Cebir - Cebir Nedir ? Cebirsel İfadeler

Cebir - Cebir Nedir ?
Cebir yapı, bağlantı ve miktar üzerine uğraşan bir matematik dalıdır Bilinmeyen değerlerin, işaret ve harflerle sembolize edilerek kurulan denklemlerle bulunması (yada bilinmeyenlerin arasındaki bağlantının bulunması) esasına dayanır Cebir temellerini El Harezmi’den alır Cebir ardı Harezmi’nin “El’Kitab’ül-Muhtasar fi Hısab’il - Cebri ve’l-Mukabele” adlı eserinden gelmektedir Bu eser aynı zamanda doğu ve batının ilk cebir kitabı olma özelliğini taşımaktadır El Harezmi’den bu yana cebir çok değişmiştir Cebir bilim dalı, aritmetiğin çözemediği pek çok problemi çözebilmektedir

Cebir’in ilk defa ne zaman ve kim tarafından kullanıldığı?
Cebir ile ilgili en eski bilgiler MÖ 1700-1600 dan kalan eski Mısır papirüsleri üzerinde yazılmış olarak bulunmuştur Kullanımı bazı basit denklemlerin çözümlerinden ibaret olduğu ortaya çıkmıştır Sonradan eski Yunan matematikçileri cebir ile geometriyi ortak kullanmışlardır Euclid (MÖ 300) ve ilk olarak cebirsel semboller kullanan Diophanteus (MÖ 275) xy = k2 , x+y = a , x2 - y2 = a2 biçimindeki denklemlerin çözümlerini aramışlardır Eski zamanlarda Çinliler ve Hintliler de denklem çözmeyi biliyorlardı; Brahmagupta (MS628), Mahavira (MS 850), Bhaskara (MS 1150) cebirsel yöntemlerle bir çok problemi çözmüşlerdir İslam matematikçileri arasında Mohammed ibn Musa al-KhoWarizmi (MS 825) ve al-Karkhi (MS 1100) en ünlüleridir Özellikle, al-KhoWarizmi’nin cebri avrupalılar üzerinde büyük etki göstermiştir Avrupada ilk olarak, İtalyada cebir öğrenilmeye başlamıştırÖzellikle, ikinci ve üçüncü derece denklemlerin çözülmesine çalışılmıştır Avrupada cebir ile uğraşan en eski matematikçiler Tataglia (1535), Cardan (1545), Ferrari (1540), Vieta (1590), Harriot (1600) , Descartes (1637) ve Wallis (1655) dirDaha sonra,cebir Avrupalı matematikçiler tarafından geliştirilmiştir Ruffini (1803), Abel (1824), Galois (1831) 19-uncu yüzyılın başındaki en önemli matematikçilerdir

Cebir’de bilinmeyene neden x denildiği?
Neredeyse her bilinmeyeni simgelemek için kullanılan x harfi nereden geliyor?
Bu harfin kökeni Arapça “şey” kelimesine dayanıyor Daha sonra İspanyolcaya çevrilen cebir kaynaklarında “xay” olarak gözüken ifade x olarak kısaltıldı ve cebir’in bilinmeyeni simgelemede kullandığı en tercih edilir harf haline geldi

Hangi bilimlerde cebir’in kullanıldığı?
Matematik, Astronomi, Bilgisayar Programcılığı ve Tıp’ta cebir kullanılır

İslamiyet”in başlangıç yıllarında; dini günlerin tespiti, namaz vakitlerinin belirlenmesi, takvim hazırlanması gibi problemlerle uğraşılmış olunduğu, o devir İslam matematikçilerinin, arazi ölçüleri, veraset hesapları, yükseklik tayini ve günlük yaşantı için gerekli pratik ölçme ve hesaplamalar hakkında bazı çalışmalarında cebirden faydalanmışlardır

Cebir”in matematik bilimine sağladığı kolaylıklar
Cebir, bilinmeyen coklukların, matematik sembolleri ile formule edilerek kurulandenklikler yardımı ile ifadesi ve bu denkliklerin çözülmesini konu alır Cebir bilim dalı, aritmetiğin çözemediği pek çok problemi çözebilmektedir

Cebirsel İfade Tanımı

Cebirsel ifade bir yada birden fazla cebirsel terimin aynı ifade de yer almasına denir Cebirsel ifadeler , sayıları , değişkenleri ve diğer işlem sembollerini (+ ve - gibi)içerir Aynı terimleri ekleyerek veya çıkartarak cebirsel ifadeleri sadeleştirebiliriz Eğer bir cebirsel ifadenin önünde hiç sayı yoksa , bu ,onun kat sayısının "1" olduğu anlamına gelir

Cebirsel İfadeler Nedir

Belli bir kurala göre verilen sayı örüntülerini harfler kullanarak denkleme dökme şekline cebirsel ifadeler denir Diğer bir tanımla 2x gibi en az bir bilinmeyen ve işlem içeren ifadelere cebirsel ifadeler denir

3a+5b gibi cebirsel ifadelerde toplama veya çıkarma sembolleriyle ayrılan 3a ve 5b'ye terim denirTerimlerin sayısal çarpanı olan 3 ve 5'e ise katsayı denir

Ali’nin yaşının 2 fazlası demek x+2 olarak yazılır
Bu tür denklemleri çözerken amaç bilinmeyeni yani harfleri yalnız bırakıp harflerin sayı karşılığını bulmaktır
Cebirsel ifadelerde kullanılan harfler sayıları temsil eder ve bilinmeyen veya değişken olarak isimlendirilir

Değişken yerine bir sayı yazarak cebirsel ifadenin o sayı için değerini buluruz

Değişkeni ve bu değişkenin kuvvetleri eşit olan cebirsel ifadeler benzer terimlerdir

Cebirsel ifadeler toplanırken benzer terimlerin kat sayıları toplanır 9x-6x gibi cebirsel ifadede harfleri aynı olan terimlere benzer terimler denirBurada 9x ile 6x benzer terimdirBenzer terim olunca işlem yapılır 9x-6x=3x olur

Cebirsel ifadeler, sayısal ifadelerin başka bir gösterimi olduğundan çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği uygulanır

Eşit işareti (=) ve bilinmeyen içeren sayı cümlesine denklem denir Denklemi doğru yapan değişkenin değerine o denklemin çözümü denir
Farklı şekillerin biraraya gelmesi sonucu oluşan yeni şekillere örüntü denirÖrüntüye halı desenlerini, sınıflardaki fayansların dizilişlerini,belli bir şekilde artarak devam eden sayı dizilerini örnek verebilirizİşte bunlar belli bir sayısal kurala göre dizilirlerÖrneğin; 2,4,6,8,veya 3,6,9,12, veya 5,10,15,20,25, gibi

Cebirsel ifadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemi

Örnekle başlayalım: 2 elma + 3 elma = 5 elma
peki…

2 elma +3 armut = ?
5 elma mı eder, yoksa 5 armut mu?

Toplama ve çıkarma işleminde birimleri aynı olmayan şeyleri toplayamaz ve çıkartamayız Cebrisel ifadelerde de toplama veya çıkarma işlemi yaparken terimlerin aynı olmasına dikkat edeceğiz
Örnek: 2x-4x =-2x gördüğümüz gibi elma ile elmanın toplanmasına benziyor Terimler aynı, ikisi de x ten oluşuyor O halde toplama veya çıkarma işlemi yapabilirim
peki işlemi nasıl yaptım ?

bir parantez açıyorum ve parantezin arkasına aynı olan terimi yazıyorum İçine de gördüğüm sayıları yazıyorumSonra parantez içindeki işlemi yapıyorumÇok basit Bakın !
(2-4)x=-2x ( aynı rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işleminde paydaların sabit kalması gibi, burada da terimler aynı kalıyor

Başka bir örnek: -3ab-4b = ?
bu soruda toplama ve çıkarma işlemi yapılamaz çünkü terimler aynı değil Terimin biri ab den, diğeri ise sadece b den oluşuyor

Soru: Peki birçok terim varsa ne yapmalıyız
Cevap: Birçok terim olabilir, var ise sadece birbirine benzeyen terimler ile toplama çıkarma işlemi yapılabilir Benzer terim kalmadığında ise işlem o şekilde bırakılır sonuç yazılır

Örnek: +4a-5ab-3a-4b+2ab
=(+4-3)a+(-5+2)ab-4b
= +1a-3ab-4b
Yukarıda görüldüğü gibi benzeyenlerle toplama çıkarma yapıldıBenzemeyenler olduğu gibi kaldı

Cebirsel ifadelerde Çarpma İşlemi

Çarpma işleminde ise benzer terim şartı yok
Her terim diğeriyle çarpılabilir
Örneğin; 2x ile 3y toplanamaz fakat çarpılabilir
2x3y = 6xy eder
Görüldüğü gibi 2 ile 3 çarpıldığında 6 sonucunu elde ederiz
x ile y benzer değildir bu yüzden yan yana yazıyoruz
Peki bazı durumlara bakalım



Yukarıdaki örneğin 1 sinde 2x sayısı paranteze dağıtılacak Önce 3x ile, sonra 4y ile çarpılıyor Bu, kolay olan bir dağılmaydı Şimdi diğerine bakalım2 örnekte ise, birinci parantezdeki terim 2 tane, bu terimler tek tek diğer parantezdeki terimlerle çarpılacak

DİKKAT! dağılma özelliğinde özellikle terimlerin önündeki işaret çarpımlarına dikkat edilmeli Birinci parantezdeki birinci terim diğer parantezdeki 2 terimle de tek tek çarpıldı, sonra ise birinci aprantezdeki ikinci terim diğer parantezdeki 2 terimle tek tek çarpıldıİşaretlere dikkat edildi Zaten, hangi terimelrin birbiriyle çarpıldığı ok ile gösterilmekte

harikaaaaaaa

Cebirsel sayılar

Cebirsel sayılar, katsayıları tam sayılar olan bir polinomun kökü olarak ifade edilebilen sayılardır Örneğin tüm rasyonel sayılar aynı zamanda bir cebirsel sayıdır; hepsi şeklindeki bir polinomun köküdür sanal bileşeni olan sayılar da cebirsel olabilir Örneğin i sayısının kendisi cebirseldir; polinomunun köküdür

Mahavira (MS 850) kimdir?

bencede süperrrrrrrrrrrrrr

bencede güzel