Sayısal (Dijital) Elektronik - Sayı Sistemleri

Sayısal (Dijital) Elektronik - Sayı Sistemleri


11SAYISAL (DİJİTAL) ELEKTRONİK
Günümüz Elektroniği Analog ve Sayısal olmak üzere iki temel türde incelenebilir Analog büyüklükler sonsuz sayıda değeri içermesine rağmen Sayısal büyüklükler sadece iki değer alabilirler Analog büyüklüklere örnek olarak Basınç,Sıcaklık gibi bir çok fiziksel büyüklüğü örnek olarak verebiliriz Şekil11’ deki Elektrik devresinde çıkış gerilimi ayarlı direncin değiştirilmesi ile birlikte 0 ile 12 Volt arasında sonsuz sayıda değer alabilir Şekil 22’deki devrenin çıkış gerilimi sadece iki gerilim seviyesinde tanımlanabilir Eğer anahtar açıksa 0 Volt, anahtar kapalı ise 12 Volt devrenin çıkış geriliminin alabileceği değerlerdir

Sayısal bir sistemde bilgiler sinyal adı verilen fiziksel niceliklerle temsil edilir Sayısal Sistemlerin çoğu sadece iki değeri olan sinyallerle çalışıyorsa bir hesap makinesinin sadece iki voltaj seviyesini kullanarak nasıl 1974 gibi bir sayıyı nasıl tanımlayabilmektedir Böyle bir sorunun cevabı ise Sayısal Sistemlerin normal hayatta kullandığımız Decimal (Onluk) sayı sistemini değil Binary (İkilik) tabanda kodlanmış sayı sistemini kullandığıdır
12 SAYISAL MANTIK SEVİYELERİ VE DALGA FORMLARI
Bir Sayısal Sistem iki gerilim seviyesine göre çalışır Bu nedenle her Sayısal
Sistemin bu iki gerilim seviyesine karşılık gelen bir biçimi olmalıdır Bu nedenle Sayısal Devreler Binary (İkilik) Sayı sisteminde kullanılan 1 ve 0 ile tanımlanmak zorundadır Bu Sayısal Sistemin girdilerinin ikilik koda dönüşmesini sağlar
Aşağıdaki Pozitif Mantık ifadelerini kullanarak Sayısal kavramları tanımlayabileceğiz Örneğin bir anahtarın kapalı olması sayısal sistemde ‘1’ veya 5V’a eşit olacaktır

Sayısal devrelerde negatif mantık kullanımı bazı uygulamalarda tasarımcıya büyük kolaylıklar sağlamaktadır Örneğin elektriksel gürültü problemi yaşanan sistemlerin tasarımında Negatif mantık kullanımı gürültü probleminin ortadan kalkmasını sağlayabilir

21DECİMAL(ONLU) SAYI SİSTEMİ Decimal(Onlu) Sayı sistemi günlük hayatta kullandığımız 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamlarından oluşur Decimal(Onlu) Sayı sisteminde her sayı bulunduğu basamağa göre değer alır Sistemin tabanı 10’dur
Örneğin 128 sayısı ;
128=1x10² + 2x10¹ + 8x10º
128=1x100 + 2x10 + 8x1
128=100 + 20 + 8
şeklinde yazılacaktır Örnekten görüldüğü gibi Decimal(Onlu) bir sayıda her basamak farklı üstel ifadelerle gösterilmiştir Bu üstel ifade o basamağın ağırlığı olarak adlandırılır O halde Decimal(Onlu) bir sayıyı analiz ederken basamaklardaki rakam ile basamak ağırlığını çarpmamız gerekiyor Örnekte 3 basamaktaki 1sayısı 100 ile, 2 basamaktaki 2 sayısı 10 ile ve 1 Basamaktaki 8 sayısı 1 ile çarpılır Her basamaktaki çarpım sonucu toplanarak analiz sonlandırılır

Örnek: Decimal(Onlu) 2784 sayısının analizini yapalım;
2784= 2x10³+7x10²+8x10¹+4x10º
2784=2x1000+3x100+8x10+4x1
2784=2000+700+80+4
2784=2784
şeklinde tanımlayabiliriz
211ONDALIKLI DECİMAL(ONLU) SAYILAR Eğer verilen Decimal(Onlu) sayı ondalıklı ise bu durumda normal analiz işlemi devam eder yalnız ondalıklı ifadeyi 0’ı takip eden negatif sayılarla tanımlarız
Örnek: 568,25 sayısının analizini yapınız
568,25=5x10²+6x10¹+8x10º+2x10-¹ +5x10-²
568,25=500+60+8+0,2+0,05
568,25=568,25
şeklinde tamamlanabilir

22 BİNARY (İKİLİK) SAYI SİSTEMİ Binary (İkilik) Sayı sisteminin tabanı 2’dirVe bu sistemde sadece “0” ve “1” rakamları kullanılmaktadır Binary Sayı sisteminde’ de Decimal(Onlu) Sayı sisteminde olduğu gibi her sayı bulunduğu basamağın konum ağırlığı ile çarpılır
Binary(İkilik) Sayı Sisteminde bulunan her ‘0’ veya ‘1’ rakamları BİT (BInary DigiT)
adı ile tanımlanırBinary(İkili) sayılar yazılırken en sağdaki basamağa en düşük değerlikli bit (Least Significant Bit-LSB),en soldaki basamağa en yüksek değerlikli bit
(Most Significant Bit-MSB) adı verilir



Decimal(Onlu) Sayılıları sadece iki rakamdan oluşan Binary(İkilik) sayılarla tanımlayabilmemiz Sayısal Sistemlerin iki voltaj seviyesini kullanarak farklı büyüklükleri tanımlanmasının anlaşılmasını sağlamaktadır
221BİNARY SAYILARIN YAZILIŞI VE DECİMAL SAYILARA ÇEVRİLMESİ
Binary sayıların yazımında tabanın iki olduğu unutulmamalıdır Binary(ikili) sayıları Decimal(Onlu) sayılara dönüştürürken her bir bit basamak ağırlığı ile çarpılıp bu sonuçların toplanması gerekir


Birkaç örnekle hem Binary sayıların yazımını ve Decimal(Onlu) sayılara dönüşümünü
inceleyelim
Örnek:
(1010)2 = ( ? )10
(1010)2 = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20
(1010)2 = 8 + 0 + 2 + 0
(1010)2 = 10
Örnek:
(11001)2 = ( ? )10
(11001)2 = 1x 24+1x 23+0x 22+0x 21+1x 20
(11001)2 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1
(11001)2 = 25
Not:
Binary (İkilik) sayıların Decimal(Onlu) karşılıkları bulunurken her basamak kendi
basamak ağırlığı ile çarpılır Çarpım sonuçları toplanarak dönüşüm tamamlanır
Örnek:
Aşağıda verilen Binary(İkilik) sayıların Decimal(Onlu) (Onlu ) karşılıklarını bulunuz



222ONDALIKLI BİNARY SAYILARIN DECİMAL SAYILARA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ
Ondalıklı Binary (ikilik) sayıları Decimal (onlu) sayılara dönüştürmek için izlenilecek yol çarpım iki metodudur Ondalıklı kısma kadar olan kısmı normal analiz yöntemini kullanarak dönüştürürken ondalıklı kısmın basamak ağırlığı 0’ı takip eden negatif
sayılar olarak belirlenir
Örnek:
( 111,101 )2 = (?)10
( 111,101 )2 = 1x2²+1x2¹+1x2º+1x2¯¹+0x2¯²+1x2¯³
( 111,101 )2 = 1x4+1x2+1x1+1x½+0x¼+1x⅛
( 111,101 )2 = 4+2+1+0,5+0+0,125
( 111,101 )2 = (7,625)10
Örnek:
Aşağıda verilen Ondalıklı Binary (İkilik) sayıların Decimal(Onlu) karşılıklarını bulunuz



223DECİMAL SAYILARIN BİNARY SAYILARA ÇEVRİLMESİ
Decimal(Onlu) sayıları Binary(İkilik) sayılara çevirirken “Bölme-2” metodu kullanılır Çıkan sonuç tersinden yazılır







İkili sayı sistemi, sayısal sistemlerin bilgiyi tanımlayabilmesi için yeterli olmasına rağmen fazla sayıda basamak kullanılması, bu sayı sistemi ile ilgili işlemlerin çok uzun sürmesi hata olasılığını beraberinde getirmektedir



224ONDALIKLI DECİMAL SAYILARIN BİNARY SAYILARA
DÖNÜŞTÜRÜLMESİ
Ondalıklı Decimal(Onlu) Sayıların Binary(İkilik) karşılıkları bulunurken ondalıklı kısma kadar olan bölüm için normal çevirim yöntemi uygulanır Ondalıklı kısım, kesirli kısmın sıfıra veya sıfıra yakın bir değere ulaşıncaya kadar 2 ile çarpılır
Örnek:
(7,8125)10 = ( ? )2
ondalıklı decimal(onluk) sayısının binary(ikilik) karşılığını yazınız



Örnek:
Aşağıdaki Ondalıklı Decimal sayıları Binary Sayılara dönüştürün;
a-(0,125)10 = ( ? )2 b-(11,1451)10 = ( ? )2 c-(125,65)10 = ( ? )2
225 BİNARY SAYI SİSTEMİ ARİTMETİĞİ
2251 BİNARY SAYILARDA TOPLAMA



şeklinde belirtilebilir Binary sayı sisteminde de iki sayı toplandığında eğer sonuç bir haneye sığmıyorsa bir elde(cary) oluşur



En sağdaki sütun 1 + 1 = 0 1 oluşan elde bir üst basamakla
toplanır
Ortadaki sütün 1 + 1 + 0 = 0 1 oluşan elde bir üst basamakla toplanır
En soldaki sütun 1 +0 + 0 = 1 0
Not:
Eğer en yüksek değerlikli basamakların toplamında bir elde oluşmuş olsaydı, bu
toplam sonucunun en yüksek değerlikli biti olarak karşımıza çıkardı

Not:
Eğer en yüksek değerlikli basamakların toplamında bir elde oluşmuş olsaydı, bu
toplam sonucunun en yüksek değerlikli biti olarak karşımıza çıkardı



2252 BİNARY SAYILARDA ÇIKARMA



şeklinde belirtilebilir Binary sayı sisteminde de küçük değerlikli bir basamaktan büyük
değerlikli bir basamak çıkarıldığında,bir üstteki basamaktan bir borç(borrov) alınır ve çıkarma işlemi tamamlanır



22521TAMAMLAYICI (KOMPLEMENTER) ARİTMETİĞİ
Sayı sistemlerinde direkt çıkarma yapılacağı gibi Tamamlayıcı (Komplementer) yöntemiyle de çıkarma yapılabilir Tamamlayıcı (Komplementer) yöntemiyle çıkarma işlemi aslında bir toplama işlemidir Bu işlemde bir üst basamaktan borç alınmaz Her sayı sistemine ilişkin iki adet tümleyen (komplementer) bulunabilir Bunlar; r sayı sisteminin tabanını göstermek üzere
1 r-1 Komplementer
2 r Komplementer
olarak gösterilebilir Taban yerine konduğunda bu iki tümleyen (komplementer) Binary(İkilik) sayılarda 1 ve 2 Tümleyen (komplementer), Decimal(Onlu) sayılarda
9 ve 10 Tümleyen (komplementer) adını alır
r-1 Tümleyen (komplementer)
n haneli bir tamsayı kısmı ve m haneli bir kesiri bulunan r tabanında bir N pozitif sayı için:
r-1 Komplementeri = rn-r-m-N
olur
r Tümleyen (komplementer)
n haneli bir tamsayı kısmı bulunan r tabanında bir N pozitif sayı için , N’ in
r Komplementeri = rn- N şeklinde bulunur
Not:
Binary sayılarda kolay bir yöntem olarak 2’ ye tümleyen 1’e tümleyene “1” eklenerek elde edilebilir
2’ye tümleyen = 1’ e tümleyen+1
Bire-Tümleyenle Çıkarma:
Bir Binary(ikilik) sayının 1 Komplementeri basitçe her bir bitin tersinin
alınması ile bulunur İki Binary(İkilik) sayıyı 1Tümleyen (komplementer) yardımı ile çıkarmak için;
a) Çıkan sayının 1 Tümleyen (komplementer)i bulunur 1 Tümleyen
(komplementer) bulunurken çıkan sayı ile çıkarılan sayının basamak sayısının eşit olması gerekir
b) Çıkarılan sayı ile çıkan sayının 1 Tümleyen (komplementer)i toplanır
c) En büyük değerlikli basamakta elde 1 oluşursa bu işlem sonucunun pozitif olduğu anlamına gelir
d) Doğru sonuca ulaşmak için elde 1 buradan alınarak en küçük değerlikli basamakla toplanır
e) Eğer elde 1 oluşmamışsa sonuç negatiftir doğru cevabı bulmak için sonuç terslenerek yazılır






İkiye-Tümleyenle Çıkarma:
Binary sayının 2 Tümleyen (komplementer)i o sayının 1 Tümleyene (komplementer)
1 eklenerek bulunur
2 Tümleyen (komplementer)= 1 Tümleyen (komplementer)+1
İki Binary sayıyı 2 Tümleyen (komplementer) yardımı ile birbirinden çıkarmak için;
a) Çıkan sayının 2 Tümleyen (komplementer)i bulunur Çıkan sayı ile çıkarılan sayının basamak sayıları eşit olmalıdır
b) Çıkarılan sayı ile çıkan sayının 2 tümleyen (komplementer)i toplanır
c) Eğer toplama işlemi sonucunda en yüksek değerlikli basamakta bir elde oluşmuşsa çıkan sonuç pozitiftir, elde atılarak gerçek sonuca ulaşılır
d) Toplam sonucunda bir elde oluşmamışsa sonuç negatiftir Çıkan sonucun tersi alındıktan sonra 1 eklenerek gerçek sonuca ulaşılır

2253 BİNARY (İKİLİK) SAYILARDA ÇARPMA
Binary(İkilik) Sayılarla Çarpma işlemi Decimal(Onluk) sayı sisteminin aynısı olup temel çarpma kuralları aşağıdaki gibidir
0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1






2254 BİNARY (İKİLİK) SAYILARDA BÖLME





23 OCTAL (SEKİZLİ) SAYI SİSTEMİ
Sayısal Sistemler hernekadar ikilik sayı sistemini kullansalar da bir tasarımcı için Binary (İkilik) sayılarla işlem yapmak zahmetli bir işlem olması nedeniyle farklı sayı sistemlerinin kullanımı tasarımcılar arasında yaygınlaşmıştır Kullanılan bu sayı sistemlerinden Octal (Sekizli) Sayı sisteminin tabanı sekiz olup 0,1,2,3,4,5,6,7 rakamları bu sayı sisteminde kullanılır
231 OCTAL(SEKİZLİ) SAYILARIN YAZILIŞI VE DECİMAL(ONLU) SAYILARA ÇEVRİLMESİ
Octal(Sekizli) sayıları Decimal(Onlu) sayılara çevirmek için her sayı bulunduğu basamağın konum ağırlığı ile çarpılırBu çarpım sonuçları toplanarak sonuç elde edilir


232ONDALIKLI OCTAL(SEKİZLİ) SAYILARIN DECİMAL(ONLUK) SAYILARA
ÇEVRİLMESİ
Ondalıklı Octal(Sekizli) sayıları Decimal (onluk) sayılara dönüştürmek için izlenilecek yol çarpım 8 metodudur Ondalıklı kısma kadar olan kısmı normal analiz yöntemini kullanarak dönüştürürken ondalıklı kısmın basamak ağırlığı 0’ı takip eden negatif sayılar olarak belirlenir



233DECİMAL(ONLU) SAYILARIN OCTAL(SEKİZLİ) SAYILARA ÇEVRİLMESİ
Decimal(Onluk) sistemden Octal(Sekizli) sisteme dönüşüm “Bölme-8 metodu ile yapılır Çıkan sonuç tersinden yazılır






234ONDALIKLI DECİMAL(ONLU) SAYILARIN OCTAL(SEKİZLİ) SAYILARA
ÇEVRİLMESİ
Ondalıklı Decimal(Onlu) Sayıları Octal(Sekizli) sayılara dönüştürürken ondalıklı kısma kadar olan bölüm için normal çevirim yöntemi uygulanır Ondalıklı kısım ise 8 ile
çarpılır Bu işlem kesirli kısım sıfıra veya yakın bir değere ulaşıncaya kadar devam eder







235BİNARY(İKİLİK) SAYILARIN OCTAL(SEKİZLİ) SAYILARA ÇEVRİLMESİ

Binary(İkilik) sayıları Octal(Sekizli) sayılara dönüştürürken,Binary sayı sağdan başlayarak sola doğru üçerli gruplara ayrılır Her grubun Octal karşılığı bulunarak çevirme işlemi tamamlanmış olur



Tam ve kesirli kısmı olan bir Binary sayı halinde tam kısım için,virgülden başlayarak
sola doğru, kesirli kısım içinse virgülden başlayarak sağa doğru üçerli gruplar hazırlanır

236 OCTAL(SEKİZLİ) SAYILARIN BİNARY(İKİLİK) SAYILARA ÇEVRİLMESİ
Octal (Sekizli) sayıları Binary(İkilik) sayılara ; her Octal (Sekizli) sayının üç bitlik
Binary (İkilik) karşılığı yazılması ile çevirim gerçekleştirilir






237 OCTAL (SEKİZLİ) SAYI SİSTEMİ ARİTMETİĞİ
2371 OCTAL (SEKİZLİ) SAYILARDA TOPLAMA
Decimal sayı sistemindeki bütün toplama kuralları Octal sayı sisteminde de geçerlidir



2372 OCTAL (SEKİZLİ) SAYILARDA ÇIKARMA
Decimal sayı sistemindeki bütün çıkarma kuralları Octal sayı sisteminde geçerlidir



24HEXADECIMAL (ONALTILI) SAYI SİSTEMİ
Hexadecimal (Onaltılık) sayı sisteminin tabanı 16 olup,0-9’a kadar rakamlar ve A-F’ ye kadar harfler bu sayı sisteminde tanımlıdır Bu sayı sisteminde rakamlar bu sembollerin yan yana yazılmasından elde edilir Hanelerin basamak ağırlıkları sağdan sola doğru 16’nın artan kuvvetleri belirtilir Aşağıdaki tablo 0-15 arası Decimal(Onlu) sayıların Hexadecimal karşılıklarını vermektedir



241HEXADECİMAL (ONALTILIK) SAYILARIN YAZILIŞI VE DECİMAL(ONLU)
SAYILARA ÇEVRİLMESİ
Hexadecimal (Onaltılık) sayıları Decimal(Onlu) sayılara çevirmek için her sayı bulunduğu basamağın konum ağırlığı ile çarpılırBu çarpım sonuçları toplanarak sonuç elde edilir



252ONDALIKLI HEXADECİMAL(ONALTILIK) SAYILARIN DECİMAL(ONLUK)
SAYILARA ÇEVRİLMESİ
Ondalıklı Hexadecimal(Onaltılık) sayıları Decimal (onluk) sayılara dönüştürmek için izlenilecek yol “Çarpım 16” metodudur Ondalıklı kısma kadar olan bölüm normal analiz yöntemini kullanarak dönüştürülürken ondalıklı kısmın basamak ağırlığı 0’ı takip eden negatif sayılar olarak belirlenir
Örnek:
( A,3 )16 = (?)10 dönüşümünü gerçekleştirin?
( A,3 )16 = Ax16º+3x16¹
( A,3 )16 = 10x1+3x0,0625
( A,3 )16 = 10+0,1875
( A,3 )16 = (10,1875)10
253DECİMAL(ONLU) SAYILARIN HEXADECİMAL(ONALTILIK) SAYILARA
ÇEVRİLMESİ
Decimal(Onlu) sistemden Hexadecimal(Onaltılık) sisteme dönüşüm “Bölme-16
metodu ile yapılır Çıkan sonuç tersinden yazılır



254ONDALIKLI DECİMAL(ONLU) SAYILARIN HEXADECİMAL(ONALTILIK)
SAYILARA ÇEVRİLMESİ
Ondalıklı Decimal(Onlu) Sayıları Hexadecimal(Onaltılık) sayılara dönüştürürken
ondalıklı kısma kadar olan bölüm için normal çevirim yöntemi uygulanır Ondalıklı kısım ise 16 ile çarpılır Bu işlem kesirli kısım sıfıra veya sıfıra en yakın değere ulaşıncaya kadar devam eder



255BİNARY(İKİLİK) SAYILARIN HEXADECİMAL(ONALTILIK) SAYILARA
ÇEVRİLMESİ
Binary(İkilik) sayıları Hexadecimal(Onaltılık) sayılara dönüştürürken,Binary sayı sağdan başlayarak sola doğru dörderli gruplara ayrılır Her grubun Hexadecimal karşılığı bulunarak çevirme işlemi tamamlanmış olur




256 HEXADECİMAL(ONALTILI) SAYILARIN BİNARY(İKİLİK) SAYILARA
ÇEVRİLMESİ Hexadecimal (Onaltılı) sayıları Binary(İkilik) sayılara ; her Hexadecimal (Onaltılı)
(Sekizli) sayının dört bitlik Binary (İkilik) karşılığı yazılması ile çevirim gerçekleştirilir





257 HEXADECİMAL (ONALTILIK) SAYI SİSTEMİ ARİTMETİĞİ
2571HEXADECİMAL (ONALTILIK) SAYILARDA TOPLAMA
Hexadecimal sayılarla iki şekilde toplama işlemini gerçekleştirebilirizBirinci yöntem sayının direk toplanması, diğer bir yöntem ise Hexadecimal sayının herhangi bir sayı sistemine dönüştürülerekmeden toplama işleminin gerçekleştirilmesi Aşağıdaki örnekte her iki şekilde gösterilmektedir




2572 HEXADECİMAL (ONALTILIK) SAYILARDA ÇIKARMA
Temel çıkarma kuralları geçerli olmak üzere Hexadecimal (Onaltılık) Sayılarla çıkarma işlemi yaparken sayıların direk çıkarılması, Tümleyen aritmetiği gibi yöntemler izlenebileceği gibi bilinen bir sayı sistemine dönüşümü gerçekleştirerek bu sayı sisteminde çıkarma işlemi yapılabilir

Tümleyen (komplementer) (Tümleyen) Yöntemi İle Hexadecimal Sayıların Çıkarılması
Hexadecimal sayılar 15 ve 16 olmak üzere iki adet tümleyen (komplementer)e sahiptir Bu iki Tümleyen (komplementer) yardımı ile çıkarma işlemi gerçekleştirmek için ;
1) Hexadecimal Sayının 15 Tümleyen (komplementer)i her basamağın “ F”sayısından çıkarılması ile bulunur
2) Hexadecimal Sayının 16 Tümleyen (komplementer)i 15 Tümleyen
(komplementer)e 1 eklenerek bulunur
şeklinde Hexadecimal sayıların Komplementeleri bulunur



Hexadecimal (Onaltılık) sayıları Tümleyen yardımıyla çıkarmak için;
1) Çıkan sayının 15 veya 16 Tümleyen (komplementer)i bulunur
2) Ana sayı ile çıkan sayının15 veya 16 Tümleyen (komplementer)i toplanır
3) Toplam sonunda bir elde oluşmuşsa sonuç pozitiftir;
a) İşlem 15 Tümleyen (komplementer) yardımı ile yapılıyorsa oluşan elde en sağdaki basamak ile toplanarak gerçek sonuca ulaşılır
b) İşlem 16 Tümleyen (komplementer) yardımı ile yapılıyorsa oluşan bu elde dikkate alınmaz
4- Toplam sonunda bir elde oluşmamışsa sonuç negatiftir;
a) İşlem 15 Tümleyen (komplementer) yardımı ile yapılıyorsa gerçek sonuç toplam sonucunun 15 Tümleyen (komplementer)idir
b) İşlem 16 Tümleyen (komplementer) yardımı ile yapılıyorsa gerçek sonuç toplam sonucunun 16 Tümleyen (komplementer)dir