Binom Sondan R. Terimi Bulmak İçin Napmalıyım. Binom Formul Nedir?

Binom Sondan R Terimi Bulmak İçin Napmalıyım Binom Formul Nedir?
Binom Sondan R Terimi Bulmak İçin Napmalıyım Binom Formul Nedir?

Binom Sondan r terimi bulmak için napmalıyım Formul nedir?

Alıntı:

Mategoji´isimli üyeden Alıntı

Binom Sondan R Terimi Bulmak İçin Napmalıyım Binom Formul Nedir?

Binom Sondan r terimi bulmak için napmalıyım Formul nedir?

x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla,

(x+y)^n = c(n,0)x^n + c(n,1)x^(n-1)y + c(n,2)x^(n-2)y^2 ++ c(n,r)x^(n-r)y^r ++ c(n,n)y^n

ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir binom açılımındaki katsayılar paskal üçgeninden bulunur

3
(a+b)^n = (n 0)(a^n)(b^0) + (n 1)[a^(n-1) b^1] + (n 2)[a^(n-2) b²] + + (n r)[a^(n-r) b^r] + + (n n)[a^0 b^n]

ifadesine binom açılımı, bir diğer deyişle de iki terimlinin açılımı denir bu açılımdaki genel terim (n r)[a^(n-r) b^r] dir yani, her terim genel terim gibi kombinasyonlu bir katsayı ile a ve b nin kuvvetlerinden oluşur

>> açılımda n+1 terim vardır
>> her terimde a ve b nin üsleri toplamı n dir

4
(a+b)^n = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)*

>> a^(n-r)b^r li terim elde edebilmek için, n tane çarpandan n-r tane seçilip çarpılmalı ki, a^(n-r) ifadesi elde edilebilsin

>> (n-r) tane çarpan c(n, n-r) farklı şekilde oluşturulabilir bunun için a^(n-r) li terimlerin katsayısı c(n, n-r) oluyor c(n, n-r) = c(n, r) olduğundan terim, c(n, r) a^(n-r) b^r formunda gösterilebilir

5
(a+b)^n ifadesinin açılımında katsayılar;

(n 0)(n 1)(n 2)(n 3) (n n) dir

>> başlangıç sıfır olduğundan baştan k terim için, r = k - 1 olur

>> baştan k terimde katsayı; c(n, k-1) olur

6
(a+b)^n ifadesinin açılımında katsayılar sondan başa sırayla;

(n n)(n n-1)(n n-2)(n n-3) (n 0) dır

>> başlangıç n olduğundan sondan k terim için, r = n - k + 1 olur

>> sondan k terimdeki katsayı; c(n, n-k+1) olur

7 n çift olmak üzere, binom açılımında ortanca terim için r = n/2 formülü kullanılır

8
n çift olmak üzere, binom açılımında ortanca terim için r = n/2 formülü kullanılır

>> n tek olduğunda terim sayısı çift olacağından mütevellit, ortanca terim olamaz

>> c(n, r) a^(n-r) b^r olur

9
binom açılımında k x^y li terimi bulmak için;

c(n, r) a^(n-r) b^r = k x^y

formülünde verilenler yerine yazılarak, bilinmeyen bulunabilir

Binom iki terimli demektir ve şeklinde bir iki terimlinin üssünü açtığımızda neler olduğu ile ilgilidir
Binom açılımına bildiğimiz iki binom açılımının özelliklerini inceleyerek başlayalım Tam kare açılımı ve küp açılımı, çarpanlara ayırma konusundan bilmemiz gereken açılımlar:
İlk dikkat edeceğimiz özellik üs iken binom açıldığında terim sayısı üç oldu Üs 'ken yani kübün açılımında da terim sayısı dört oldu Beklenebileceği gibi üs iken terim sayısı 'dir Yani
açıldığında terim çıkar
İkinci önemli nokta, karenin açılımında bütün terimlerde değişkenlerin üsleri toplamı ve kübün açılımında da 'tür
Karenin açılımında ilk terim , ikinci terim ve son terim de 'dir ve üsler toplamı hep 'dir Küp açılımında ilk terim , ikinci terim katsayıyı önemsemezsek , ve diğer iki terimde de üsler toplamı 'tür Hem karede hem de küpte, ilk ve son terimde bir tane değişken görünse de, ikinci değişken de ordaymış gibi düşünebiliriz Örneğin karedeki ilk terimi yerine gibi küpteki son terim olan 'ü de gibi düşünebiliriz
Bunu, aşağıdaki iki sonucun her yerde geçerli olabilmesi için yapıyoruz:

• açılımından terim çıkar
• Bütün terimlerde iki değişken de vardır ve üsleri toplamı 'dir Birinci değişkenin üssü 'den başlar ve birer birer azalır, ikinci değişkenin üssü 'dan başlar ve birer birer artar

İkinci maddedeki sonucu küpte inceleyelim, birinci değişken 'in üssü 'ten başlıyor ve birer birer azalıyor ve 'nin ki de birer birer artıyor Katsayıları düşünmezsek terimler şöyle
Buraya kadar vurguladığımız sonuçlarla 'nın açılımı için şunları yazabiliriz
Önemli iki noktamız kaldı Birincisi terimlerin başındaki katsayıların bulunuşu ve ikincisi de, bu uzun açılımı yapmadan istediğimiz bir terimi yazmanın yolları
Önce ikinci noktadan başlayalım Örneğin yukarda dereceden açılım yaptık Bu açılımı yapmadan
Bunun için 'nin üssünü kullanacağız, birinci terimde 'nin üssü , ikinci terimde , beşinci terimde , demek ki kaçıncı terimde isek 'nin üssü bu sayının düşüğü terimi yazabilir miydik ?
Örneğin açılımında terimi yazmaya çalışalım terim istendiği için 'nin üssü 'dır İki değişkenin üsleri toplamı her terimde olmalıydı Demek ki terim şeklindedir
Geriye katsayıların nasıl bulunacağı kaldı Katsayılar için kombinasyon formülü kullanacağız Önce formülü hatırlayalım 'nin 'li kombinasyonu
açılımında olmak üzere (üsler toplamı hep ) şeklindeki bir terimin katsayısı 'dir Kaçıncı üssü açıyorsak onu kombinasyonda üste koyuyoruz ve değişkenlerden birinin üssünü de (istediğimizi seçebiliriz) alta koyuyoruz
Terim şeklinde olduğundan, yukarıda açılımında terimin katsayısı,
Örnek:

açılımında 5 terim nedir ?
Çözüm:
[*]terim sorulduğundan ikinci değişkenin üssünün olduğunu anlıyoruz Dikkat edelim burada ikinci değişkeni katsayısı ile birlikte almalıyız üssü açtığımızdan üsler toplamı olmalıdır dolayısıyla
Kombinasyon formülünden katsayı
Dolayısıyla terim
Bu terimin katsayısı sadece kombinasyondan gelen değildir 'te katsayıdır ve bu iki sayı çarpılınca katsayı 'tir
Örnek:

açılımında 'lı terimin katsayısı kaçtır ?
Çözüm:

olabilmesi için 'nin üssü alınmış olmalıdır
Üsler toplamı olmalıdır dolayısıyla 'nin üssü olmalıdır
Katsayı kombinasyondan
Dolayısıyla terim
'e kadar kombinasyon yerine paskal üçgenini de kullanabiliriz Kare açılımında terimlerin katsayıları
Küpün açılımında terimlerin katsayıları
Bunlar Paskal üçgeninin ikinci ve üçüncü satırlarıdır Paskal üçgeni, kenarları olan ve içerideki elemanları da üstteki iki elemanın toplamı olan aşağıdaki üçgendir

Geriye sadece aradaki işaret olduğunda ne yapacağımız kaldı
şeklindeki bir ifadenin açılımında tek terimler , çift terimler 'dir Gene bildiğimiz bir açılımı hatırlayalım
Birinci terim pozitif, ikinci terim negatif ve üçüncü terim pozitif
İşareti de kapsayan bir örnek daha çözelim
Örnek:

açılımında terim nedir?
Çözüm:

Önce iki tarafı da yazalım
terim dendiği için sağ tarafın üssü
Üsler toplamı dolayısıyla sol tarafın üssü
Kombinasyondan gelecek katsayı Aradaki işaret ve terimde olduğumuzdan terimimiz negatif Dolayısıyla terim
Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim

Polinomlar konusunda ayrıntılı olarak anlatıldığı gibi katsayılar toplamı için bütün değişkenler yerine konur ve sabit terim için de konur
Örnek:

açılımında katsayılar toplamı nedir?
Çözüm:


Örnek:

açılımında sabit terim nedir?
Cevap:

olur
Sabit terim sorulduğunda koyamayacağımız özel bir soru tipi sık sık sorulmaktadır Aşağıdaki binom açılımını düşünelim
açılımında sabit terim için yerine koyamayız çünkü kesri tanımsız olmaktadır Sabit terim, içinde değişken olmayan terimdir, örneğimizde 'i olmayan terimdir
Her terimde iki tarafın da olduğunu biliyoruz, yani her terim şu şekildedir
ve toplamı her terimde 'dir ve 'yi öyle seçmeliyiz ki hem toplam olsun hem de 'ler sadeleşerek götürsün ve geriye 'siz bir terim kalsın ve bu örnekte açıkça görülmektedir Üslere verip kombinasyonda gelecek katsayıyı da yazarsak:
olur ve sabit terim 'dır
Daha zor bir örnek düşünelim
Örnek:

açılımında sabit terim nedir?
Çözüm:

Gene iki tarafı da yazarak başlayalım
toplamı olmalı ve 'ler sadeleşmeli seçtiğimizde olmaktadır olacağından zaten zorunludur ve bu değer için kesrin paydasında gene çıkar olduğunda üsler toplamı
Aradaki işaret olduğundan kaçıncı terimde olduğumuzu kontrol etmeliyiz Sağ tarafın üssü , dolayısıyla beşinci terimdeyiz ve tek terimler pozitif olduğundan sabit terim