Ortalama Hesapları-Matematik Dersi Ortalama Hesapları Konu Anlatımı Detay İçerik

Ortalama

Matematik ana biliminde , özellikle istatistik bilim dalında, bir ortalama veya merkezsel konum ölçüleri bir anakütle veya örneklem veri dizisi değerlerini temsil eden tek bir orta değeri veya beklenen değeri yani tüm veri dizisinin orta konumunu tek bir sayı ile ifade eden betimsel istatistik ölçüsüdür Genel olarak günlük pratik hayatta çok popüler olarak kullanılan ortalama aritmetik ortalama olmakla beraber, bu ölçünün çok belirli dezavantajları olduğu göz önüne alınarak, bir çok değişik merkezsel konum ölçüleri geliştirilmiş ve pratikte kullanılmaktadır İstatistikde bilimsel olarak ortalamalar kavramına bir aksiyomatik yaklaşım JBibby (1974) tarafından verilmiştir

Ortalama kavramı başlangiçta deniz nakliyatında ortaya çıkan zarar kavramından geliştirilmiştir Deniz nakliyatinda zarar ya zarar gören esya sahibi tarafından özel avarya olarak tümüyle yüklenilir veya nakil edilen eşyaların satış kârını ortak olarak paylaşanlar tarafından genel avarya ortaklık payına göre olarak karşılanır Genel avarya hesabının yapılması için geliştirilip kullanılan matematiksel hesaplar aritmetik ortalamanın ilk kullanılma alanı olmuştur Bu kavrama Arapça avar, Italyanca avaria, Türkçe'de (pek çok denizcilik terimi gibi İtalyanca'dan alınan) avarya ve İngilizce average adı verilmektedir İngilizce'de ayni sözcük, ve bazı günlük pratik hallerde Turkçe'de kullanılan avaraj sözcüğü ortalamaya eşit anlamda kullanılmaktadır

Ortalama tipleri

Ortalama bir sayısal veri dizisininin merkezsel konumunu temsil etmek için seçilen tek bir sayı halinde bir özettir Eğer veri dizisinde tüm elemanlar aynı sayı ise ortalama bu tek sayıdır Ancak bu tip veri dizisi gayet nerede ise hiç bulunmadığı için değişik şekilde veri dizisinin merkezsel konumunu temsil edecek ortalamalar geliştirilmiştir Önce bu ortalamalardan en çok kullanılanları kısaca ele alinacak ve sonra daha geniş kapsamlı bir tablo sunulacaktır

En çok kullanılan ortalama tipleri

Aritmetik ortalama

Aritmetik ortalama bir anakütle veya bir örneklem veri değerlerinin toplamlarının o anakütledeki terim sayısına veya örneklem büyüklüğüne bölünerek elde edilen merkezsel konum değeridir Bu tanınım şu formülle gösterilir:

Burada örneklem aritmetik ortalaması sembolüdür; anakütle aritmetik ortalaması için μ kullanılır

İstatistikte sıkça kullanılır Fakat bazı eksik yönleri vardır

* Verilerin ölçülme ölçeğinin ya aralıklı veya oransal olması gerekir İsimsel ölçekli veriler için aritmetik ortalama anlamsizdır Birçok istatistikçi sırasal ölçekli veriler için aritmetik ortalamanın anlamsiz olduğunu kabul etmektedirler; ancak pratikte özellikle anketten ortaya çıkarılan sırasal ölçekli veriler için aritmetik ortalama hesaplanıp önemli alanlarda kullanılmaktadir

* Eğer anakütle veya örneklem veri dağılımı simetrik olmayıp çarpıklık gösteriyorsa, aritmetik ortalama merkezsel değer olmaktan çıkıp çarpıklık kuyruğunun bulunduğu tarafa doğru gitmeye eğilimlidir Bu istatistik bilenlerin, istatistik bilmeyenlere karşı kullanabilecekleri bir aldatmaca yolu da olabilir

Örnek: Bir işyerinde işçiler maaşlarının düşük olmasından dolayı şikayetçidirler Fakat yöneticiler tam tersini savunabilirler Maaş dağılımları şöyle olsun:

1 Genel Müdür: 15000,00 YTL2 tane Genel Müdür Yardımcısı: her biri 5500,00 YTL5 tane idari işler sorumluları (Halkla ilişkiler, İnsan kaynaklarıvb): her biri 1500,00 YTL30 tane normal personel = her biri 1000,00 YTLBöyle bir durumda maaşların aritmetik ortalaması alınırsa

[15000+(3x5500)+(6x1500)+(30x10 00)]/38 = 167105 YTL olarak ortalama aylık maaş hesaplanır Ama bu ortalama merkezsel konumu göstermez 38 personelden ancak 3u ortalamadan fazla maaş almakta görülmektedir ve maaş dağılımı çok bariz şekilde çarpıktır Çok küçük sayıda kişi (müdür ve 2 yardımcısı) karşılaştırılmalı olarak çok büyük değerde maaş almakta ama çok büyük sayıda kişi düşük değerde maaş almaktadır Böylece maaş dağılımı gayet asimetrik olup sağda bir ince uzun bir kuyruk bulunmaktadır; veri dağılımı pozitif çarpıklık göstermektedir Bu nedenle maaş aritmetik ortalaması merkezsel konum göstergesi olmaktan çıkmıştır

Geometrik ortalama

Geometrik ortalama bir anakütle veya bir örneklem veri değerlerinin çarpımlarının o anakütledeki terim sayısına veya örneklem büyüklüğüne eşit kökü alınmak suretiyle elde edilen bir merkezsel konum değeridir Bu tanımlama için formül şöyle verilir:Kaynakwh: Ortalama

Burada G geometrik ortalama sembolüdür

Bu tür ortalamanın da dezavantajları bulunmaktadır:

* Büyük bir sayıda kök almak el hesabı ile imkânsız olduğu için bu tür ortalama genel olarak elektronik hesap makinelerinin veya kompüterlerin gelişmesinden önce kullanılması çok zor olmaktaydı Verilerin logaritması alınıp; bu logaritma verilerinin toplamı bulunup; eldeki veri büyüklük sayısına bölünmesi ile geometrik ortalamaın logaritma değeri bulunup; bunun antilogaritmasının alınması gerekmekteydi Orta basitlikte hesaplar yapabilen elektronik hesap makinaları veya kompüter kullanılarak geometrik ortalama almak çok kolaylaşmıştır

* Geometrik ortalama bulabilmek için verilerin pozitif değerde olması gerekmektedir yani veri değerlerinin özellikle sıfır veya negatif olmaması gerekmektedir Eğer tek bir veri değer sıfır ise, geometrik ortalama almak anlamsız olacaktır

* Ayrıca verilerin ölçülme ölçeğinin oransal olması gerekir; isimsel ölçekli, sırasal ölçekli ve aralıksal ölçekli veri değerleri için geometrik ortalama anlamsız olur

Mod

Mod veri dizisi içinde en çok defa tekrarlanan veri değeridir Mod isimsel ölçekli veriler için anlamlı olan tek ortalama ölçüsüdür Ancak veri dizisi içinde tek bir mod olmayabilir Yahutta birden fazla sayıda mod bulunabilir

Medyan

Medyan bir veri dizisinin küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıralanmasından sonra bu dizinin tam ortasında bulunan değerdir Eğer veri büyüklüğü tek sayılı ise medyan verilen bir veri değerine eşit olur Eğer veri büyüklüğü çift sayılı ise medyan orta iki değerin ortalaması olur Medyan bulmak için basit bir algoritmaya göre, sıralanmış veri değerlerinin kalan en küçük ve en büyük değerleri birer birer elimine edilir; veri sayısı tek ise en son kalan tek veri medyandır; eğer veri sayısı çift ise son kalan iki veri çiftinin ortalaması medyan olur

Genelleştirilmiş ortalama türleri

İstatistikçiler ortalama türlerini genelleştiren tek bir formül bulmak için değişik yaklaşımlar kullanmışlardır:

* Genelleştirilmiş ortalama formülü şöyle verilir:

Bu formülde m için değişik değerler değişik ortalama türü verirler: :

*

o eğer m = 1 ise aritmetik ortalama;

o eğer m = 2 ise kuadratik ortalama;

o eğer m = -1 ise harmonik ortalama;

o limit m → 0 ise geometrik ortalamaya yaklaşır

* Genelleştirilmiş f-ortalaması formülü diğer bir örnektir Genelleştirilmiş f-ortalaması için formül şudur:

Burada f tersi alınabilir bir fonksiyondur Bu formül değişik ortalamalar için şu şekilleri alır:

*

o Geometrik ortalama için f(x)=log x olur

o Harmonik ortalama için f(x)= 1/x olur

o Çok az bilinen üstel ortalama için f(x)=ex olur

Ancak bu genelleştirme ile tüm ortalamaların ayrı ayrı formüllerini bulmak imkânsızdır

* Diğer bir genelleştirme, ortalamalar listesi elamanlarının permütasyonu halinde simetrik olan bir g(x1, x2, , xn) fonksiyonunun değişik şekillerde ifadesi ile yapılır:

o Aritmetik ortalama için g(x1, x2, , xn) =x1+x2+ + xn

o Geometrik ortalama için g(x1, x2, , xn) =x1·x2· · xn

o Harmonik ortalama için g(x1, x2, , xn) =x1−1+x2−1+ + xn−1

Değişik ortalama tipleri özeti

İstatistik bilim dalında bir sıra değişik ortalama tipleri geliştirilmiş ve bunlardan araştırıcının isteğine göre birinin veya bir kaçının eldeki veriler için merkezsel konum ölçüsü olarak kullanılması imkânı sağlanmıştır

Orjinal Boyutunda Açmak İçin ( 853x523 ve 54KB ) Buraya Tıklayın

Resimi büyültmek için tıklayın Orjinal Boyut: 853x523

Aritmetik Ortalama

İstatistik bilim dalında hem betimsel istatistik alanında hem de çıkarımsal istatistik alanında en çok kullanan merkezsel konum ölçüsü aritmetik ortalamadır Genel olarak aritmetik ortalama pratik veya teorik tüm veri dizisinin toplanmasi ve bu toplamin veri sayısına bölünmesi ile elde edilen bir sayıdır

Tanımlama

Matematiksel biçimde aritmetik ortalama anakütle için μ ve örneklem için () olarak ifade edilir

Genel formül

Anakütle büyüklüğü N ve örneklem büyüklüğü n olduğu kabul edilirse, aritmetik ortalama hesaplaması için formüller şöyle verilir: Anakütle aritmetik ortalaması:

Örneklem aritmetik ortalaması:

Örnegin, bir sınıftaki farklı kişilerin aldığı not veya sayının toplamının kişi sayısına bölünmesi aritmetik ortalamayı verir

Çokluk dağılım verileri için formül

Bazan veriler daha önceden özetlenip sınıflara ayrılıp gruplanmışlardır Bu gruplanmış veri özetine çokluk dağılımı adı verilmektedir Bu halde N veya n sayıda veri dizisi m sayıda gruba ayrılmakta ve her grup belli bir minimum ve maksimum değerler arasında bulunan verileri kapsamaktadır Böylece veriler bir çokluk tablosu veya frekans tablosu içinde m sayıda sınıf birinci sütunda ve her sınıf içinde bulunan çokluk (frekans) ( için fj)) ikinci sütunda yer almaktadır Bu tür özetlenmiş veri dizisi için bir yaklaşık aritmetik ortalama bulunabilir Bu yaklaşık bir değerdir çünkü her veri için gerçek x değeri değil, ancak sınıfsal ortalama ( için ) kullanılmaktadır Böylece çokluk dağılımlarında aritmetik ortalama hesaplanırken şu formüller kullanılır:

Anakütle ortalaması:

Örneklem ortalamasi

Dezavantajları

Aritmetik ortalama çok popüler olarak hesaplanıp kullanılmakla beraber bazı önemli dezavantajları bulunmaktadır

* Aşırı değerlere duyarlı (yani güçsüz) bir merkezsel konum ölçüsüdür Eğer veri dizisi için asimetrik olarak sadece bir uçsal değer ya aşırı küçük ya aşırı büyük ise aritmetik ortalama o aşırı değere yaklaşma gösterir

* Aritmetik ortalama her türlü ölçülme ölçekli sayısal veri için kullanılamaz İsimsel ölçekli sayısal veriler için aritmetik ortalama anlamsızdır Sırasal ölçekli sayısal veriler için aritmetik ortalama kullanılması büyük tartışmalara açıktır Birçok kişi değişik kişilerin sıralamalarının aynı olduğunu kabul etmedikleri için elde edilen verilerin toplamının ve bu toplamdan çıkartılan aritmetik ortalamanın anlamsız olacağını kabul etmektedirler Ancak işletme alanı, davranışsal bilimler ve sosyal bilimlerde, özellikle anket verileri, sırasal ölçekli olmakta, ve buna rağmen bu verilerin aritmetik ortalamaları pratikte onemli alanlarda kullanılmaktadır Aralıksal ölçekli ve oransal ölçekli sayısal veriler için aritmetik ortalama anlamlıdır

Genelleştirilmiş f-ortalaması

Matematik ve istatistik bilim dallarında genelleştirilmiş f-ortalaması merkezsel konum ölçülerinden olan değişik ortalamalar için tek bir genel fonksiyon ve formül bulma ve kullanma çabaları sonucu ortaya çıkarılmıştır Benzer çabalar biraz değişik diğer bir genelleştirilmiş ortalama formülünü vermiştir Bu nedenle isim karışıklığını önlemek için f-ortalaması çeşitli diğer isimlerde de anılmaktadır Bazan yarı-aritmetik ortalama adı kullanılmaktadır Bu kavramı ve formülü ilk geliştiren Rus matematikçisi AKolmogorov adına atfen de bazan Kolmogorov ortalaması olarak isimlendirilmektedir

Tanımlama

Eğer f, reel doğrunun bağlanmış altseti olan Syi reel sayılara tasarımlayan bir fonksiyon ise ve hem sürekli hem de enjektif ise, o halde şu iki sayı olan

için f-ortalaması şöyle tanımlanır:

n büyüklükteki bir veri dizisi

,

olur ve f-ortalaması

ifadesi ile verilir

Ters fonksiyon olan f - 1 mevcut olması için fnin enjektif olması gerekir Fonksiyonun sürekli olması için

ifadesinin f - 1 sahasında bulunmalıdır Böylece enjektif ve sürekli olması sağlanan f kesinlikle monotonik fonksiyon olur ve bunun için x içinde ne bu grubun içindeki en büyük sayıdan daha büyük ne de grubun en küçük sayısından daha küçük olabilir

Özellikler

* Bölüntülenme: f-ortalama hesaplanırken, veriler birbirine eşit alt-bloklara bölüntülenebilip genel sonuca etki yapmadan hesaplar ayrı ayrı alt-bloklara uygulanabilir:

Orjinal Boyutunda Açmak İçin ( 737x22 ve 2KB ) Buraya Tıklayın

Resimi büyültmek için tıklayın Orjinal Boyut: 737x22

* Elemanların çarpma özelliği korunursa, genel f-ortalamayı etkilemeden her altset için ayrı ortalama önceden hesaplanabilir

Kaynakwh: Ortalama

ile şu ifade gerçek olabilir

* Genelleştirilmiş f-ortalamasi f de kaymalar ve yeniden ölçeklenmelerden etkilenmez; yani



* Eğer f monotonik ise, o halde Mfde monotoniktir

İlişkiler

* Eğer S reel doğruya (yahut anin sıfır olmadığı herhangi bir doğrusal fonksiyon a) tasarımlanırsa ve f = id, ise f-ortalaması aritmetik ortalama olur

* Eğer S pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve f = ln(x), ise f-ortalaması geometrik ortalama olur f-ortalaması özelliklere uygun olarak bu sonuç eğer pozitif ise ve 1 değilse, dayandığı logaritma bazının ne olduğunun hiç önemi bulunmamaktadır

* Eğer S pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve , ise f-ortalaması harmonik ortalama olur

* Eğer S pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve f = xp, ise f-ortalaması p üslü güç ortalaması olur

Homojenlik

Ortalama için kullançılan fonksiyonlar ok kere homojendirler Ancak f-ortalaması için f fonksiyonlarının çoğu homojen değildir Homojenlik özelliği girdi veri değerlerini özel bir homojen ortalama C ile normalize ederek yani

sağlanabilir Ancak bu değişme bazı f-ortalamaları için monotonluk ve bölüntülenme özelliklerin ortadan kaldırabilir

Geometrik Medyan

İstatistik bilim dalında geometrik medyan betimsel istatistik alanında bir merkezsel konum ölçüsü olarak ve çıkarımsal istatistik alanında önemli bir konum parametre kestirimicisi olarak kullanılır Geometrik medyan bir Euclid-tipi uzayda bulunan aralıklı set halindeki örneklem noktaları, bu noktalar arasındaki uzaklıkların toplamını en küçük (minimum) yapan bir nokta olarak tanımlanır Tek boyutlu veri serisi içinde veri noktaları arasında uzaklıkları minimum yapma özelligi olan medyanın, çok boyutlu veri uzayında karşıtı olup, bir çokdeğişirli merkezsel konum ölçüsü olur Geometrik medyan için kullanılan diğer adlar Fermat-Weber noktası veya 1-medyan olur

Geometrik medyan yöneylem araştırması, Endüstri Mühendisliği alanlarında bulunan ve pratikte çok önemi olan standart üretim ve dağıtım kuruluşu konumlanma problemi için kullanılan yaklaşımlardan en popüleridir; çünkü geometrik medyan noktasında konumlanma taşıma maliyetlerini en küçük yapan bir noktadır

Tanınım

Geometrik madyan için matematik biçimde tanımlama şöyle yapılır:

Her biri içinde m tane nokta olan seti verilmiş olsun Bu halde geometrik medyan matematiksel olarak şöyle tanımlanır:

Geometrik Medyan

Burada argmin verilen toplamanın hangi argümanlara göre minimumunun bulunduğunu gösterir Bu halde bütün xi noktalarina giden Euclid-tipi uzaklıklarının toplamını minimum yapacak bir başlangıç noktası olan y noktasıdır

Özellikler

* Tek boyutlu uzayda, geometrik medyan medyan ile çakışır Buna neden tekdeğişirli medyanın da veri noktalarından medyana uzaklıklarının toplamının minimum olmasıdır

* Eğer noktalar doğrudaşlık (İngilizce:collinearity) özelliğine sahip değillerse, geometrik medyan tanınıma uyan yegane tek bir noktadır

* Geometrik medyan Euclid tipi (cevirme ve devretme gibi) [benzerlik donusumleri]]ne esit degisme gosterir Bu demektir ki geometrik medyana uygulanan benzerlik donusumu ile elde edilen sonuc ile once veri serisine ayni donusumu uygulayip sonra donusumlu serilerin geometrik medyani alma sonucuyla aynidir Bu ozellik geometrik medayanin sadece nokta ciftlerine gore tanimlanmasi nedeninden ve orneklem veri serisinin temsil edildigi ortogonal Kartezyen koordinat sistemine bagli olmamasindan ortaya cikar Buna karsilik, bir coklu degsisrli veri dizisi kollanilarak elde edilen coklu-medyan genellikle rotasyon donusumunden etkilenmekte ve koordinat sitemi secimine cok guclu olarak bagli olmaktadir

* Geometrik medyan için çöküntü noktası 0,5 olarak hesaplanmıştır Bu demektir ki eğer örneklem veri serisinin yarısı keyfi bir şekilde bozulmuşlarsa, geometrik medyan bu halde bile, bozuk olmayan verilerin ortaya çıkarabileceği merkezsel konum noktasının bir güçlü kestirimi olacaktır

Özel haller

* Üç nokta için: Eğer bir üçgenin herhangi bir açısı 120°den daha büyük ise, geometrik medyan bu açının başlangıç köşe noktasıdır Eğer tüm açılar 10&geg;den daha az ise, geometrik medyan üçgenin içinde öyle bir noktadır ki tüm üç çift noktaya 120°lik bir açı kurulabilirse, bu nokta üç noktaya kurulmuş olan bir üçgenin Fermat noktası olarak da bilinir

* Dört aynı-düzeysel noktalar için: Eger bir nokta diğer üç noktadan kurulmuş olan bir üçgenin içinde ise bu nokta geometrik medyandır Aksi halde, noktalar bir konveks dörtgen kurarlar ve geometrik medyan bu dörtgenin köşegenlerinin kesişme noktasıdır Bu nokta dört köşe noktasının Radon noktası olarak bilinir

Hesaplama

Kavram olarak anlaşılması oldukça kolay olan geometrik medyan bulmak için kullanabilcek bir matematik formül daha mevcut değildir Geometrik medyana benzer olan, ve her örneklem noktasının uzaklık karelerinin toplamını minimum yapan sentroid veya kütle merkezi için basit bir formül bulunmaktadır Ama uzaklık toplamını minimize edecek geometrik medyan için bunun imkânsız oldugu, yani sadece aritmetiksel işlemler ve kinci kökler hesapları kullanılmasını öneren bir matematik formülün bulunmasinin genel olarak mümkün olamayacağı, isbatlanmıştır

Cebirsel sekilde bir formulun bulunamasina ragmen, sayisal yaklasimlar kullanilarak yinelemeli surecle, her bir yinelemede daha geometrik medyan icin cok uygun yaklasik degerler bulunabilir Bu tip yordamlarin kullanilmasi temelinde bulunan gercek uzakliklarin toplaminin bir konveks fonksiyon olamasidir cunku her orneklem veri noktasina uzaklik konveks oldugu icin, konveks fonksiyonlarin toplaminin da konveksdir Boylece her bir cozum asamasinda uzakliklarin toplamini azaltan bir yordam bir yoresel optimum noktasina takilip kalmamaktadir

Geometrik medyan bulmak icin kullanilan bir yineleme ile yaklasik cozum bulma islemine Weiszfeld'in algoritmasi adi verilmektedir ve bu yinelemeli tekrar agirliklanmis en kucuk kareler yonteminin bir degisik seklidir

Bose ve arkadaslari {2003) bu probleme bir yaklasik optimal cozum degeri bulmak icin daha komplike geometrik optimizasyon yontemlerinin kullanilmasini onermektedirler

Örtük formül

Eğer y tüm diğer verilmiş noktalar olan xj lerden belirgin olarak farkı ise, ynin geometrik medyan olması ancak ve ancak şu ifadeyi tatmin ederse mümkündür:

Bu ise Weiszfeld'in algoritmasının yakın benzeri olan şu ifadeyle aynıdır:

Eğer y verilmiş olan noktaların bazılarına eşit ise, o halde ynin geometrik medyan olması ancak ve ancak

koşuluna uyan uj vektörlerinin bulunması ile mümkün olur Burada xj ≠ y için

ve xj = y için

xj = y olur

Geometrik Ortalama

Geometrik ortalama, birim değerlerinin (gözlem sonuçlarının) birbirleriyle çarpımlarının, n birim sayısı olmak üzere, n inci dereceden köküne denir

Birim değerleri x1, x2, , xn gibi gösterilirse geometrik ortalama aşağıdaki gibi yazılır:

İstatistiksel araştırmalarda gözlem sonuçları arasındaki oransal (nispî) farkların mutlak farklardan daha önemli olduğu durumlarda geometrik ortalamaya başvurulur Diğer bir ifade ile gözlem sonuçlarının her biri bir önceki gözlem sonucuna bağlı olarak değişiyorsa ve bu değişmenin hızı saptanmak istenirse geometrik ortalama sağlıklı sonuçlar verir Geometrik ortalama kısaca G harfi ile gösterilir

Geometrik ortalama bulmak veri değerlerinin pozitif olmasi gerekir Eğer tek bir veri değeri sıfır ise geometrik ortalama anlamsız olur

Harmonik Ortalama

Harmonik ortalama, gözlem sonuçlarının (birim değerlerinin) terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir

Birim değerleri x1, x2, , xn gibi gösterilirse harmonik ortalama aşağıdaki gibi yazılır:

Harmonik ortalama genellikle, ekonomik olaylarda 1 birim ile alınan ortalama miktara veya bir mamülün bir biriminin üretimi için harcanan ortalamaya gereksinim duyulduğunda kullanılır Harmonik ortalama kısaca H harfi ile gösterilir

İki veri için harmonik ortalama

Yalnız iki tane veri, (x1 ve x2 elde bulunursa, bunlar için harmonik ortalama H şöyle ifade edilebilir

Bu halde bulunan harmonik ortalama, bu iki sayının aritmetik ortalamasına şöyle ilişkilidir;

ve bu iki verinin geometrik ortalamasi olan G ise

Bu harmonik ortalamaya şöyle ilişkilidir:

Böylece

,

olur Bu demektir ki geometrik ortalama, aritmetik ortalama ve harmonik ortalama'nın geometrik ortalaması olur

Ama çok dikkat edilmelidir ki bu sonuç yalnız ve yalnız iki veri için geçerli olur

Karekök ortalama

Karekök ortalama; matematikte root mean square (kısaltması RMS ya da rms) ayrıca kuadratik ortalama olarak ta bilinir Değişen miktarların büyüklüğünün ölçülmesinde kullanılan istatistik bir ölçüttür Değişimin artı ve eksi yönde olduğu dalgalarda özellikle çok faydalıdır

Sürekli olarak değişen bir fonksiyonun sürekli olmayan değer serisi için hesaplanabilir Karekök ortalama ismi karelerin ortalamasının karekökünün alınmasından gelir

Karekök ortalama hesaplanması

n sayıdaki değerlerin

RMS değeri;

olarak hesaplanır

aralığında sürekli bir f(t) fonksiyonu için karşılık gelen formülü;

Bir periyodik fonksiyonun RMS değeri fonsiyonun bir periyodunun RMS değerine eşittir Sürekli bir fonksiyonun ya da sinyalin RMS değeri eşit aralıklarla bir dizi RMS değeri örneklenerek yaklaşık olarak hesaplanabilir

Kullanım yerleri

Bir fonksiyonun RMS değeri çoğunlukla fizik ve elektrik mühendisliğinde kullanılır Örneğin, R direncindeki bir iletken tarafından harcanan P gücünü hesaplamak isteyebiliriz İletkenden sabit bir I akımı aktığında bu hesabı yapmak kolaydır Basitçe:

Ancak akım değişen bir I(t) fonksiyonu ise burada rms değeri devreye girer

(

aritmetik ortalamayı ifade eder)

(R bir sabit olduğuna göre ortalamanın dışına çıkarılabilir)

(RMS in tanımından) Aynı metod ile;

Ancak bu tanım gerilimın ve akımın birbiriyle orantılı olduğu (yani yükün resistif olduğu) varsayımı temel alınarak yapılmıştır ve genellenemez

Şebeke güçlerinde olduğu gibi alternatif akımın genel durumunda, I(t) sinusoidal akım olduğunda rms değeri yukarıdaki sürekli durum denkleminden kolaylıkla hesaplanabilir Ip yi tepe genliği olarak tanımladığımızda:

Ip positif bir gerçek sayı olduğuna göre,

Trigonometrik fonksiyonun karesinin alınmasını elimine etmek için trigonometrik bir varlık kullanıldığında:

Fakat aralık tam periyotlardan oluşan bir tam sayı olduğu için (rms in periyodik fonksiyonlar

için tanımından ) Sinüs değerler iptal edilir

Saf bir sinüs dalgası için; tepe voltajı = RMS voltajı x 1414() tür Tepeden tepeye voltajı bunun iki katıdır

Dönüşüm katsayıları

* Tepe genliği Ip tepeden tepeye genliğin Ip − p yarısıdır

* Bir AC dalga formunun zirve faktörü (crest factor); tepe(zirve) değerinin RMS değerine oranıdır

* Bir AC dalga formunun şekil faktörü (form factor); tepe(zirve) değerinin ortalama değerine oranıdır

Sinüs dalga için;

* RMS değeri = 0707 x Tepe değeri

* Ortalama Değeri = 0637 x Tepe değeri

* Tepeden tepeye değeri = 2 x Tepe değeri

Üçgen dalga için;

* RMS değeri = 0577 x Tepe değeri

* Ortalama Değeri = 033 x Tepe değeri

* Tepeden tepeye değeri = 2 x Tepe değeri

Pisagorik Ortalama

Klasik olarak üç değişik Pisagorik ortalama vardır: Bunlar aritmetik ortalama (A), geometrik ortalama (G) ve harmonik ortalama (H) olup şu formüller ile tanımlanılırlar:

*

*

*

Bu üç tip ortalamanın şu genel özellikleri bulunur:

*

*

Eğer bütün veriler pozitif (yani i=1,n xi>0) iseler, bu ortalamalar şöyle bir sıralamaya tabi olurlar:

Bu genel olarak eşitliksiz halinde olup eşitlilik ancak bütün veriler xi birbirine aynı değerlilerse ortaya çıkabilir

Bu eşitsizlik genelleştirilmiş ortalamalar için bir özel haldir