![]() |
Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım |
![]() |
![]() |
#1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatımkontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım - Kontür İntegrali Karmaşık analizde kontür integrali veya kontür integrali almak karmaşık düzlemdeki yollar boyunca belli integralleri bulmak için kullanılan bir yöntemdir ![]() Kontür integralinin karmaşık analizin bir metodu olan kalıntı hesabıyla yakın bir ilişkisi vardır ![]() Kontür integrallerinin bir kullanımı da halihazırdaki gerçel değişken yöntemleriyle bulunamayan gerçel eksendeki integralleri bulmaktır ![]() Kontür integrali yöntemleri şunları içerir: Karmaşık değerli bir fonksiyonun karmaşık düzlemdeki bir eğri (kontür) boyunca integralinin dolaysız bulunması Cauchy integral formülünün uygulanması Kalıntı teoreminin uygulanması Bu integralleri veya toplamları bulmak amacıyla, bir yöntem veya bu yöntemlerin bir kombinasyonu veya çeşitli limit alma süreçleri kullanılabilir ![]() Dolaysız yöntemler Dolaysız yöntemler, integralin, çok değişkenli hesaptaki integralleri hesaplamaya yarayan yöntemlere benzer yöntemlerle hesaplanmasını içerir ![]() Kontürü parametrize etme (parametrizasyon) Kontür gerçel değişkenli, karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon tarafından parametrize edilir veya kontür parçalara bölünüp ayrı ayrı parametrize edilir ![]() Parametrizasyonun integrand içine konulması Parametrizasyonun integrand içine konulması integrali bir gerçel değişkenli integrale dönüştürecektir ![]() İntegral gerçel değişkenli integralde kullanılan yönteme benzer bir metodla bulunur ![]() Örnek Karmaşık analizdeki temel sonuçlardan birisi de z-1 in birim çember C etrafındaki (veya 0 etrafındaki herhangi bir Jordan eğrisi boyunca) integralinin 2πi olmasıdır ![]() integralini bulalım ![]() Bu integrali bulmak için, kontür olarak γ(t) = eit, t ∈ [0, 2π] ile parametrize edebileceğimiz |z| = 1 birim çemberini kullanıyoruz ![]() elde ederiz ki bu da integralin değeridir ![]() İntegral teoremlerinin uygulanması İntegral teoremlerinin uygulanması genelde kontür integrallerini bir kontür boyunca bulmak için kullanılır ![]() ![]() Cauchy integral teoremi veya kalıntı teoremi gibi integral teoremler, genellikle şu yöntemde kullanılır: Belli bir kontür seçilir: Kontür seçilir ![]() ![]() ![]() Cauchy-Goursat teoreminin uygulanması İntegral her kutup etrafındaki küçük bir çember etrafında alınan bir integral haline gelir ![]() Cauchy integral teoremi veya kalıntı teoreminin uygulanması Bu integral formülünün uygulanması kontürün tümü üzerindeki integralin değerini verir ![]() Kontürün gerçel ve sanal kısımları olan başka bir kontüre bölünmesi ![]() Tüm kontür karmaşık düzlemin parçasını takip eden bir integrale bölünür ki bu kontür de daha önce seçilmiş gerçel değerli integrali (buna R diyelim) ve karmaşık düzlemi kesen integrali (buna da I diyelim) açıklar ![]() ![]() Karmaşık düzlemi kesen integralin gösteriminin toplamda bir rolü yoktur ![]() Eğer I integralinin sıfır olduğu gösterilebilirse veya aranan gerçek değerli integral düzensiz integral ise ve sonra yukarıdaki gibi açıklanan I integralinin 0'a gittiğini gösterebilirsek, R boyuncaki integral R+I kontürü boyuncaki integrale gidecektir ![]() Sonuç Yukarıdaki adımı gösterebilirsek, o zaman R 'yi, gerçel değerli integrali, dolaysız bir şekilde hesaplayabiliriz ![]() Örnek (I) integralini ele alalım ![]() ![]() Bu integrali bulmak için karmaşık değerli, i ve -i noktalarında tekillikleri olan fonksiyonuna bakıyoruz ![]() ![]() ![]() Şimdi, ilerlemek için kullanabileceğimiz iki adım var: Cauchy integral formülü veya kalıntılar yöntemi ![]()
olduğunu gözlemleyelim ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım |
![]() |
![]() |
#2 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatımyazabiliriz ki bu da fonksiyonu formülü dolaysız bir şekilde uygulayacak biçime getirir ![]() (Yukarıdaki adımlarda birinci türevi alıyoruz çünkü kutup ikinci bir mertebeden bir kutuptur ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() yazılabilir ![]() Böylece; Kalıntılar yönteminin kullanılması f(z) 'nin düşünmemiz gereken tek tekllik olan i civarındaki Laurent serisini ele alalım ![]() (Laurent serisi maddesinden bu çıkarım için örneğe bakınız ![]() ![]() ![]() ![]() Yarı çemberin yayına A dersek, A üzerindeki integralin a sonsuza gittikçe 0'a gittiğini göstermemiz gerekir ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım |
![]() |
![]() |
#3 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatımyazılabilir ![]() Böylece; Böylece aynı sonucu elde etmiş olduk ![]() Kontür notu Bir yandan, diğer tekilliği, yani -i 'yi, de çevreleyecek bir yarım çember alınıp alınamayacağı sorusu da sorulabilir ![]() ![]() Bu serilerle kalıntılar yönteminin kullanımını etkilemez ![]() Örnek(II) ? Cauchy dağılımı Olasılık kuramında Cauchy dağılımının karakteristik fonksiyonunun skaler bir katı olarak karşımıza çıkan ![]() integrali basit hesabın tekniklerine karşı koymaktadır ![]() ![]() ![]() eitz bir tam fonksiyon olduğundan (karmaşık düzlemin herhangi bir noktasında tekilliği yok), bu fonksiyonun tekillikleri payda z2 + 1 'in 0 olduğu yerlerde olacaktır ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım |
![]() |
![]() |
#4 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu AnlatımKalıntı teoremine göre, o zaman şunu elde ederiz ![]() C kontürü bir "doğru"ya ve bir de eğri bir yaya parçalanabilir ![]() olur ve bu yüzden olur ![]() Bu yüzden, eğer t > 0 ise, o zaman i yerine -i 'yi dolanan bir yay durumundaki benzer bir tartışma eğer t < 0 ise, o zaman olduğunu gösterir ve sonuç olarak şunu elde ederiz: ( t = 0 ise, o zaman integral gerçel-değerli hesabın yöntemleriyle çözülebilecek duruma gelir ve değeri de π olur ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım |
![]() |
![]() |
#5 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu AnlatımÖrnek (III) ? trigonometrik integraller Trigonometrik fonksiyonları içeren integrallere belli yerine koymalar yapılarak bu integraller karmaşık değişkenli rasyonel fonksiyonların integrallerine dönüştürülebilir ve böylece yukarıdaki teknikler integrali bulmak için kullanılabilir ![]() Örnek olarak şu integrali ele alalım: z = eit yerine koymasını yapabilmeyi arıyoruz ![]() Şimdi, şunları hatırlayalım: ve C 'yi birim çember alarak ve yerine koymayı yaparak şunu elde ederiz: Cauchy integral formülünü kullanıyoruz ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım |
![]() |
![]() |
#6 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu AnlatımO zaman göz önüne alınması gereken tekillikler 3-1/2i ve -3-1/2i 'de olur ![]() Burada C1, 3-1/2i etrafındaki küçük çemberdir ve C2, -3-1/2i etrafındaki büyük çemberdir ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım |
![]() |
![]() |
#7 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu AnlatımÖrnek (IIIa) – trigonometrik integraller, genel prosedür Yukarıdaki yöntem, P ve Q 'nun polinom olduğu tipindeki bütün integrallere; yani trigonometrik terimler halindeki rasyonel fonksiyonların integrallerine uygulanabilir ![]() Burada yapılan hile z = exp(it), dz = iexp(it)dt yerine koyması yapmaktır ![]() elde edilir ![]() ![]() ve olur ve böylece yerine koyma işleminden z değişkenli bir f(z) rasyonel fonksiyonu ortaya çıkar ve integral |
![]() |
![]() |
![]() |
Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım |
![]() |
![]() |
#8 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatımhaline gelir ki bu da birim çember içindeki f(z)'nin kalıntılarının toplanmasıyla hesaplanır ![]() Sağdaki resim bunu şimdi hesaplayacağımız için göstermektedir ![]() Yerine koymayla elde edilir ![]() ![]() birim çemberin dışında yer alırken (kırmızı ile gösterilmiştir ancak ölçekli gösterilmemiştir), ve birim çemberin içinde yer alır (mavi ile gösterilmiştir) ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım |
![]() |
![]() |
#9 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım'ye eşittir böylece integralin değeri olur ![]() Örnek (IV) – dallanma kesikleri integraline bakalım ![]() ![]() Yine ilişkin kalıntıları elde etmek için Cauchy integral formülü veya kalıntı teoremini kullanabiliriz ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() O zaman, orijinde ε yarıçaplı bir çemberle başlayan, bu çemberden uzayarak pozitif gerçel eksene oldukça yakın ve paralel olan ancak eksene dokanmayan sonra da saat yönünün tersi yönde ufak çemberden daha büyük yarıçapta bir döngü (neredeyse tam bir çember) yapıp tekrar pozitif eksene parallel bir şekilde (ancak bu sefer negatif eksen yönünde) ufak çemberle birleşen veanahtar deliği kontürü adı verilen kontürü kullanalım ![]() z = -2 ve z = -4 büyük çemberin içindeler ![]() ![]() ![]() γ, ε yarıçaplı ufak çember, Γ ise R yarıçaplı büyük çember olsun ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım |
![]() |
![]() |
#10 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatımz1/2 = e1/2 Log(z) olduğu için, dallanma kesiğinin üzerindeki kontür üzerinde, γ boyunca argumentte 2π kazanılmıştır ( Euler Özdeşliğiyle, birim vektörü temsil eder ki bu yüzden log olarak 'ye sahiptir ![]() ![]() ![]() basitleştirerek, ve sonra elde edilir ![]() Γ ve γ üzerindeki her iki integralin de ε sıfıra ve R sonsuza gittikçe sıfıra gittiği yukarıda bir tahmin tartışması yapılarak gösterilebilir ![]() Kalıntı teoremi veya Cauchy integral formülü kullanılarak (iki basit kontür integralinin toplamını elde etmek için ilk önce kısmi kesirler yöntemini kullanarak), aşağıdaki elde edilir ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım |
![]() |
![]() |
#11 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu AnlatımÖrnek (V) – logaritmalar ve sonsuzdaki kalıntı integralini bulmaya çalışalım ![]() fonksiyonunu incelememiz lazım ![]() ![]() ve z3 / 4 'ün kesiği bu yüzden aralığı olurken, (3 − z)1 / 4 'ün kesiği aralığı olur ![]() boyunca süreklidir ![]() Alttan yaklaşırsak, f(z) şu değeri alır: |
![]() |
![]() |
![]() |
Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım |
![]() |
![]() |
#12 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu AnlatımAncak, exp( − 3 / 4πi) = exp(5 / 4πi) olduğu için kesiği geçerken bile süreklilik vardır ![]() ![]() Burada resimde yeşil renkle gösterilen kontürü kullanacağız ![]() ![]() Alt parça boyunca yine f(z)'nin aldığı değer şudur: O zaman, 'nin üst parça boyuncaki integrali limitte olurken, alt parça durumunda ise olur ![]() Eğer limitte iki yeşil çember üzerinde alınan integrallerin değerinin sıfır olduğunu gösterebilirsek, o zaman aynı zamanda Cauchy kalıntı teoremi ile 'nın değerini de elde etmiş oluruz ![]() ![]() iken ML-eşitsizliğini uygulayalım ![]() Benzer bir şekilde, sağdaki CR çemberi için şunu elde ederiz: Şimdi Cauchy kalıntı teoremini kullanarak aşağıdaki eşitliği elde ederiz: Logaritmanın önceki dallanmasını kullanarak aşağıdaki ifade açıktır: |
![]() |
![]() |
![]() |
Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım |
![]() |
![]() |
#13 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu AnlatımResimde kutup mavi ile gösterilmiştir ![]() şeklinde sadeleşir ![]() Sonsuzdaki kalıntı için ise şu formülü kullanıyoruz: Yerine koyarak, ve eşitliklerini elde ederiz ![]() ![]() elde ederiz ![]() olur ![]() yani |
![]() |
![]() |
|