Fonksiyon Uzayı Nedir?

Matematikte fonksiyon uzayı bir X kümesinden bir Y kümesine tanımlı fonksiyonların oluşturduğu kümeye verilen bir addır Fonksiyonlar kümesi yerine fonksiyon uzayı denilmesinin nedeni matematiğin kendi içindeki uygulamalarında bu kümenin genellikle topolojik uzay veya vektör uzayı olarak ortaya çıkmasıdır

Örnekler

Matematiğin değişik alanlarında fonksiyon uzayları ortaya çıkar:

• Kümeler kuramında, bir X kümesinden bir Y kümesine tanımlı fonksiyonlar X → Y veya YX ile gösterilirler

• Daha özel bir durum ise, bir X kümesinden {0, 1} kümesine tanımlı fonksiyonların kümesidir Bu kümeye kuvvet kümesi denilir ve 2X ile gösterilir

• X kümesinden Y kümesine tanımlı ve birebir örten olan fonksiyonlar X ↔ Y ile gösterilir X kümesinden yine X kümesine tanımlı permütasyonları göstermek içinse X! gösterimi kullanılılır

• Doğrusal cebirde, aynı cisim üzerinde tanımlı bir U vektör uzayından bir V vektör uzayına tanımlı doğrusal dönüşümlerin kümesi de yine aynı cisim üzerinde kendi başına bir vektör uzayıdır

• Fonksiyonel analizde, doğrusal cebirdeki örneğin benzeri, sürekli doğrusal dönüşümlerde ve topolojik vektör uzaylarında görülmektedir Topolojik vektör uzayı özelliği taşıyan yaygın örneklerin birçoğu, topolojisi olan birer fonksiyon uzayıdır Bu örneklerin en yaygınları Hilbert uzayı ve Banach uzayıdır

• Fonksiyonel analizde, doğal sayılardan bir X kümesine tanımlı bütün fonksiyonların kümesine dizi uzayı adı verilir Bu uzay, X 'in ögelerini içerecek şekilde düşünebilinen her türlü diziyi içinde barındırır

• Topolojide, yine bir X topolojik uzayından bir Y topolojik uzayına tanımlı bütün sürekli fonksiyonların uzayına bir fayda ve kolaylık getirmesi açısından bir topoloji koymaya çalışılabilir Yaygın bir örnek, tıkız-açık topolojidir; yani döngü uzayıdır Bir diğer örnek ise, YX uzayı üzerine konulan çarpım topolojisidir (Burada, fonksiyonların sürekli olması şartı gözardı edilebilir) Bu bağlamda, bu topolojiye noktasal yakınsaklık topolojisi adı verilir

• Cebirsel topolojide, homotopi kuramının esas çalışma alanı özünde fonksiyon uzaylarının ayrık değişmezleridir

• Rassal süreçler kuramında, basit bir teknik problem ise "sürecin yolları"ndan oluşan fonksiyon uzayı üzerinde nasıl bir olasılık ölçüsü kurulabileceğidir

• Kategori kuramında, bir fonksiyon uzayına üstel nesne veya gönderim nesnesi adı verilir

Fonksiyonel analiz
Fonksiyonel analizin önemli amaçlarından biri fonksiyon uzaylarını topolojik vektör uzayları haline getirecek yeterli teknikleri geliştirip sonlu boyutlu normlu uzaylar için geçerli olan fikirleri bu halde fonksiyon uzaylarına uygulamaktır

• Hızla azalan pürüzsüz fonksiyonların uzayı olan Schwartz uzayı ve bu uzayın eşlek uzayı olan dengeli dağılımlar

• Lp uzayı

• Düzgün norm topolojisi verilmiş tıkız destekli sürekli fonksiyonlar uzayı κ(R)
• Sınırlı fonksiyonlar uzayı B(R)

• Sonsuzda sıfırlanan sürekli fonksiyonlar uzayı C∞(R)
• ilk k türevi sürekli olan fonksiyonlar uzayı Ck(R)

• C∞(R) : Pürüzsüz fonksiyonlar

• Tıkız desteğe sahip pürüzsüz fonksiyonlar uzayı C∞c

• Sobolev uzayı Wk,p

• Holomorf fonksiyonlar uzayı OU

• Doğrusal fonksiyonlar uzayı

• Parçalı doğrusal fonksiyonlar uzayı

• Bütün fonksiyonların uzayı

• Hardy uzayı

• Hölder uzayı

• Skorokhod uzayı olarak da bilinen, Càdlàg fonksiyonları