Fonksiyonlar - Limit - Türev- İntegral Matematiksel Örnekleri Ve Çözümleri

Fonksiyonlar -Limit - Türev- İntegral

FONKSİYON

TANIM: A ve B gibi boş olmayan iki küme için, A nın her elemanını B’nin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına A ‘dan B’ye FONKSİYON denir

Kısaca, A’dan B’ye bir bağıntının fonksiyon olması için,

a) x A için (x, y) f olacak biçimde y B olmalı

b) A kümesinin bir elemanı B kümesinin birden fazla elemanı ile eşlenemez

A kümesinin f fonksiyonunun TANIM KÜMESİ ve B kümesine f fonksiyonunun DEĞER KÜMESİ denir

f fonksiyonu x A’yı y B’ye eşliyorsa y’ye x’in görüntüsü denir ve f: x y veya y = f (x) biçiminde gösterilir

TERS FONKSİYON:

f: A B ye, f: x y = f (x) fonksiyonu birebir ve örten fonksiyon olsun B A ya ve y x fonksiyonuna f in tersi denir ve f-1 şeklinde gösterilir

f: A B f-1 : B A

f: x y = f (x) f-1 : y x = f-1(y)

ÖRNEKLER:

1 f: R R, f (x) = x + 5 ise f-1(x) nedir?

Çözüm:

2 R+ R ye f (x) = x2 + 2 fonksiyonunun tersini bulunuz (x > 0)

Çözüm:

BİLEŞKE FONKSİYON:

f: A B ve g: B C birer fonksiyon ise A’daki her elemanı f ve g fonksiyonları ile C’nin elemanlarına dönüştüren fonksiyon f ile g’nin bileşkesi denir

ÖZELLİKLERİ:

1) fog gof

2) (fog)oh = fo(goh

3) fof-1 = f-1 of = I ( I birim fonksiyon)

4) foI = Iof = f

5) (f-1)-1 = f

6) (fog)-1 = g-1of-1

7) (fogoh)-1 = h-1 o g-1 o f-1

8) fog = h f = hog-1 ve g = f-1 o h

ÖRNEKLER:

1 R R’ye iki fonksiyon, f (x) = 2x – 1 ve g (x) = x + 1 ise (gof)( - 1) nedir?

Çözüm:

(gof)(- 1) = g(f(- 1)) = g(2(- 1) – 1 )

= g(- 3) = - 3 + 1 = - 2

2 f ve g : R R’ye

f (x) = 3x + 2 ve g(x) = ise, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulun

Çözüm:

3 f ve g : R R’ye

f (x) = 2x + 1 ve (gof) (x) = 3x + 2 ise, g(x) nedir?

Çözüm:

(gof of-1)(x) = (3x + 2) of-1

g (x) = (3x + 2) of-1

f (x) = 2x + 1 f-1 (x) = dir

4 f ve g : R R’ye f (x) = ve (fog)(x) = 6x + 1 ise g(x) = ?

Çözüm:

(f-1o fog)(x) = f-1 o (6x + 1)

g (x) = f-1 o(6x + 1)

f (x) =

g (x) = (3x + 1) o (6x + 1)

g (x) = 3 (6x + 1) + 1 = 18x + 4

5 f ve g : R R’ye

(gof-1) (x) = ve g-1 (x) = 3x – 1 ise f (x) nedir?

Çözüm:

(g-1ogof)(x) = g-1 o

LİMİT

BİR FONKSİYONUN LİMİTİ

TANIM

A R ve f: A – {xo} R ‘ye bir fonksiyon F(x) olsun x değişkeni xo R sayısına yaklaştığında f(x) fonksiyonu da t R’ye yaklaşıyorsa t gerçel sayısına x, xo’a yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti denir ve lim f(x) = t

x xo

şeklinde gösterilir

SAĞDAN VE SOLDAN LİMİT:

SAĞDAN LİMİT:

y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sağ taraftan yaklaşırken f de bir t1 R değerine yaklaşıyorsa t1’e fonksiyonun sağdan limiti denir ve lim f(x) = t1 biçiminde

x x+o

gösterilir

SOLDAN LİMİT:

y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sol taraftan yaklaşırken f de bir t2 R değerine yaklaşıyorsa t2 ye fonksiyonun soldan limiti denir ve lim f(x) = t2

x x-o

ÖRNEK:

x2 + 1, x 0 ise,

x + 1 , x < 0 ise,

fonksiyonun x = 0 noktasında limiti nedir?

ÇÖZÜM:

lim f(x) = lim (x2 + 2) = 02 + 1 = 1

x 0+ x 0+

lim f(x) = lim (x + 1) = 0 + 1 = 1

x 0- x 0-

O halde lim f(x) = 1 dir

x 0

LİMİT TEOREMLERİ:

1) lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)

x x0 x x0 x x0

2) lim (f(x)g(x)) = lim f(x)lim g(x)

x x0 x x0 x x0

3) lim c = c (c R)

x x0

4) lim (cf(x)) = c lim f(x)

x x0 x x0

5) g(x) 0 ve lim g(x) 0 ise

x x0

6) n N+ olmak üzere

7) n tek doğal sayı ise,

8) n çift doğal sayı ve f(x) 0 ise

BELİRSİZLİKLER VE LİMİTLERİ

A) BELİRSİZLİĞİNİN LİMİTİ:

ÖRNEK:

ifadesinin değeri nedir?

ÇÖZÜM:

B) BELİRSİZLİĞİN LİMİTİ:

ÖRNEK:

limitinin değeri nedir?

ÇÖZÜM:

Payın derecesi paydadan büyük olduğundan

ÇÖZÜMLÜ TEST

1 değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

Çözüm 1:

dır O halde,

Cevap: B

2 limitinin değeri nedir?

A) B) C) D) E)

Çözüm 2:

Cevap: C

TÜREV VE UYGULAMALARI

TANIM: y = f(x) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli, x0 (a,b) olsun

limiti bir gerçel sayı ise,

bu limite y = f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki TÜREVi denir ve f’(x0) şeklinde gösterilir

ÖRNEK:

f : R R, f(x) = -x2 + 2 fonksiyonunun x0 = 1 noktasındaki türevi nedir?

ÇÖZÜM:

f(1) = - 12 + 2 = 1

f’(1)

NOT:

ÖRNEK:

f(x) = |x2 – 4| fonksiyonu verilir

a) f’(2) = ? b) f’(1) = ?

ÇÖZÜM:

a) f (2) =|22 – 4| = 0 olduğu için fonksiyonun x = 2 noktasında türevi yoktur

b)

TÜREV ALMA KURALLARI:

1) c R olmak üzere

f (x) = c f’(x) = 0

2) f (x) = x f’(x) = 1

3) f (x) = cx f’(x) = c

4) f (x) = c xn f’(x) = c n xn-1

5) f (x) = c un f’(x) = c n un-1 u’x

6) f (x) = u v f’(x) = u’x v’x

7) f (x) = u v f’(x) = u’x v + v’x u

8) f (x) = u v t f’(x) = u’x v t + v’x u t

+ t’x u v

9) f (x) =

10) f (x) =

ÖRNEKLER:

1 f (x) = 5 f’(x) = 0

2 f (x) = f’(x) = 0

3 f (x) = x5 f’(x) = 5x4

4 f (x) = x f’(x) = 1

5 f (x) = 2x f’(x) = 2

6 f (x) =

7 f (x) = x4 – x3 + 2x – 3 fonksiyonunun türevi nedir?

ÇÖZÜM:

f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2

8 f (x) = (3x2 + 5)11 fonksiyonunun türevi nedir?

ÇÖZÜM:

f’(x) = 11 (3x2 + 5)10 (3x2 + 5)’

= 11(3x2 + 5)10 6x

= 66x (3x2 + 5)10

9 f (x) = fonksiyonunun türevi nedir?

ÇÖZÜM:

olur

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:

A)

1) f (x) = Sinx f’(x)=Cosx

2) f (x) = Cosx f’(x) = - Sinx

3) f (x) = tanx f’(x) = 1 + tan2x

4) f (x) = Cotx f’(x) = - (1 + Cot2x)

ÖRNEKLER:

1 f (x) = Secx f’(x) = ?

ÇÖZÜM:

2 f (x) = Cosec f’(x) =?

ÇÖZÜM:

B

1) f (x) = Sin[u[x]] f’(x) = u’(x) Cos[u(x)]

2) f (x) = Cos [u(x)] f’(x) = - u’(x) Sin [u(x)]

3) f (x) = tan [u(x)] f’(x) = u’(x) [1 + tan2u(x)]

4 f (x) = Cot[u(x)] f’(x) = -u’(x) [1 + Cot2u(x)]

ÖRNEKLER:

1 f (x) = Sin3x f’(x) = 3Cos3x

2 f (x) = tan(x2 – 1) f’(x) = ?

ÇÖZÜM:

f’(x) = (x2 –1)’ [1 + tan2(x2 – 1)]

f’(x) = 2x [1 + tan2 (x2 – 1)]

3 f (x) = Sin (tan x) fonksiyonunun türevi nedir?

ÇÖZÜM:

f’(x) = Cos (tanx) (tanx)

4 f (x) = 2Sin3 x + 3Cos2x f’(x) = ?

ÇÖZÜM:

f’(x) = 23Sin2x (Sin x)’ + 32 Cosx (Cosx)’

f’(x) = 6Sin2x Cosx + 6 Cosx ( - Sin x)

İNTEGRAL

TANIM:

f: [a,b] R ve F:[a, b] R ye tanımlı iki fonksiyon olsun, [a,b] için, F’(x) = f(x) yazılabilirse F(x)’e f(x)’in ilkel fonksiyonu yada integrali denir

F’(x) dx = F(x) veya

f(x) dx = F(x) şeklinde gösterilir

ÖRNEK:

f (x) = 2x2 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2

f (x) = 2x2 – 1 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2 – 1

f (x) = 2x2 + 3 f’(x) = 4x 4xdx =2x2 + 3

BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ:

A f’(x) dx = f(x) + C

B d[f (x)] = f (x) + C

C f (x)dx = f (x) dx ( R)

D [f (x) g(x)] dx= f(x) dx g (x)dx

E [ f (x) dx] = f (x)

F d[ f (x)dx] = f(x) dx

ÖRNEKLER:

1 2x dx = x2 + C

2 d(3x2) = 3x2 + C

3 5x4dx = 5 x4dx

4 (x3 + x)dx = x3 dx + x dx

5 [ 2x dx] = 2x

6 d (x3dx) = x3dx

ÖRNEKLER:

1

2 12dx = 12x + C

3

4 (x3 + x2 – 2)2 (3x2 + 2x)dx = ?

ÇÖZÜM 4:

x3 + x2 – 2 = u (3x2 + 2x) dx = du

TRİGONOMETRİK İNTEGRAL:

A Cos x dx = Sin x + C

B Sin x dx = - Cosx + C

C Sec2x dx = (1 + tan2x) dx

D Cosec2x dx = (1 + Cot2x) dx =

=

ÖRNEKLER:

1 Cos2x Sin x dx =

ÇÖZÜM:

Cosx = u -Sin x dx = du

Sin x dx = - du

u2 (-du) = - u2 du

2 Sin 3x dx = ?

ÇÖZÜM:

3 Cos (2x + 1) dx = ?

ÇÖZÜM:

LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL:

A

B

C eu du = eu + C

D

ÖRNEKLER:

1

2 tan x dx = ?

ÇÖZÜM:

Cos x = u - Sin x dx = du

Sin x dx = - du

= - ln |u| + C = - ln |Cos x| + C

3 ex dx = ex + C