Euler Özdeşliği Nedir?

**Prof. Dr. Sinsi** · 12-19-2012

Matematiksel çözümlemede Euler özdeşliği olarak adlandırılan ve Leonhard Euler (bak

Leonhard Euler) tarafından bulunan eşitlik
eo_1

png

dır

Burada,
[*]eo_2

png, doğal logaritma tabanı Euler sayısını,[*]eo_3

png, karesi -1'e eşit olan karmaşık sayıyı,[*]eo_4

png, bir çemberin çevre uzunluğunun çapına oranına eşit olan pi sayısını ifade eder

Euler özdeşliği zaman zaman Euler denklemi olarak da adlandırılmaktadır

Özdeşliğin Doğası
Euler özdeşliği birçok matematikçi tarafından göze hoş gelen bir denklem olarak tanımlanmaktadır

Denklem, aritmetik işlemlerden toplama, çarpma ve üs almayı içerir

Euler özdeşliği matematiğin beş temel sabitini de içerir:

0 sayısı
1 sayısı
Trigonometri, Öklit geometrisi ve matematiksel çözümlemenin vazgeçilmez unsurlarından pi sayısı
Doğal logaritma tabanı olarak da adlandırılan e sayısı (bak e sayısı ≈ 271828)
Karmaşık sayıların temel birimi olan ve integral gibi birçok işleme izin veren i sayısı

Özdeşliğe İlişkin Düşünceler
Mathematical Intelligencer okurları tarafından yanıtlanan bir anket sonucuna göre Euler özdeşliği matematiğin en hoş kuramıdır

Physics World tarafından 2004 yılında yapılan bir diğer anket sonucuna göre ise Euler eşitliği Maxwell denklemleri ile birlikte "gelmiş geçmiş en büyük denklemler" olarak belirlenmiştir

Paul Nahin'in Dr Euler'in Enfes Formülü (2006) adlı kitabı Euler özdeşliğine adanmıştır

Dörtyüz sayfa uzunluğundaki bu kitap Euler özdeşliğinin "matematiksel güzelliğin zirvesine ulaştığı" kanısındadır

Constance Reid, Euler özdeşliğinin "matematiğin en önemli formülü" olduğunu öne sürmüştür

Gauss'un bu formülü ilk duyduğunda anlayamayan hiçbir öğrencinin birinci sınıf bir matematikçi olamayacağını söylediğine inanılmaktadır

19

yüzyılın ünlü matematikçilerinden Benjamin Peirce bir dersinde özdeşliği kanıtladıktan sonra şunları söylemiştir:
"Bu özdeşlik ilk bakışta çelişkili gibi duruyor ancak bunu kanıtladıktan sonra gerçeğin ta kendisiyle karşı karşıya olduğumuzu görüyoruz

"

Stanfordlu matematik profesörü Keith Devlin, Euler özdeşliği hakkında şunları söylemiştir:
"Euler özdeşliği aşkın gerçek anlamını kavrayan bir Shakespeare sonatı ya da insanın ruhuna işleyen bir resim gibi varoluşun en derinlerine iniyor

"

Çıkarımı
Euler_formula

svg

png
Euler özdeşliğinin rastgele bir açıya uygulanması

Özdeşlik, karmaşık çözümlemedeki Euler formülünün özel bir durumudur

Euler formülü her x
gerçel sayısı için aşağıdaki eşitliği sağlamaktadır

eo_5

png
eo_6

png

eşitliği sağlanıyorsa
eo_7

png

ifadesi elde edilir

Bunun nedeni
eo_8

png

ve
eo_9

png

eşitliklerinin sağlanmasıdır

Bunun ardından aşağıdaki eşitlik elde edilir

eo_10

png

ve bu eşitlik bizi Euler özdeşliğine götürür

eo_11

png

Genelleme
Euler özdeşliği aşağıda formülü verilen eşitliğin n = 2 durumunu sağlar

eo_12

png

Atıf Sorunu
Euler, formülünün e sayısını cos ve sin terimleriyle ilişkilendirdiğini birçok yerde belirtmiştir ancak Euler'in kendi adına atfedilen özdeşliği bulduğuna dair somut bir kanıt bulunmamaktadır

Bazı kaynaklar bu özdeşliğin Euler'in doğumundan önce kullanılmakta olduğunu öne sürmektedirler

(Durum böyleyse bu, Stigler adlandırma yasasına bir örnek oluşturabilir

) Bu nedenle, özdeşliğin Euler'e atfedilmesinin uygun olup olmadığı konusunda genel bir kabul yoktur

12-19-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Euler Özdeşliği Nedir? Matematiksel çözümlemede Euler özdeşliği olarak adlandırılan ve Leonhard Euler (bak Leonhard Euler) tarafından bulunan eşitlik eo_1png dır Burada, []eo_2png, doğal logaritma tabanı Euler sayısını,[]eo_3png, karesi -1'e eşit olan karmaşık sayıyı,[]eo_4png, bir çemberin çevre uzunluğunun çapına oranına eşit olan pi sayısını ifade eder Euler özdeşliği zaman zaman Euler denklemi* olarak da adlandırılmaktadır Özdeşliğin Doğası Euler özdeşliği birçok matematikçi tarafından göze hoş gelen bir denklem olarak tanımlanmaktadır Denklem, aritmetik işlemlerden toplama, çarpma ve üs almayı içerir Euler özdeşliği matematiğin beş temel sabitini de içerir: 0 sayısı 1 sayısı Trigonometri, Öklit geometrisi ve matematiksel çözümlemenin vazgeçilmez unsurlarından pi sayısı Doğal logaritma tabanı olarak da adlandırılan e sayısı (bak e sayısı ≈ 271828) Karmaşık sayıların temel birimi olan ve integral gibi birçok işleme izin veren i sayısı Özdeşliğe İlişkin Düşünceler Mathematical Intelligencer okurları tarafından yanıtlanan bir anket sonucuna göre Euler özdeşliği matematiğin en hoş kuramıdır Physics World tarafından 2004 yılında yapılan bir diğer anket sonucuna göre ise Euler eşitliği Maxwell denklemleri ile birlikte "gelmiş geçmiş en büyük denklemler" olarak belirlenmiştir Paul Nahin'in Dr Euler'in Enfes Formülü (2006) adlı kitabı Euler özdeşliğine adanmıştır Dörtyüz sayfa uzunluğundaki bu kitap Euler özdeşliğinin "matematiksel güzelliğin zirvesine ulaştığı" kanısındadır Constance Reid, Euler özdeşliğinin "matematiğin en önemli formülü" olduğunu öne sürmüştür Gauss'un bu formülü ilk duyduğunda anlayamayan hiçbir öğrencinin birinci sınıf bir matematikçi olamayacağını söylediğine inanılmaktadır 19 yüzyılın ünlü matematikçilerinden Benjamin Peirce bir dersinde özdeşliği kanıtladıktan sonra şunları söylemiştir: "Bu özdeşlik ilk bakışta çelişkili gibi duruyor ancak bunu kanıtladıktan sonra gerçeğin ta kendisiyle karşı karşıya olduğumuzu görüyoruz" Stanfordlu matematik profesörü Keith Devlin, Euler özdeşliği hakkında şunları söylemiştir: "Euler özdeşliği aşkın gerçek anlamını kavrayan bir Shakespeare sonatı ya da insanın ruhuna işleyen bir resim gibi varoluşun en derinlerine iniyor" Çıkarımı Euler_formulasvgpng Euler özdeşliğinin rastgele bir açıya uygulanması Özdeşlik, karmaşık çözümlemedeki Euler formülünün özel bir durumudur Euler formülü her x gerçel sayısı için aşağıdaki eşitliği sağlamaktadıreo_5png eo_6png eşitliği sağlanıyorsa eo_7png ifadesi elde edilir Bunun nedeni eo_8png ve eo_9png eşitliklerinin sağlanmasıdır Bunun ardından aşağıdaki eşitlik elde edilir eo_10png ve bu eşitlik bizi Euler özdeşliğine götürür eo_11png Genelleme Euler özdeşliği aşağıda formülü verilen eşitliğin n = 2 durumunu sağlar eo_12png Atıf Sorunu Euler, formülünün e sayısını cos ve sin terimleriyle ilişkilendirdiğini birçok yerde belirtmiştir ancak Euler'in kendi adına atfedilen özdeşliği bulduğuna dair somut bir kanıt bulunmamaktadır Bazı kaynaklar bu özdeşliğin Euler'in doğumundan önce kullanılmakta olduğunu öne sürmektedirler (Durum böyleyse bu, Stigler adlandırma yasasına bir örnek oluşturabilir) Bu nedenle, özdeşliğin Euler'e atfedilmesinin uygun olup olmadığı konusunda genel bir kabul yoktur