2. Dereceden 1 Bilinmeyenli Denklem

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM

TANIM: a, b, c reel sayı ve a# 0 olmak üzere , ax2+bx+c=0 ifadesine , x e göre düzenlenmiş ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir Denklemi sağlayan (eğer varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi, çözüm kümesini bulmak için yapılan işleme de denklem çözme denir
ÖRNEK:4x2 ?7x+6=0 ifadesi x e bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir?Bu denklemde; a=4, b=-7 ve c=6 dır
ÖRNEK: 2y2 ?5y+1 = 0
İfadesi y ye bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir
Bu denklemde; a=2, b=-5 ve c= 1 dir

ÖRNEK: ax3 + 3x2 + 4x3 ?ax ?2 = 0
Denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, a kaçtır?

ÇÖZÜM: ax3 + 3x2 + 4x3 ?ax ?2 = 0
(a+4)x3 + 3x2 ?ax ?2 = 0
Denkleminin ikinci dereceden bir denklem olması için denklemde x3 lü terim olmamalıdır
O halde, a + 4= 0 => a= -4 olur

KÖK BULMA
1ax2 + bx + c =0
ifadesi çarpanlarına ayrılabiliyorsa her çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur
ÖRNEK: x-1 x-1
x-3 + x-5 =0
Denkleminin kökleri x1 ,x2 olduğuna göre x1 + x2 toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM: x-1 x-1
x-3 + x-5 =0
(x-1) (x-5) + (x-1) (x-3) = 0
(x-1) (x-5 + x-3) = 0
(x-1) (2x ? 8) = 0
x-1= 0 => x1 =1 veya 2x-8= 0
=> x2 = 4 tür
x1 + x2 = 1 + 4 = 5
ÖRNEK: 4x + 2 42-x ?18 = 0 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM: 4x + 2 42-x ?18 = 0
4x + 2 42 4-x ?18 = 0
1
4x + 32 4x ?18 = 0
(4x)2 ?18 (4x ) + 32 = 0

-16 -2
(4x ?16) (4x ?2) = 0
4x ?16 = 0 => 4x = 16 => x1 = 2
1
4x ?2 = 0 => 4x = 2 => x2 = 2
1 5
O halde, x1 + x2 = 2+ 2 = 2 olur

a≠ 0
ax2 + bx + c = 0 denkleminde;

c
i) a + b + c = 0 ise köklerden biri 1, diğeri a dır

- c
ii) b = a + c ise köklerden biri -1 , diğeri a dır

ÖRNEK: 9x2 + 17x + 8 = 0 denkleminde;
a = 9, b = 17 , c = 8
b = a + c olduğundan bu denklemin kökleri
x1 = -1 ve x2 = - 8 dur
9
nÖRNEK: (m + 2)x2 + (m ? n + 2)x ?n = 0
ikinci derece denkleminin köklerinden biri 6 ise, bu denklemin kökleri toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM: (m + 2)x2 + (m ? n + 2)x ?n = 0 denkleminde,
a = m + 2, b = m ?n + 2, c = -n ve
b = a + c olduğundan denklemin köklerinden biri -1 dir
Diğer kök 6 olduğundan kökler toplamı
-1 + 6 = 5 olur
nax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
ndenkleminin köklerini ∆ (diskriminant) yöntemi ile bulabiliriz
n∆ = b2 ?4ac
ni) ∆ < 0 ise reel kök yoktur
nii) ∆ = 0 ise kökler eşittir (x1 = x2)
niii) ∆ > 0 ise iki farklı reel kök vardır
n ∆ > 0 olmak üzere denklemin kökleri
n -b + -b
n x1 = 2a ve x2 = 2a şeklinde bulunur

nÖRNEK: x2 ? 4x + m + 1 = 0 denkleminin eşit iki kökünün olması için m kaç olmalıdır?

ÇÖZÜM: Denklemin eşit iki kökün olması için ∆ = 0 olmalıdır
∆ = (-4)2 ?4 1 (m + 1)
0 = 16 ?4m = 12 ?4m
m = 3 bulunur

nÖRNEK: (a + 1)x2 ?2(a + 7)x + 27 = 0 a ≠ -1 olmak üzere
ndenklemin kökleri eşit olduğuna göre, a? nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? (1998 / ÖSYS)

ÇÖZÜM: (a + 1)x2 ?2(a + 7)x + 27 = 0
denklemin kökleri eşit ise ∆ = 0 olmalıdır
∆ = 4 (a + 7)2 ?4 27 (a + 1)
0 = a2 + 14a + 49 ? 27a ?27
a2 - 13a + 22 = 0
Bu denklemi sağlayan a değerlerinin toplamı
(-13)
a1 + a2 = - 1 = 13 olur
a ≠ 0, ax2 + bx + c = 0 denkleminin;
i) Simetrik iki kökünün olması için b = 0 olmalıdır
ii) Simetrik iki reel kökünün olması için,
b = 0 ve a c > 0 olmalıdır

ÖRNEK: ax2 ? (a2 ?4 )x + 4 = 0
denkleminin simetrik iki reel kökü olduğuna göre, a kaçtır?

ÇÖZÜM: ax2 ? (a2 ?4 )x + 4 = 0
Denkleminin simetrik iki reel kökünün olması için,
a2 ?4 = 0 ve 4 a > 0 olmalıdır
a2 ?4 = 0 => a = -2 ve a = 2 dir
4a < 0 => a < 0 olmalıdır O halde a = -2 olur

KÖKLER İLE KATSAYILAR ARASINDAKİ BAĞINTI
ax2 + bx + c = 0 ikinci derece denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun
-b
1)x1 + x2 = a
c2)x1 x2 = a

3)|x1 - x2| = |a|

1 1 x1 + x2 -b
4)x1 + x2 = x1 x2 = c
5)X12 + x22 = (x1 + x2 )2 ?2x1x2
b2 ? 2ac
a2

6)1 1 x12 + x22
x12 +x22 = x12 X22
b2 ?2ac
= c2
7)x13 + x23 = (x1 + x2)3 ?3x x2(x + x2)
3abc-b3
= a3

ÖRNEK: 2x2 ?5x + p2 + q2 = 0 denkleminin kökleri p ve q olduğuna göre, diskriminantı kaçtır?

ÇÖZÜM: 2x2 ?5x + p2 + q2 = 0 denkleminde
a = 2, b = -5, c = p2 + q2, x1=p, x2 =q
c p2 + q2
x1 x2 = a => p q= 2
2pq = p2 + q2 p2 ?2pq + q2 = 0
(p ? q)2 = 0 ise
p ? q = 0
p = q dur
O halde, kökler eşit olduğundan ∆=0 dır

ÖRNEK: x2 ?2x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre
a? nın hangi değeri için x1 + x2 + x1 x2 = 5 olur?

ÇÖZÜM: x2 ?2x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
x1 + x2 = 2 ve x1 x2 = a dır O halde,
x1 + x2 + x1 x2 = 5 => 2 + a = 5 a = 3 bulunur

ÖRNEK: x2 + (x1 + 4)x ?3x2 = 0 denklemin kökleri sıfırdan farklı olan x1 ve x2 sayılarıdır

ÇÖZÜM: x2 + (x1 + 4)x ?3x2 = 0 denkleminde, a = 1, b= x1+4, c=-3x2
c x1x2 = a => x1x2 = -3x2 x1 = -3 tür
-b
x1 + x2 = a => x1 + x2 = -x1 ?4
x2 = -2x1 ?4
x2 = -2(-3) ?4
x2 = 2 olur
O halde, denklemin büyük kökü x2 = 2 olur
KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI
a ≠ 0 olmak üzere, kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem:
a (x ? x1) (x ? x2) = 0 dir Bu denklem düzenlenirse,
x2 ?(x1 + x2) x + x1 x2 = 0 denklemi elde edilir

ÖRNEK: Kökleri ?2 ve 3 olan ikinci dereceden denklem nedir?

ÇÖZÜM: Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem
x2 ?(x1 + x2) x + x1 x2 = 0 dır
x1 = -2 ve x2 = 3 ise denklem:
x2 ? (-2 + 3)x + (-2) 3 = 0
x2 ?x -6 = 0 olur

EŞİTSİZLİK ÇÖZÜMLERİ f(x)
f(x) > 0, f(x) g(x) < 0, g(x) ≤ 0 vb eşitsizliklerinin her birini çözebilmek için aşağıdaki basamaklar sırasıyla uygulanmalıdır:
1)Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökleri bulunur
2)Bulunan köklerin sayı adedi incelenir
aBir kökün sayı adedi tek ise, bu köke tek katlı kök denir ve sayı doğrusunda tek çizgi ile gösterilir
bBir kökün sayı adedi çift ise bu köke çift katlı kök denir ve sayı doğrusunda çift çizgi ile gösterilir
3)Bulunan kökler, sayı doğrusunda küçükten büyüğe sıralanır ve tek-çift katlı kökleri belirtilir
4)Her bir çarpanın en büyük dereceli teriminin işareti parantezinin kuvveti ile birlikte alınarak çarpılır ve bir işaret bulunur
5)Bulunan işaret ile sayı doğrusunun en sağından (+∞ tarafından) başlanır Tek katlı köklerden geçerken işaret değiştirilir ve çift katlı köklerden geçerken işaret değiştirilmez
Böylece tablodan istenen bölgeler bulunur

ÖRNEK: (x-1) (3-x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:
1)x-1 = 0 => x = 1 3-x = 0 => x = 3
2)x = 1 ve x = 3 birer tane olduğundan tek katlı köklerdir
3) x -∞ 1 3 +∞
- + -

0 0

(+)(-) = (-)
ÇK= {x * 1≤ x ≤ 3, x ? R}

ÖRNEK: (x+2) (x-2)
x + 1 ≤ 0
ÇÖZÜM:
1)x + 2 = 0 => x = -2
x ?2 = 0 => x = 2
x + 1 = 0 => x = -1
2)x = -2, x = 2 ve x = -1 kökleri birer tane olduğundan, tek katlı köklerdir

3) x -∞ -2 -1 2 +∞
- + - +

0 ∞ 0

4)(+) (+) (+) = (+)
Ç = {x ? |R : x ≤ -2 veya ?1 < x ≤ 2} dir

Eşitsizliklerde n ? Z olmak üzere, (x ? a)2n ya da |x - a| ifadeleri her zaman pozitif olacağından işleme alınmayabilir Bu durumda, sadece içlerini sıfır yapan noktalar incelenmelidir

(3 ?x)2
x2 + 3x ?4 ≤ 0

eşitsizliğini çözmek yerine
x2 + 3x ?4 < 0
eşitsizliğini çözmek yeterlidir
Ayrıca, (3 ?x)2 = 0 olabilmesi için x = 3 olmalıdır
x -∞ -4 1 +∞
x2 + 3x ?4 + - +
İstenen eşitsizliğin çözüm kümesi ise,
Ç = (-4, 1) U {3} olur

İçinde birden fazla eşitsizlik bulunduran ifadelere eşitsizlik sistemi denir
Eşitsizliklerin hepsini aynı anda sağlayan değerlerin bulunduğu kümeye eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir
eşitsizlik sisteminin çözümü için, her bir eşitsizlik ayrı ayrı çözülür ve ortak çözüm kümesi bulunur

nÖRNEK: (x ?2) (4 ?x) ≤ 0
(1 ?x) (5 +x) ≥ 0
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM: (x-2) (4-x) = 0 => x = 2, x = 4
(1-x) (5+x) = 0 => x = 1, x = -5

Şimdide her birinin ayrı ayrı işaretini inceleyelim
x -∞ -5 1 2 4 +∞
(x-2)(4-x) - - - + -

(1-x)(5+x) - + - - -

İşaret tablosunda görüldüğü gibi, birinci eşitsizliğin (-), ikinci eşitsizliğin (+) olduğu bölge [-5, 1] aralığıdır O halde, çözüm kümesi Ç = [-5, 1] dir

i)ax2 + bx + c > 0
eşitsizliğinin daima sağlanması için
a > 0 ve ∆ = b2 ? 4ac <0 olmalıdır
-∞ +∞

+

ii)ax2 + bx + c < 0
eşitsizliğinin daima sağlanması için
a < 0 ve ∆ = b2 ?4ac <0 olmalıdır
-∞ +∞

-

ÖRNEK: (m ?2)x2 + (m ?2)x + m ?1 < 0
eşitsizliği x ? R için sağlanıyor ise m nedir?

ÇÖZÜM: (m-2)x2 + (m ?2 )x + m ?1
a = m ?2, b = m ?2, c = m ?1
a < 0 ve ∆ < 0 olmalıdır
a = m ?2 < 0 => m < 2 1
∆ = b2 ?4ac < => (m ?2)2 ?4(m ?2) (m ?1) < 0
(m ?2) (m ?2 ?4m + 4) < 0
(m ?2) (-3m + 2) < 0
(m ?2) (-3m + 2) ifadesinin işaret tablosuna bakılırsa,
2
m -∞ 3 2 +∞

- + -

(m ?2) (-3m + 2) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi m < 3 veya m > 2dir2
1 ve 2 yi sağlayan m değerleri m < 2 dür
3

BİR k REEL SAYISININ İKİNCİ DERECE DENKLEMİNİN KÖKLERİYLE KARŞILAŞTIRILMASI
nf(x) = ax2 + bx +c denkleminin kökleri arasında x1 < x2 ve k ? R olsun
ni) x1 < k < x2 ise a f(k) < 0 dır
nii) k < x1 < x2 ise,
a) ∆ > 0 b) a f(k) > 0 c) k < -b olmalıdır
2aniii) x1 < x2 < k ise
a) ∆ > 0
b) a f(k) > 0 c) k > -b olmalıdır
2a

iv) a f(k) = 0 ise, k köklerden birine eşittir Bu durumda aşağıdaki üç maddeye bakılır

-b
a)k > 2a ise x1 < k = x2
-b
b)k < 2a ise k = x1 < x2
-b
c)k = 2a ise k = x1 = x2 dir olur

ÖRNEK: x2 ?(m + 1)x + m = 0 denkleminin
0 < x1 < 2 < x2 koşulunu sağlayan iki kökünün olması için m hangi aralıkta olmalıdır?

ÇÖZÜM: f(x) = x2 ?(m + 1)x + m
x1 < 2 < x2 => a f(2) < 0
=> 1 (22 ?2m ?2 + m) < 0
=> -m + 2 < 0 => m > 2 dır

ÖRNEK: (p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p ?2) = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 ve x2 dir
x1 < 0 < x2 , |x1| > x2 olması için p?nin alabileceği değerler nedir?

ÇÖZÜM: Denkleminin kökleri x1 < 0 < x2 , |x1| > x2 şartlarını sağladığına göre,
x1x2 < 0 ve x1 + x2 < 0 dır
c 5(p ? 2)
x1x2 = a = p + 6 < 0 (1)
-b 17(p + 1)
x1 + x2 = a = p + 6 < 0(2)
(p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p ?2) = 0

p -6 -1 2

x1x2 + - - +
x1 + x2 - + - -
Ç
Ç = (-1 , 2) dir