Cebir

Cebir



Cebir,matematiğin en temel dalıdır; çünkü en basit aritmetik işlemlerden, en karmaşık diferansiyel ve integral hesaplarına kadar matematiğin bütün öteki dallarında uygulanan genel kuralların belirlenmesinde cebir kullanılır (bak Matematik) Klasik cebir, aritmetik yöntemleri simgelerle gösterilen değişik niceliklere uygulayarak genelleştirir ve genişletir Klasik cebrin yanı sıra, soyut matematiksel yapıları konu alan modern cebir vardır Klasik cebrin aksiyomlarından farklı aksiyomları temel alan yeni cebir türleri de oluşturulabilir

Klasik cebir aritmetik yöntemlerden hareket eder; onları genelleştirir ve genişletir Örneğin iki sayının çarpımının, çarpanların yerleri değiştiğinde aynı kaldığını hepimiz biliriz

3x4=4x3
Sayılar yerine harf kullanarak da bu çarpımı yazabiliriz Sayılardan biri yerine a, öbürü yerine de b kullanırsak:
axb=bxa
olur Bu eşitlik, "herhangi bir sayının başka herhangi bir sayı ile çarpımı, çarpanlar yer değiştirdiği zaman da hep aynı sonucu verir" kuralının kısa yoldan yazılmasıdır Aslında bunu daha kısa,
ab=ba
olarak da yazabiliriz
Sayılar yerine harf kullanıldığı zaman genellikle çarpma' işareti kullanılmaz Benzer biçimde, 2xc yerine 2c yazarız
Harflerin sayıları temsil edecek biçimde kullanılmasında belirli kurallar geliştirilmiştir Tek, çift ve doğal sayıları aşağıdaki biçimde sırayla yazalım
Doğal sayılar 12 3 4 5 6 7
Çift sayılar 2 4 6 8 10 12 14
Tek sayılar13 5 7 9 11 13

Bu çizelgeye bakınca ilk olarak, her çift sayının, kendi karşılığı olan doğal sayının iki katı; ikinci olarak da, her tek sayının, karşılığı olan çift sayıdan bir eksik olduğu görülür "Herhangi bir doğal sayı"yı temsil etmek için n harfini kullanırsak, çizelgede o doğal sayının karşılığı olan çift sayıyı, onun iki katı olduğu için 2n biçiminde yazabiliriz Bu çift sayıya karşılık olan tek sayı da, onun bir eksiği olduğu için 2n—1 biçiminde yazılabilir
Doğal, tek ve çift sayılar arasındaki ilişkiyi harf kullanarak bu biçimde tanımlamış olmamız, «'inci tek ya da çift sayıyı kolayca bulabilmemizi sağlar Örneğin, 25 tek sayıyı bilmek istersek, n yerine 25 yazarak sonucu kolayca buluruz
2/ıl=(2x25)l=49

Soruyu tersinden de sorabiliriz Örneğin, 101 sayısı tek sayılar sıralamasında kaçıncı sırada yer alır? Bunu yanıtlamak için n'in hangi değerinin
2n1 = 101

eşitliğini sağladığını bulmaya çalışırız Bunu çeşitli yollardan bulabiliriz; ama hangi yoldan olursa olsun bulunan sonuç
n=51

olacaktır Demek ki, 101 sayısı 51 tek sayıdır

Formüller ve Denklemler

Yukarıdaki 2n—1 = 101 örneği basit bir denklemdir Denklem iki niceliğin eşitliğini gösteren matematiksel bir anlatımdır
Formül adı verilen genel bir denklemde bütün nicelikler yerine onları temsil eden harfler kullanılır Örneğin bir dikdörtgenin alanını bulmak için uzunluğuyla (a) genişliğinin (b), daha açık bir anlatımla uzunluğundaki birim sayısıyla genişliğindeki birim sayısının çarpıldığını biliriz Bu, bir dikdörtgenin alanını (A) bulmaya yarayan formüldür (bak Alan ve Hacim) Bu formül kısaca

A=ab
olarak yazılır
Bir dikdörtgenin bazı büyüklüklerini bilirsek geri kalanlarını bulmak için bu formülü kullanabiliriz Bir örnek verelim: Eğer bir dikdörtgenin alanının 42 cm2 ve uzunluğunun 7 cm olduğunu biliyorsak bu değerleri formüldeki yerlerine koyarak,
42=7b

denklemini yazabiliriz Bu denklemi çözerek &'nin değeri bulunur Buna benzer basit örneklerde denklem kolayca çözülür Ama daha karmaşık başka denklemleri çözmek daha zor olabilir
ikinci dereceden bir denklemi ele alalım:
Xüssü2+7a:=25

"Xüssü2", "x'in karesi", başka bir deyişle "'in temsil ettiği sayının kendisiyle çarpımı" demektir Öyleyse denklemimizin anlamı şudur: "Belirli bir sayıyı kendisiyle çarpıp buna aynı sayının 7 katını eklersek elde edeceğimiz sonuç 25 oluyor; acaba bu sayı kaçtır?"
Bu denklemi çözmenin birkaç yolu vardır Önce Ar'in değerinin ne olabileceğini tahmin etmeye çalışalım; 'in yerine 3 koyalım:

5üssü2+(7x3)=30
Sonuç 25'ten büyük çıktı Öyleyse 2'yi deneyelim:
2üssü2:+(7x2) = 18
Bu kez sonuç 25'ten küçük çıktı Görülüyor ki x, 2 ile 3 arasında bir sayıdır Bu kez x yerine 2,5 yazalım
2,5üssü2+(7x2,5)=23,75

sonuç 25'e oldukça yakın, ama hâlâ 25'in altındadır Bundan sonra deneyeceğimiz sayı 2,5 ile 3 arasında bir sayı olmalı x yerine 2,6 yazarsak elde edeceğimiz sayı 24,96'dır Bu 25'e çok yakın bir sayıdır Öyleyse x aşağı yukarı 2,6'ya eşittir
Başka bir denklem türü iki bilinmeyenli denklemdir 2x+y=3 gibi iki bilinmeyenli bir denklemde bilinmeyenlerden birinin alabileceği her gerçek değer için öbür bilinmeyenin de bir gerçek değeri vardır Bu ikililerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir
Başka bir denklem türü de denklem sistemlerVdiı
3x+y=l

x3y=7

gibi bir denklem sisteminde, iki bilinmeyenli iki ayrı denklemin birlikte çözümü gerekir Bu denklem sisteminin çözümü her iki denklemin çözüm kümelerinin kesişimidir
Cebirde harfler yalnızca sayıları temsil etmez Matematikteki herhangi bir şey harflerle gösterilebilir Örneğin a ve b iki vektör olsun:
a+b=b+a

eşitliği, toplama işleminde, vektörlerin sıraları değiştirildiğinde sonucun değişmeyeceğini anlatır
c=2a+b

ise, c vektörünün, a vektörünün iki katına b vektörünün eklenmesi sonucu elde edildiğini gösterir

Cebirsel Yapı

Cebrin, matematiğin öbür dallarına uygulanıp farklı nesnelerin belirli durumlarda tümüyle aynı özellikleri gösterdiğini ortaya koymasıgerçekten çok ilgi çekicidir Bunu açıklamak için, farklı matematiksel nesnelerle yapılan belirli bir işlemin sonuçlarını gösteren bir tablodan yararlanabiliriz Örneğin, sayılar kendileriyle ve kendileri dışındaki öbür sayılarla çarpılarak bir tablo düzenlenebilir Çarpim tablosu adı verilen bu tabloyu hepimiz biliriz Bu tabloyu kullanarak, iki sayının, örneğin 3 ile 4'ün çarpımını bulabiliriz: 3'le başlayan satırın, üzerinde 4 yazılı sütunla kesiştiği yere bakınca gördüğümüz 12 sayısı 3 ile 4'ün çarpımıdır Bu tabloda çarpmaya ilişkin ilgi çekici özellikler görülebilir Örneğin, belirli bir sayının karesi olan 1, 4, 9, 16 gibi sayılar dışındaki bütün sayılar tabloda iki kez gözükmektedir Bu, çarpmanın belirli bir özelliğinin sonucudur Konumuza,

ab=ba
yazarak başlamıştık Bu eşitlik, iki sayının çarpımında, çarpanların yer değiştirmesinin çarpımın sonucunu değiştirmeyeceğini anlatıyordu Tabloda iki kez görülen aynı sayıdan biri axb'yi öbürü bxa'yı gösterir

Şimdi de değişik bir çarpma yöntemini ele alalım Yapacağımız çarpmada çıkacak sonucun birler basamağında bulunan sayı dışındaki bütün sayılarını atalım Örneğin, 3x4=12 işleminde birler basamağındaki 2 sayısını alıp kalanını atalım;
3x4=2
olur İşlemi aynı yöntemle sürdürürsek
3x7=1
7x9=3
3x9=7

sonuçlarını elde ederiz Sonra 1,3,7 ve 9 sayıları için, çarpım tablosuna benzer bir tablo düzenleyelim:
Elde ettiğimiz sonuçlar yalnızca 1,3,7 ve 9'dur (Başka sayılar kullandığınızda da aynı sonucu alacağınızı düşünüyorsanız, 1, 2, 3, 4 sayılarını kullanarak benzer bir tablo düzenlemeyi deneyin)

Bir başka Örnek olarak, kare biçimindeki bir masanın çevresinde dört kişinin oturduğunu düşünelim Harflerin cebirde her zaman sayıları temsil etmediğini biliyoruz Bu örnekte, söz konusu dört kişinin yer değiştirmelerini harflerle gösterelim ve harflere aşağıda belirtilen anlamları verelim
“a” Herkes yerinde kalıyor,
“s” Herkes bir sola kayıyor
“t” Herkes bir sağa kayıyor
“k” Herkes karşısındakiyle yer değiştiriyor

Bu durumda st ne anlama gelir? Bu, s'yi t'nin izleyeceğini gösterir Harflerin anlamını düşünürsek, herkes önce bir sola, sonra da bir sağa kayacak demektir Bu durumda herkes başlangıçtaki yerine dönecek, demek ki aynı yerde kalmış olacaktır Öyleyse,
st=a

yazabiliriz Önce s satırında kalan boşlukları dolduralım, sa, herkes bir sola kayacak ve sonra aynı yerde kalacak demektir Bu ise, s'nin ifade ettiği hareketle aynı sonucu verir Sonraki boşluğa geçelim: ss, herkes bir sola, sonra yeniden bir sola kayacak demektir Bu ise, herkesin karşısındakiyle yer değiştirmesiyle aynı şeydir Öyleyse ss'nin sonucu k'nin aynıdır Gelelim sk'ye Bu da, herkes bir sola kayacak ve sonra karşısındakiyle yer değiştirecek demektir Bundan çıkacak sonuç ise t'nin, yani herkesin bir sağa kaymasının aynı olur

Cebrin çok ilgi çekici birçok başka uğraş alanı vardır Matematiğin teorem adı verilen bazı genel yasalarını kanıtlamakta da cebir kullanılır