Rasyonel Sayılar Formülleri

Rasyonel sayılar formülleri

Mısırlılar kesirleri paydaları 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardır• Herhangi bir pozitif rasyonel sayı; pozitif tam sayıların çarpmaya göre terslerinin toplamı şeklinde ifade edilebilir 1 2 Yukarıdaki örnekler gibi herhangi bir rasyonel sayının sınırsızca bir çok temsili vardır Bu ifadeler Eski Mısırlılar tarafından kullanıldığı [Linkleri görmek için üye olun]çin, Mısır Kesirleri olarak adlandırılır Bu hiyeroglifler ağızdan çıkan bir harfe çevrilmiş ve kullanılmıştır Bu yüzden yukarıdaki kesir şeklinde ifade edilmiştirKesirler Ve RomalılarRomalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan kaçınmışlardır Ayakları zerrelere (yani ayak hesabını, parmak hesabına ) Pound’ ları da Ounc’ lara bölmüşlerdir 1 Pound = 454 gram, 1 Ounc= 28,3 gram 1 Pound = 16 Ouncve Romalıların 1 parçasının adı Uncia’dır Bu da 340 gcrama tekabül eder Rasyonel



Sayılar ve YunanlılarYunanlılar Rasyonel sayıları gerçekten çok seviyorlardı Abartısız olarak Yunanlıların Rasyonel Sayılara taptığı söyleniyor Pisagor tarafından bulunan klişe şu idi Dünya güzeldi çünkü onun yapısı ve [Linkleri görmek için üye olun]şleyiş[Linkleri görmek için üye olun] tam sayıların oranı olarak, matematiksel olarak ifade ediliyordu Geometrik ifadelerin her zaman rasyonel sayılar biçimde ifade edilmesi, Pisagor’un mantığının temel ilkelerinden biriydi Kenar uzunluğu bir olan karenin köşegenin bir rasyonel sayı olmadığı anlaşıldıktan sonra bu klişenin güvenirliği azaldı 1 1 1 1Yunanlılar bu bilgiyi sır olarak saklamaya çalıştılar Çünkü bu onları utandırıyordu Bütün uzunluklar Rasyonel sayılarla ifade edilemiyordu Rasyonel sayılar oranları ve paylaşımları ölçmede yeterli olmasına rağmen uzunlukları ifade de yetersizdi Bu amaç için yeni bir sayı sistemi kurmak gerekliydi İkinin karekökü bu sayı sistemine bir örnektir İkinin karekökü Yunanlılar tarafından bulunan bir sayı değildiTARİHSEL NOTLARKesirArapçada kesir anlamına gelen “al-kasr” kelimesi Latince’ deki kırmak anlamına gelen “fractus” kelimesinden türetilmiştir İngilizce’ deki kesir kelimesi 1321 yılında ilk kez Chavcer tarafından kullanılmıştır“ Kesir çizgisi payın üste, paydanın alta yazıldığı ufak bir çizgidir” derBölme Sembolü ( )Bölme sembolü; John Wallis (1616-1703) yılında adapte edilmiş , İngiltere’ de ve Amerika’ da kullanılmıştır (fakat Avrupa’ da ( iki nokta üst üste kullanılıyordu) 1923 yılında, Matematik Komitesi açıkladı ki: ne : ne de  işaretleri tam olarak kullanılıyor veya kullanılmıyorBölüm (-) işaretinin iş hayatında çok önemli bir anlamı olmadığına göre bunu matematiğe (kesirli ifadelere ) adapte edelim ve noktaların arasında “/ ” ‘ u kullanalım Bundan sonra  işareti matematiksel bir ifade haline dönüştüRASYONEL SAYILARTarihsel olarak, bölme işlemi için gerekli olan kapanma kümesi, çıkarma işlemi için de gerekli plan kapanma kümesi ihtiyacından önce gelmektedir k için bir ayı bulamaya ihtiyacımız vardır Bu yüzden; 1 2 = k Mısırlılar kesirleri paydası 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardırRomalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan kaçınmışlardırAyakları zerrelere (baş parmak) ve libreleri de ounclara bölmüşlerdir (pound: 454 - ounc: 28,3) ve Romalıların biriminin 12 parçası uncle olarak adlandırılır Buna rağmen, insanlar hesaplamalarda daha pratik bir kesinlik sağlamaya ihtiyaç duymuşlar ve bölme işlemindeki teoriksel kapanma gereksinmiştir Z kümesindeki tam sayılarda, bazı bölme işlemleri olanaklıdır Buna rağmen, bazıları değilidir Rasyonel sayılarBir rasyonel sayı; iki tam sayının kendi aralarında oranı gibi ifade edilebilen gerçek bir sayıdır Genellikle a / b şeklinde yazılır ve payda (b) sıfıra eşit değildirRasyonel ayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır Kesirlerin ondalık basamağında olan 0-9 arasındaki genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir Bütün rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir Genellikle büyük ve kalın simgeyle gösterilir Rasyonel olmayan gerçek sayılar irrasyonel olarak adlandırılırRasyonel Sayıların İnşasıMatematiksel olarak; tam sayı çiftlerinin düzenli olarak tanımlandığı sayılar sıfıra eşit değildir Bu çiftleri toplama ve çıkarma altında takip eden şu kurallara göre tanımlayabiliriz1 (a,b) + (c,d) = (a x d + b x c , b x d )(a,b) x (c,d) = (a x c, b x d)Bizim beklentimize uygun 2/4 = 1/2 eşitliğini denklik ilişkisi olarak tanımlayabiliriz (a, b)  (c,d)  a x d = b x cbu denklik ilişkisi toplama ve çarpma üzerinde uyumlu olarak tanımlanır Q’ u bölüm kümesi olarak tanımlayabiliriz Denklik İlişkisi(a,b) ve (c,d) iki kesir olsun Eğer ad = bc ise (c,d) kesrine denktir denir(a,b)  (c,d) biçiminde gösterilir (a,b)  (c,d)  ad = bcörnek (1,2) ve (3,6) elemanlarından her ikisi de kesirdir 16 = 23 olduğundan (1,2) kesri (3,6) kesrine denktir Denklik Sınıfı(ab) kesrinin elemanına denk olan elemanlarının kümesi yani (a,b)’ nin denklik sınıfı ( ) ile gösterilir Örnek: ( ) = {, (-2,-4)(-1,-2),(1,2),(2,4)} = {(x,2x): x  Z ve x  0}’ dırRasyonel Sayılar Ve Kesirlera , b  Z ve şeklinde (b  0) ifade edilen sayılar kesirler olarak adlandırılır b burada bütünü temsil ediyor a ise parçayı temsil ediyorRasyonel Sayıa , b  Z ve şeklinde (b  0) ve a , b aralarında asal olmalıdır Bu şekildeki sayılara rasyonel sayı denir Rasyonel sayılar denklik sınıflarından oluşmuştur biçimdeki en sade şekli bu denklik bağıntısını temsil eder Mesela ; ( ) = {, , }Denklik sınıfında bulunan bütün elemanlar kesirdir temsili kesir ve bu denklik sınıfını temsil ettiği için rasyonel sayıdır Rasyonel sayılar denklik sınıflarından oluşmuşturÖnemli Notlar  verilmiş ve c  0 ‘ dır Görüyoruz ki biz b  0 ya da d  0 diye bir açıklama kullanmıyoruz Çünkü kesirli olmanın şartı paydanın sıfıra eşit olmamasıdırRasyonel sayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır kesirlerin ondalık basamağında bulunan sayıların genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir = 1,66666, =0,142857142, = 0,5Sonuç OlarakRasyonel sayılar düzenli olarak yoğun bir kümedir Herhangi iki rasyonel sayı arasında diğer bir rasyonel sayı vardır Aslında sayılamaz çoklukta rasyonel sayı vardırRasyonel sayılar bölgesel sıklığın olmadığı alanın bir örneğidir Bu alan tamamen bağlantısızdır Rasyonel sayılar tamamlanıyor ve Reel sayılar da rasyonel sayıların tamamlayıcısıdır Rasyonel olmayan Reel sayılara İrrasyonel sayılar denir Rasyonel sayılar Reel sayıların alt kümesidir

RASYONEL SAYILAR VE ÖZELLİKLERİRASYONEL SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ A)Rasyonel Sayılar:Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denirRasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi denirRasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir NOT:Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir ÖR: Yandaki şekilde,bir bütün 4 eş parçaya bölünmüş ve bu eş paçalardan üç tanesi taranmıştır 3 4 Taralı bölge,bütünün üç tane parçası(kesri)dirBu parçaları belirten kesir, 3 biçiminde gösterilir 4 3 kesrinde; 3’e pay,4’e payda denir: 3 kesri, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur NOTıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir Pozitif rasyonel sayılar kümesi “Q+”ile gösterilir Negatif rasyonel sayılar kümesi”Q-“ile gösterilir Q = Q- U {0} U Q+ -1- B)Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük ,küçüklük) 1-Paydaları eşit olan rasyonel sayılar: Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı büyük olan daha büyük,payı küçük olan daha küçüktür ÖR: 15 , 7 , 3 3 7 15 20 20 20 20 20 20 Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidirPayı büyük olan negatif rasyonel sayılar küçük,payı küçük olan negatif rasyonel sayılar büyüktür