Pisagor Teoremi

Samos'lu Pisagor'un, Milattan önce 596 yıllarında doğduğu tahmin ediliyor Doğumu gibi ölüm tarihi de kesin değildir Bugünkü adıyla bilinen Sisam Adasında 596 veya 582 yılında doğmuştur Hayatı hakkında çok az bilgiler vardır Bu bilgilerin birçoğu da kulaktan kulağa söylentiler biçiminde gelmiştir Fakat, önceleri doğduğu yer olan Sisam Adasında okuduğu, daha sonraları Mısır ve Babil'e giderek oralarda bilgilerini ilerlettiği ve ülkesine geri dönerek dersler verdiği söylenir Kendisinden önceki bilgilerin tümünü öğrenmiş ve derlemiştir Kendisi, bir Yunan filozofu ve matematikçisidir Ülkesinde hüküm süren politik baskılardan kaçarak, İtalya'nın güneyindeki Kroton şehrine gelmiş ve ünlü okulunu burada açarak şöhrete kavuşmuştur Yarı söylentilere göre felsefe okulunun kurucusudur Bu okul aynı zamanda dini bir topluluk ve o zamanın politikasına oldukça egemendir Yine söylentilere göre, Pisagor'un matematik, fizik, astronomi, felsefe ve müzikte getirmek istediği yenilik, buluşlar ve ışıkları hazmedemeyen bir takım siyaset ve din yobazları halkı Pisagor'a karşı ayaklandırarak okulunu ateşe vermişler, Pisagor ve öğrencileri bu okulun içinde alevler arasında MÖ 500 yıllarında ölmüşlerdir Bu nedenle Pisagor ve yaptıkları hakkında az bilgiler bize kadar gelmiştir Pisagor'un ve öğrencilerinin yaptıklarının birçoğu bu alevler arasında yok olup gitmiştir

Pisagor, MÖ altıncı yüzyılda, dünyanın güneş etrafında hareket ettiğini ileri sürdüğü zaman oldukça sert olan bir hareketle karşılaşmıştır O tarihlerde kağıt olmadığı için, bu buluşlarını nasıl elde edildiği, yine bu devirlerdeki bilgilerin hangisinin Pisagor'a ait olduğu kesin olarak bilinmemektedir Hatta, okuldaki öğretim araçlarının masa üzerindeki ıslak kum olduğu söylenir Bu koşullar altındaki ilmi gerçeklerin tümü o zaman yazıya geçmediği için, birçoğu da zamanla kaybolup gitmiştir Bu nedenle, Pisagor'un okulu ve öğrencileri ile birlikte yanmalarından, eser bırakıp bırakmadığı da kesin olarak belli değildir Geometride, aksiyomlar ve postülatlar her şeyden önce gelmelidir Sonuçlar bu aksiyom ve postülatlardan yararlanılarak elde edilmelidir düşüncesini ilk bulan ve ilk uygulayan matematikçi Pisagor'dur Matematiğe aksiyomatik düşünceyi ve ispat fikrini getiren yine Pisagor'dur Çarpma cetvelinin bulunuşu ve geometriye uygulanması, yine Pisagor tarafından yapıldığı söylenir En önemli buluşlarından biri de, doğadaki her şeyin matematiksel olarak açıklanması ve yorumlanması düşüncesidir Yaşayış ve inanışı, ilimle açıklama ve yorumlamayı o getirmiştir

Müzik üzerine de çalışmaları vardır Müzik tonlarının, telin uzunluğunun oranlarına bağlı olduğunu keşfetmiş ve bunun tüm sayılara yorumlamasını düşünmüştür Bir yerde bugünkü gerçel ekseni söylemeden düşünmüştür Bu da, bugünkü kullandığımız gerçel eksenin sayı sisteminde kullanılmasından başka bir şey değildir Fakat, eski Yunan matematikçileri gerçel sayıları bilmiyorlardı O zamanlar, rasyonel sayıları uzunlukları ölçmek için kullanıyorlardı Bunun için belli bir birim alıyorlar ve bu birime oranlayarak iki nokta arasındaki uzunluğu ölçüyorlardı Rasyonel sayılarla ölçülemeyen uzunluğun keşfi 2600 yıl önce Yunan matematikçileri tarafından olmuştur Bu sonuçta, halen değerini koruyan ve koruyacak olan ünlü Pisagor teoremine dayanır Pisagor teoremi, matematikteki en büyük buluşlardan biridir Hele zamanımızdan 2600 yıl önce bulunduğu göz önüne alınırsa, bundan daha büyük bir buluş düşünülemez Pisagor'un adını 2600 yıldır andıran, onu ünlü yapan ve insanlığın varolduğu sürece de sonsuza kadar da andıracak meşhur teoremi şudur: Bir dik üçgende, dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamı, hipotenüs üzerine kurulan karenin alanına eşittir

Pisagor teoremi, rasyonel sayılarla ölçülemeyen uzunluğun da varolduğunu gösterir Örneğin, yukarıdaki şekilde olduğu gibi, dik kenarları birer birim olan dik üçgeni göz önüne alalım Geometrik olarak, bu özel hal için, Pisagor teoremi gerçeklenir Yani, büyük karenin alanı, dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanları toplamıdır Diğer bir deyimle, x2=2 olur Bu denklemin kökü de rasyonel olmayan karekök 2 uzunluğudur Yunan matematikçileri gerçel sayılan bilmiyorlardı Üstün zekalı Eudoxos tarafından bulunan oranlama yöntemini kullanıyorlardı Aslında, gerçel sayıların oluşumu kavramı bir ya da birçok insanın buluşu değildir Rasyonel sayıların günlük hayatta kullanılması sırasında kendi kendine gelişmiştir On tabanına göre sayıların sayılması ve yazılması, büyük bir olasılıkla iki eldeki parmakların sayılmasından doğmuştur Şu sırada bile ilkel yaşam sürdüren bazı kabilelerde buna benzer sayma yöntemi vardır On tabanına göre sayıların yazılması ve okunması, Avrupa'ya Crusades'ten sonra Arap dünyasından gelmiştir Bunu Araplar Hintlilerden, Hintliler de Helen medeniyetinden aldılar Yunan'lı astronomlar bu sayı sistemini, MÖ 1500 yıllarından beri kullanan, Babil'lilerden almışlardır "Evrenin hakimi sayıdır Sayılar evreni yönetiyor" sözleri de Pisagor'a aittir

Pisagor, Archimedes'ten oldukça farklıdır Pisagor hem mistik ve hem de matematikçidir Mistik tarafları çoktur Bunlar, efsaneleşmiş bir biçimde destan olarak anlatılmış, evren hakkında bu günkü gerçeklere uymayan düşünceler de ileri sürmüştür Bunları bir tarafa bırakırsak, yine yaşadığı çağa göre matematikçi yönü çok ağır basar Pisagor, Mısır'da ve Babil'de çok gezdi Rahiplerden ilim öğrendi Çok tanrılı olan o zamanın dini inançlarını benimsedi Yaşadığı çağı ve aldığı rahip eğitimi göz önüne alınırsa, bunda yadırganacak pek bir şey de yoktur Oldukça doğaldır Matematiğe ispat fikrini getiren Pisagor için, sosyal ve şahsi yaşantısı bu kadar eleştiriye değmez Yalnız, Pisagor ve bazı Yunan filozofları, örneğin, Euclides, Eflatun ve Aristo gibi alimleri, yaşadığı devirlerde, bugün için bilinen ilmi gerçeklerde hataya düşmüşlerdir Bu filozofların felsefeleri, modern matematiğin kurucusu Descartes (1596-1650) ve Newton (1564-1642) kadar, modern fiziğin kurucusu Galile (1564-1642) ve modern kimyanın kurucusu olan Lavoisier (1743-1794) zamanına kadar iki bin yıllık bir gecikmeye neden olmuşlardır Eğer Yunan'lılar Euclides, Eflatun ve Aristo yerine Archimedes'i izlemiş olsalardı, Descartes, Newton, Galile ve Lavoisier'in kurdukları modern ilme iki bin yıl önce ulaşır ve bugün içinde bulunduğumuz medeniyete iki bin yıl önce varılırdı Yani, Archimedes'le Newton, Galile ve Lavoisier arasında tam iki bin yıllık ilmi boşluk vardır Bu boşlukta kolay kolay doldurulamaz Bu nedenle, Yunan'lıların medeniyetin ilerlemesine iki bin yıllık bir gecikmeye sebep oldukları bir gerçektir Avrupa'da uzun yıllar egemen olan ve hüküm süren skolastik düşüncenin temeli Yunanistan'da atılmış ve İtalya'da geliştirilmiştir Bu nedenle de uzun yıllar bu skolastik düşünce yenilememiştir Bu uğurda çok sayıda ilim adamı yok edilmiştir

Pisagor'dan önce, geometride, şekillerin aralarındaki bağlılıklar gösterilmeksizin elde edilenler, görenek ve tecrübeye dayanan bir takım kurallardı Bu nedenle, daha gelen bir yetkili ne demişse o sürüp gidiyordu Pisagor'un matematiğe ispat fikrini sokması bu yüzden çok önemlidir O çağlarda çok tanrılı din vardı Pisagor daha da ileri gidiyor ve "tanrı sayıdır" diyordu Bu sayılar, 1, 2, 3, şeklinde bugün bildiğimiz doğal sayılardı Daha sonra, kendi kendine bir çelişkiye düştüğünü, tamsayıların hatta rasyonel sayıların bile matematiğe yetmediğini, kendi adıyla anılan Pisagor teoremiyle gördü Buna bir süre karşı da çıktı Fakat, sonunda bu yenilgiyi kabul etmesini de bilmiştir Olayda karekök 2 şeklinde rasyonel bir uzunluğun olmaması problemidir Halbuki Pisagor teoremine göre böyle bir uzunluk vardır Pisagor'un kuramını yıkan problem, a2=2b2 denklemini gerçekleyen a ve b gibi iki tamsayıyı bulmak olanaksızdır Pisagor'un karşılaştığı ikinci güçlük, bir karenin kenarının köşegenine bölümünün rasyonel bir sayı olmayışıdır Bu söylediğimiz, a2=2b2 denkleminde adı geçen olaya eşdeğer olduğu açıktır Bu problemi bugünkü matematik diliyle söylersek, karekök 2 sayısı irrasyonel bir sayıdır İşte, karenin köşegeni gibi basit bir uzunluk, Pisagor'un doğal sayılar kümesine meydan okuyarak, Pisagor'un ilk felsefe kuramını yalanlamıştır Böylece, hiç bir zaman tekrar etmeyen sonsuz ondalıklı olan irrasyonel sayı bulunmuş olunur Pisagor'un bu buluşu, modern analizin kökünü keşfetmiştir Bu problem bir yerde, sıfır ile iki sayısı arasını rasyonel sayılarla kaplayabilir miyiz sorusunu doğurur Yanıt hemen hayır olacaktır Çünkü, 0<karekök 2<2 olan karekök 2 sayısı rasyonel değildir 1,41 ile 1,42 sayıları arasında rasyonel olmayan bir sayıdır Öyleyse, sayı doğrusu üzerindeki her bir noktaya bir gerçel sayı karşılık gelir postülatını şimdilik kabul edebiliriz Bu görüşe Pisagor'culuk denir ve bu görüşe ileride Kronecker tarafından itiraz edileceğini hemen söyleyelim

İşte, sayı doğrusu üzerinde rasyonel sayılarla sıfır sayısından iki sayısına sürekli olarak gitmek mümkün diyenlerle, mümkün değildir diyenler arasında uzun yıllar tartışma olmuştur Yüzyılımızda çıkan Brouwer'e kadar bu tartışma çeşitli şekillerde karşımıza çıkmıştır Mümkün değil diyenler hiç bir ilerleme göstermeden yerinde saymışlar ve az hata yapmışlar fakat, mümkün diyenlerse çalışarak ve biraz da fazla hata yaparak bugünkü modern matematiğe ulaşmışlardır Doğrunun sürekli olup olmadığı uzun yıllar tartışılmıştır Pisagor, bu kuramlarla, sayılar aracılığıyla ve kendi yöntemleriyle evrenin doğal dengesini ve evrendeki cisimlerin ilişkilerini açıklamaya çalışmıştır Şüphesiz, bu görüş ve düşünüşlerin birçoğu bugün geçerli değildir Yine de, modern matematiğin temelini Pisagor atmıştır Halbuki, MÖ 500-428 yıllarında Pisagor devrinde yaşamış olan Anaksgoras, Güneş'i, Dünya'dan kat kat daha büyük kızgın bir demir kütlesi olarak tanımlamıştır Ay ışığının Güneş'ten gelen ışınların bir yansıması olduğunu da öne süren kişi olduğu da sanılmaktadır Bu nedenle, Pisagor mistik olduğu kadar üstün zekalı bir matematikçidir sıfatları yerinde kullanılmıştır