2. Ve 3. Dereceden Denklemler

**Prof. Dr. Sinsi** · 09-01-2012

2 ve 3 Dereceden Denklemler

TANIM
a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax2 + bx + c = 0

biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenlidenklem denir

Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir

B İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU

1 Çarpanlara Ayırma Yöntemi
ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x)

g(x) = 0
biçiminde yazılabiliyorsa
f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;
Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur

2 Diskiriminant (D) Yöntemi
ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve
D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi

ax2 + bx + c = 0
denkleminde, D = b2 – 4ac olsun

a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır

Bu kökleri,

b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur

c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır

Bu kökler,

Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir

Ü ax2 + bx + c = 0
denkleminin kökleri simetrik ise,
1) b = 0 ve a ¹ 0 dır

2) Simetrik kökleri gerçel ise,
b = 0, a ¹ 0 ve a

c £ 0 dır

C İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri
x1 ve x2 ise,

D KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem;
(x – x1) (x – x2) = 0 dır

Bu ifade düzenlenirse,
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 olur

Ü ax2 + bx + c = 0

(1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun

Kökleri mx1 + n ve mx2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerine

yazılarak bulunur

Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,

Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,
ax2 + bx + c = dx2 + ex + f
(a – d)x2 + (b – e)x + c – f = 0 dır

Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar

ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

A TANIM
a ¹ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir

B ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun

Buna göre,

C KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ
DERECE DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem
(x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır

Bu denklem düzenlenirse,
x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0
olur

Ü ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri
x1, x2, x3 olsun

1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,
x1 + x3 = 2x2 dir

2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,
3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,
x1 = x2 = x3 tür

n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,
anxn + an – 1xn – 1 +

+ a1x + a0 = 0
denkleminin;
Kökleri toplamı :
Kökleri çarpımı :

09-01-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	2. Ve 3. Dereceden Denklemler 2 ve 3 Dereceden Denklemler TANIM a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenlidenklem denir Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir B İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU 1 Çarpanlara Ayırma Yöntemi ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x) g(x) = 0 biçiminde yazılabiliyorsa f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi; Ç = {x \| x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur 2 Diskiriminant (D) Yöntemi ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi ax2 + bx + c = 0 denkleminde, D = b2 – 4ac olsun a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır Bu kökleri, b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır Bu kökler, Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri simetrik ise, 1) b = 0 ve a ¹ 0 dır 2) Simetrik kökleri gerçel ise, b = 0, a ¹ 0 ve a c £ 0 dır C İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise, D KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem; (x – x1) (x – x2) = 0 dır Bu ifade düzenlenirse, x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 olur Ü ax2 + bx + c = 0 (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun Kökleri mx1 + n ve mx2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerine yazılarak bulunur Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise, Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise, ax2 + bx + c = dx2 + ex + f (a – d)x2 + (b – e)x + c – f = 0 dır Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER A TANIM a ¹ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir B ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun Buna göre, C KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem (x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır Bu denklem düzenlenirse, x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0 olur Ü ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2, x3 olsun 1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa, x1 + x3 = 2x2 dir 2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa, 3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa, x1 = x2 = x3 tür n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere, anxn + an – 1xn – 1 + + a1x + a0 = 0 denkleminin; Kökleri toplamı : Kökleri çarpımı :