmaşık düzlemin altkümesi olduğu fonksiyondur Herhangi bir karmaşık fonksiyonda hem bağımsız değişken hem de bağımlı değişken gerçel ve sanal kısımlara ayrılabilir: ka1png ve ka2png gerçel değerli fonksiyonlar olmak üzere, ka3png ve ka4png olarak yazılabilir Başka bir deyişle, f(z) fonksiyonun bileşenleri olan ka5png ve ka6png iki gerçel değişkenin, mesela x ve y'nin gerçel değerli fonksiyonları olarak yorumlanabilir Karmaşık analizin basit kavramları çoğunlukla gerçel analizin üstel, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlar gibi elemanter fonksiyonlarının karmaşık bölgelere genişletilmesiyle elde edilir Türevler ve Cauchy-Riemann denklemleri Gerçel analizde olduğu gibi, "pürüzsüz" karmaşık bir fonksiyonun, örneğin w = f(z), kendi tanım kümesi Ω'nın belli bir noktasında türevi olabilir Aslında, türevin tanımı olan ka7png ifadesi bir önemli fark dışında gerçel durumdakiyle aynıdır Gerçel analizde, limite sadece bir boyutlu sayı doğrusu üzerinde hareket edilerek yaklaşılabilir Karmaşık analizde ise limite iki boyutlu karmaşık düzlemdeki herhangi bir yönden yaklaşılabilir ("Gerçel analizde, limite sadece bir boyutlu sayı doğrusu üzerinde hareket edilerek yaklaşılabilir" ifadesi, yönlü türevlerle karıştırılmamalıdır Yönlü türevlerde bir boyutlu x doğrusu üzerinde hareket edilir ancak bu "ayrık" birimlerde yapılabilir; yani y = x2 eğrisi izlenirse, bu (bir boyutlu x doğrusu yerine) düzlemde hareket edildiği anlamına gelmez ancak ayrık birimler halinde adımlarla yaklaşıldığı anlamına gelir) Eğer bu limit, yani türev, Ω'daki her z noktası için varsa, o zaman f(z) Ω üzerinde türevlenebilir denilir Her türevlenebilir fonksiyon f(z) aynı zamanda analitik olduğu kanıtlanabilir Bu sonuç gerçel sayıların gerçel değerli fonksiyonları için kanıtlanan teoremden daha güçlüdür Gerçel sayılar kalkülüsünde, tanım kümesindeki her yerde birinci türevi olan ancak ancak aynı kümenin bir veya daha fazla noktasında ikinci türevi olmayan bir f(x) fonksiyonu oluşturabiliriz Ancak, karmaşık düzlemde tanımlı bir karmaşık fonksiyon belli bir komşulukta türevlenebilir ise aynı komşulukta sonsuz kere türevlenebilir olmalıdır f(z)'yi oluşturan iki gerçel fonksiyonun, mesala u(x, y) ve v(x, y)'nin, kısmi türevlerini hesaplamak için vektör analizinin metodlarının uygulanmasıyla ve Ω içindeki bir z noktasına doğru giden iki yolun göz önüne alınmasıyla, türevin varlığının ka8png ifadesinin doğruluğunu getirdiği gösterilebilir Bu iki ifadenin gerçel ve sanal iki kısmı birbirine eşitlenerek, Cauchy-Riemann denklemlerinin geleneksel formülasyonu elde edilir: ka9png veya başka bir yaygın gösterimle, ka10png Bu iki kısmi türevsel denklemi sisteminin ilk önce x 'e göre sonra da y 'ye göre türevi alınırsa aşağıdaki ifadeler kolaylıkla gösterilebilir: ka11png veya başka bir yaygın gösterimle, ka12png Başka bir deyişle, karmaşık değişkenli türevlenebilir bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısımları harmonik fonksiyondur Holomorfik Fonksiyonlar Holomorfik fonksiyonlar karmaşık düzlemin açık bir altkümesinde türevlenebilir olan karmaşık fonksiyonlardır Karmaşık türevlenebilirlik alışılmış gerçel türevlenebilirlikten daha güçlü sonuçlara sahiptir Örneğin, gerçel türevlenebilir fonksiyonların hepsi sonsuz kere türevlenebilir değilken holomorfik fonksiyonlar sonsuz kere türevlenebilirdir Üstel fonksiyon, trigonometrik fonksiyonlar ve tüm polinomları da içermek üzere çoğu elemanter fonksiyon holomorfiktir Önemli Sonuçlar Karmaşık analizdeki sonuçlar birkaç gruba ayrılabilir Her grubun sonucu birikimli bir şekilde kendi grubundaki ilişkin sonuçlardan faydalanan önemli sonuçlar içerse de; yine de bu her grubun birbiriyle belli temel sonuçlar vasıtasıyla bağlantısı vardır ve bazı önemli sonuçlar da bu ana grupları temel alan sonuçlardan oluşmaktadır
Tüm karmaşık düzlemde holomorfik olan sınırlı bir fonksiyon sabit olmalıdır Bu ifade Liouville teoremi olarak bilinir Bu teorem karmaşık sayılar cisminin cebirsel kapalı olduğunu ifade eden Cebirin temel teoremi'nin doğal ve kısa bir kanıtına ulaşmak için kullanılabilir
Riemann_sqrtjpg Holomorfik fonksiyonların bir diğer önemli özelliği ise basit bağlantılı bir bölgede holomorfik olan bir fonksiyonun değerlerinin tamamiyle daha küçük alt bölgelerdeki değerleriyle belirlenebilmesidir Daha büyük bölgedeki fonksiyon daha küçük bölgedeki fonksiyonun değerlerinin analitik devamı olarak adlandırılır Bu, ilk başta sadece sınırlı bir bölgede yakınsayan sonsuz toplamlar olarak tanımlanan Riemann zeta fonksiyonu gibi bazı fonksiyonların tanımlarının hemen hemen tüm karmaşık düzleme genişletilmesine izin verir Bazen, doğal logaritma durumunda olduğu gibi, holomorfik bir fonksiyonu karmaşık düzlemdeki basit olmayan bağlantılı bir bölgeye analitik olarak devam ettirmek imkansızdır; ancak yine de yakın bir şekilde ilişkin olan ve Riemann yüzeyi adı verilen bir yüzeye devam ettirmek imkanı da vardır
|
|