Büyük Sayılar Yasası Nedir?

Büyük sayılar yasası, bir rassal değişkenin uzun-vadeli kararlılığını tanımlayan bir olasılık teoremidir Sonlu bir beklenen değere sahip birbirinden bağımsız ve eşit dağılıma sahip bir rassal değişkenler örneklemi verildiğinde, bu gözlemlerin ortalaması sonuçta bu beklenen değere yakınsayacak ve bu değere yakın bir seyir izleyecektir
Büyük sayılar yasası bir zarın peş peşe atılması ile örneklenebilir Öyle ki, multinom dağılımı sonucunda 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayılarının gelme olasılığı eşittir Bu sonuçların nüfus ortalaması (ya da "beklenen değer"i),(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5

olur Sağdaki grafik bir zarın atılması deneyinin sonuçlarını göstermektedir Bu deneyde görürüz ki, ilk başta zar atışlarının ortalaması çılgınca dalgalanmaktadır Büyük sayılar yasası tarafından öngörüldüğü üzere, gözlem sayısı arttıkça, ortalama, beklenen değerin yani 3,5'in etrafında dengelenmektedir
Bir başka örnek madeni para atılması olabilir Bir madeni paranın peş peşe atılması durumunda, yazıların (ya da turaların) sıklığı, gözlem sayısı arttıkça, %50'e gittikçe yaklaşacaktır Fakat yazı ve tura sayıları arasındaki mutlak fark atış sayısı arttıkça açılacaktır Örneğin, 1000 atıştan sonra 520 ve 10000 atıştan sonra 5096 yazı görebiliriz Ortalama, 52'den, 5096'ya gittiği, gerçek %50'ye yaklaştığı halde, ortalamadan toplam fark 20'den 96'ya yükselmiştir
Büyük sayılar yasası önemlidir, çünkü rastgele olaylardan kararlı uzun-vadeli sonuçlar alınacağını "garanti eder" Örneğin, bir gazino tek bir Amerikan Rulet dönüşünden para kaybedebilir, ama 1000'lerce dönüşe oynanan paranın tamamının %5,3'üne yakınını neredeyse kesin olarak kazanacaktır Bir oyuncunun herhangi bir kazancı, sonuçta oyunun başlıca parametreleri tarafından soğurulacaktır Büyük sayılar yasasının büyük sayıda gözlem yapıldığı zaman etkili olacağı unutulmamalıdır Küçük miktardaki gözlem için sonucun beklenen değere yaklaşacağını veya bir sapmanın hemen bir başkasıyla "dengeleneceğini" beklemek için bir neden yoktur

Geçmiş
Büyük sayılar yasası ilk olarak Jacob Bernoulli tarafından tanımlanmıştır 1713'te "Ars Conjectandi" (Varsayımın Sanatı) adlı eserinde yayınlanan yeterli derecede titiz bir kanıtı geliştirebilmesi 20 yılına mal olmuştur Bunu kendisinin "Altın Teoremi" olarak adlandırmış, fakat yaygın olarak "Bernoulli'nin Kuramı" olarak bilinmektedir(Bernoulli kuramı fizik kuramıyla karıştırılmaması gerekir) 1835'te S D Poisson, bu yasayı "La loi des grands nombres" (Büyük sayılar yasası) olarak adlandırmıştır İki isimde de anılagelen bu yasa için "Büyük sayılar yasası" terimi daha fazla kullanılmaktadır
Bernoulli ve Poisson kendi çalışmalarını yayımladıktan sonra, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli ve Kolmogorov'un da aralarında yer aldığı diğer matematikçiler de yasanın gelişmesine katkıda bulunmuşlardır Bu çalışmalar yasanın iki belirgin biçiminin ortaya konulmasında etkili olmuştur Bu biçimlerden biri "zayıf" yasa, diğeri de "güçlü" yasa olarak adlandırılır Bu biçimler farklı yasaları tanımlamamaktadır, sadece ölçülmüş olasılığın, gerçek olasılığa yakınsamasını tanımlamanın farklı yollarıdır ve büyük olan küçüğü içerir

Biçimler
Yasanın her iki ifadesi de örneklem ortalamasının
32e73b3c60d297dd085bd0385edf8e59png

beklenen değere yakınsadığını
24e1745cea16df9f755568841e5f3003png

ifade eder
Burada X1, X2, değerleriE(X1)=E(X2) = = µ < ∞

beklenen değerlerine sahip, bağımsız ve eş aralıklı (iid) sonsuz rassal değişken sırasını simgeler
Bir sonlu varyans
Var(X1) = Var(X2) = = σ2 < ∞

varsayımına ihtiyaç yoktur Büyük veya sonsuz varyans yakınsamayı daha yavaş kılacaktır, fakat büyük sayılar yasası hala geçerlidir Kanıtları daha kolay ve kısa tutmak için bu varsayım genellikle yapılır
Güçlü ve zayıf ifadeler arasındaki fark, hangi tür yakınsamadan bahsettiğimizdir

1 Zayıf Yasa
Büyük sayıların zayıf yasası belirtmektedir ki, örneklem ortalamasının olasılıkta yakınsaması
beklenen değere doğru gerçekleşir3a9855acf987a0427d7956ede42217e4png

Bu, herhangi bir pozitif ε sayısı için
15875d18df2e25d9a89c3b40f74430e0png

Olasılıkta yakınsamayı yorumlarsak, zayıf yasa der ki, bir çok gözlemin ortalaması giderek ne kadar küçük olduğuna bakılmaksızın, verilen herhangi bir sıfırdan farklı sınır dahilinde olmak üzere, ortalamaya yakın olacaktır
Bu ifadeye zayıf yasa denir, çünkü olasılıkta yakınsama, rassal değişkenlerin zayıf yakınsamasıdır
Zayıf büyük sayılar yasasının bir sonucu asimptotik eşdağılım özelliğidir

2 Güçlü Yasa
Büyük sayıların güçlü yasası der ki, örneklem ortalamasının olasılıkta yakınsaması neredeyse kesin olarak beklenen değere doğru gerçekleşir
328b1c1bed8b4eacb265d074609625capng

Bu demektir ki,
7d3b6afc7bab9a538ae3516de589c016png

[size="3">Kanıt, zayıf yasadan daha karmaşıktır Bu yasa bir rassal değişkenin beklenen değerini "][/size]