Rasyonel Sayılar Ve Rasyonel Sayılarla İşlemler

Rasyonel sayılar ve rasyonel sayılarla işlemler

RASYONEL SAYILAR

a ve b birer tamsayı b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise a/b şeklinde yazılabilen sayılara Rasyonel Sayı denir Yani denk kesirlerin belirttiği sayıdır Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir Buradan Rasyonel Sayılar Kümesini

Q = {x: x=a/b; a b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal }

şeklinde gösterebiliriz Örneğin

1/5 2/3 4 8/5 -1/2 -6/5 0

sayıları birer rasyonel sayıdır



Bazı Özellikler:

Her doğal sayı bir tamsayıdır

Her tamsayı bir rasyonel sayıdır Çünkü tamsayıların paydası vardır ve 1' dir

a/b = c/b ise a=c dir

a/b=c/d ise ad=bc dir

a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise a=c ve b=d dir

RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER

1 TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ:

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için paydaların eşit olması gerekir Şayet paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir Ortak payda payda olarak alınırken toplama işleminde payların toplamı paya çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır Bu kuralı aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz:

Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi -a/b dir yani ters işaretlisidir

Örnekler:

2 ÇARPMA İŞLEMİ

Rasyonel iki sayının çarpımı payların çarpımı paya paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır Yani

şeklinde yapılmalıdır İşaret kuralı tamsayılardaki gibidir a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi b/a dır a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi

(a/b)-1 = b/a

şeklinde gösterilir

Örnekler:

3 BÖLME İŞLEMİ

Rasyonel iki sayının bölümü ilk sayı aynen yazılır ikinci sayı ters çevrilip çarpılır Yani ilk sayı ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır Bölme işleminin genel kuralı

şeklindedir Burada b c ve d' nin sıfırdan farklı olması gerekir Çünkü sıfıra bölme tanımsızdır Diğer taraftan sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü sıfırdır İşaret kuralı çarpma işlemindeki gibidir

Örnekler:

Karışık Örnekler:

Örnek 1:

olduğuna göre

toplamının a cinsinden değeri nedir?

Çözüm:

Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak

olur Yani a+b=12 bulunur Buradan b=12-a çıkar

Örnek 2:

sayısı

sayısının kaç katıdır?

Çözüm:

Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için bölme işlemi yapılmalıdır Bu takdirde

Örnek 3:

olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm:

Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden

yazabiliriz Buradan a/10 = 10-5 a/10 = 5 a= 105 a=50 bulunur

Örnek 4:

Çözüm:

yazılabilir Buradan

4x + 5 = x2

x2-4x -5 = 0

Çarpımları -5 toplamları -4 olan iki sayı -5 ile +1 olduğundan

(x-5)(x+1) = 0

yazabiliriz Böylece

x=5 ile x=-1 bulunur Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından x = 5 olmalıdır

Not: 5 4' ün 1 fazlası olduğundan sonuç 5 çıkmıştır 4' ün yerinde 8 ve 5' in yerinde 9 bulunsaydı sonuç 9 olacaktı 4' ün yerine a ve 5' in yerine de b koyarsak şayet b a' nın 1 fazlası (b=a+1) ise bu işlemin sonucu b olur

Örnek 5:

işleminin sonucu yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Çözüm:

Verilen işlem sonsuzlu işlem olduğundan 3' ün paydasına x dersek işlemin tamamı da x olur Dolayısıyla

yazabiliriz Buradan 4x -3 = x2 x2 -4x +3 = 0 olur Bu denklem de (x-3)(x-1)=0 şeklinde yazılabileceğinden x=3 ile x=1 bulunur Dolayısıyla doğru seçenek (b) şıkkıdır

Not: işleminde (a/2)2 = b ise bu işlemin sonucu a/2 dir

Örnek 6:

Çözüm: (8/2)2 = 42 = 16 olduğundan işlemin sonucu a/2= 8/2 = 4 tür

RASYONEL SAYILARIN SIRALANMASI :

Pozitif Rasyonel Sayıların Sıralanması:

1) Paydaları eşit olan rasyonel sayıların payı büyük (küçük) olan rasyonel sayı diğerinden daha büyüktür (küçüktür)

Örnek:

7/5 ile 3/5 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız

Çözüm:

Bu iki rasyonel sayının paydaları eşit olduğundan payı büyük olan daha büyük payı küçük olan daha küçüktür Bu nedenle bu rasyonel sayılar

şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralanabilir

2) Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası küçük (büyük) olan daha büyüktür (küçüktür)

Örnek:

12/25 ile 12/35 rasyonel sayılarını sıralayınız

Çözüm:

Bu iki rasyonel sayının payları eşit olduğundan paydası küçük olan daha büyük olduğundan

şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralayabiliriz Diğer taraftan

şeklinde büyükten küçüğe doğru da sıralayabiliriz

3) Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark eşit ise

Şayet rasyonel sayılar basit kesir şeklinde iseler payı küçük olan daha küçüktür

Şayet rasyonel sayılar bileşik kesir şeklinde iseler payı küçük olan daha büyüktür

Örnek:

12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız

Çözüm:

12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarının her ikisi de basit kesirdir Ayrıca her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 5' tir Dolayısıyla payı küçük olan daha küçüktür Bu nedenle 12/17 rasyonel sayısı 14/19 rasyonel sayısından daha küçüktür Yani

şeklinde yazabiliriz

Örnek:

107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız

Çözüm:

107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarının her ikisi de bileşik kesirdir Ayrıca her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 2' dir Dolayısıyla payı küçük olan daha büyüktür Bu nedenle 359/357 rasyonel sayısı 107/105 rasyonel sayısından daha küçüktür Yani

dir

4) Rasyonel sayılar ondalık kesre çevrilerek de sıralanabilir

Örnek:

10/11 ile 100/111 kesirlerini sıralayınız

Çözüm:

a=10/11 olsun O zaman 1/a=11/10=11 olur

b=100/111 olsun O zaman 1/b=111/100=111 olur

Dolayısıyla

dir Buradan b < a bulunur Ayrıca a > b şeklinde de yazabiliriz

5) Rasyonel sayılar tamsayılardan daha yoğundur Bu nedenle iki rasyonel sayı arasında daima başka bir rasyonel sayı vardır Buna rasyonel sayılar sıktır ya da yoğundur denir Bundan dolayı rasyonel sayılarda ardışıklıktan söz edilemez İki rasyonel sayının arasında yer alan bir başka rasyonel sayı şöyle bulunabilir:

a/b ile c/d birer rasyonel sayı ve a/b < c/d ise bu iki rasyonel sayı arasında yer alan başka bir rasyonel sayı

şeklinde bulunabilir

Örnek:

1/2 ile 3/5 rasyonel sayıları arasındaki rasyonel sayıyı bulunuz

Çözüm:

bulunur Dolayısıyla

yazabiliriz

6) İki rasyonel sayı arasında yer alan rasyonel sayıları bulmak için bu iki rasyonel sayının paydaları eşitlenir

Örnek:

Aşağıdakilerden hangisi 1/6 ile 2/5 arasında yer almaz?

a) 7/30 b) 9/30 c) 10/30 d) 11/30 e) 13/30

Çözüm:

1/6 ile 2/5 kesirlerinin paydaları 30' a eşitlenirse 1/6=5/30 ve 2/5=12/30 olur Dolayısıyla 5/30 ile 12/30 arasındaki rasyonel sayılar

6/30 7/30 8/30 9/30 10/30 11/30

dir Buna göre 13/30 rasyonel sayısı bu ikisi arasında bulunmaz Doğru seçenek (e) şıkkıdır

Negatif Rasyonel Sayıların Sıralanması:

Rasyonel sayılar önce işaretsiz (pozitif) olarak sıralanır Sonra da ters sıralama yapılarak negatif değerlerin sıralaması elde edilir Çünkü sıralama sembollerinin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılırsa sıralama sembolü yön değiştirir

Örnek:

a = -1/3 ve b = -2/7 ise a ile b' yi sıralayınız

Çözüm:

a ile b negatif rasyonel sayılar olduğundan işaretsiz olarak ele almalıyız Yani 1/3 ile 2/7 sayılarını göz önüne alalım Bu iki kesrin paylarını eşitleyelim Bu takdirde 1/3 = 2/6 olur ve 2/7 sayısı ile birlikte göz önüne alınırsa payları eşit olan kesirlerden paydası küçük olan daha büyük olduğundan 2/6 sayısı 2/7 sayısından daha büyüktür Böylece

olur Rasyonel sayıların işaretlerini negatif alıp eşitsizliğin yönünü değiştirirsek

buluruz Dolayısıyla a < b dir

Örnek:

x < 0 olmak üzere a = x/3 ve b = x/7 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız

Çözüm:

Şayet x > 0 olsaydı

olacaktı x < 0 olduğu için

olur

Örnek:

ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) 1 < x < 3 b) 1/2 < x < 5/2 c) 22/3 < x < 26 d) 4 < x < 26/3

e) 22/3 < x < 12

Çözüm:
Verilen sıralamanın her üç tarafını da 4 ile çarparsak

olur ve sonra da sıralamanın her üç tarafına da 6 sayısını eklersek sıralamada herhangi bir değişiklik olmayacağından

22/3 < x < 26
bulunur Doğru seçenek (c) şıkkıdır

Örnek:
a=10/11 b=100/111 c=1000/1111
olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangsi doğrudur? (ÖSS-1999 iptal sın)
a) c < b < a b) c < a < b c) a < b < c d) a < c < b e) b < c < a

Çözüm:
a=10/11=1/11
b=100/111= 1/111
c=1000/1111=1/1111
payları eşit olan kesirlerin paydası en büyük olan daha küçük olduğundan
a > b > c olur Doğru seçenek (a) şıkkıdır

Örnek:
a > 0 b > 0 c > 0 ve

olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? (ÖSS-1992)
a) a < c < b b) a < b < c c) b < a < c d) b < c < a e) c < b < a

Çözüm:
a b ve c pozitif sayılar olduğundan

yazabiliriz Buradan a=5 b=15 ve c=10 olur Böylece a < c < b bulunur Doğru seçenek (a) dır

Örnek:
a=7/8 b=10/11 c=13/5
sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
a) a < c < b b) a < b < c c) b < c < a d) c < b < a e) c < a < b

Çözüm:
a ile b kesri basit bir kesirken c bileşik kesirdir Bu nedenle c bileşik kesri en büyüktür O halde a ile b yi incelemeliyiz

Buradan a < b bulunur Böylece a < b < c elde edilir Doğru seçenek (b) dir

Örnek:

olduğuna göre a b c sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisindeki sayılar olabilir?
a) 6/45 11/45 12/45
b) 4/27 6/27 7/27
c) 5/36 6/36 7/36
d) 2/18 5/18 6/18
e) 7/54 9/54 15/54

Çözüm:
Bu tür sorularda seçeneklerden gidilmelidir Kesirlerin paydaları seçeneklerin paydalarına eşit olacak şekilde genişletilmelidir

a) Bu şıkta paydalar 5 ile genişletilmiştir O halde 5 ile genişletirsek
5/45 < a < b < c < 10/45
olur Burada b ve c yer almaz Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz

b) Bu şıkta paydalar 3 ile genişletilmiştir O halde 3 ile genişletirsek
3/27 < a < b < c < 6/27
olur Burada da b ile c bu aralıkta yer almaz Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz

c) Bu şıkta paydalar 4 ile genişletilmiştir O halde 4 ile genişletirsek
4/36 < a < b < c < 8/36
olur Burada a b ve c bu aralıkta yer alır Dolayısıyla doğru seçenek bu seçenektir

d) ve e) seçenekleri yukarıdaki nedenlerle doğru seçenek olamaz

RASYONEL SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER

KESİR

a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b şeklindeki ifadelere kesir adı verilir Burada a' ya kesrin payı b' ye de kesrin paydası denir Bir başka deyişle kesir bir bütünün eşit parçalarından birini ve birkaçını gösteren sayıdır Kesrin paydası bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü belirtirken kesrin payı da bu eşit parçalardan kaç tane alındığını gösterir Örneğin 2/5 kesri bir bütünün 5 eşit parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan 2 parçanın alındığını ifade eder

DENK KESİRLER

a b c d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak üzere a/b ile c/d birer kesir ve ad = bc ise a/b ile c/d kesirlerine denk kesirler denir Örneğin 3/5 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir:
3/5 6/10 9/15 12/20 15/25 3m/5m
Burada m sıfırdan farklı bir tamsayıdır Bir kesrin pay ve paydası sıfırdan farklı bir tamsayı ile çarpılır veya bölünürse kesrin değeri değişmez Bir kesrin payı ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa buna kesrin genişletilmesi denir Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz:

Şayet bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile bölünürse buna da kesrin sadeleştirilmesi denir Bir kesrin sadeleştirilmesine de şöyle örnek verebiliriz:

BAYAĞI KESİR
a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b şeklindeki ifadelere bayağı kesir denir Bayağı kesirler üçe ayrılır:

1 Basit Kesirler:
Payı paydasından küçük olan bayağı kesirlerdir Örneğin
2/3 3/5 4/7 1/2 9/10 1/3 2/7 10/15
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü basit kesirdir Bununla birlikte payı 1 olan basit kesirlere birim kesirler denir Burada 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için birim kesirlerdir

2 Bileşik Kesirler:
Payı paydasına eşit veya paydasından büyük olan bayağı kesirlerdir Örneğin
3/2 5/3 7/4 2 10/9 3 7/2 15/10 12/12
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü bileşik kesirdir Çünkü bu kesirlerin tümünün payı paydasından büyüktür

3 Tamsayılı Kesirler:
a b c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak üzere

şeklinde gösterilen kesirlerdir Yani tamsayılı kesirler sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir Örneğin

kesri tamsayılı bir kesirdir Buradan bir tamsayılı kesrin bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini görürüz Aynı şekilde bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini söyleyebiliriz Bileşik bir kesri tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı paydasına bölünür bölüm tam kısmını kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır Örneğin 11/5 bileşik kesrini gözönüne alalım 11 5' e bölünürse bölüm 2 ve kalan 1 olduğundan

şeklinde yazabiliriz
Not: Kesirler eksili (negatif) de olabilirler

Örnek:

kesrinin basit bir kesir olabilmesi için x kaç tane değer alır?

Çözüm:
Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi için payının paydasından küçük olması gerekir Dolayısıyla 2x - 3 < 12 olması gerekir x' i yalnız bırakabilmek için 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak
2x < 12 + 3
2x < 15
x < 15/2
bulunur x doğal sayı olduğuna göre 15/2' den küçük doğal sayılar
x = {0 1 2 3 4 5 6 7}
dir Bu nedenle x bu 8 tane değeri alırsa kesir basit kesir olur

1990 – 2000 YILLARI ARASINDA ÖSS / ÖYS’DE RASYONEL SAYILARLA İLGİLİ SORULAN SORULAR :

1) 00034 Kesri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
017

A)
1
B) 1 C) 1 D) 1 E) 1
100 50 20 10 2

00034 = 34 = 2 = 1
0 begin_of_the_skype_highlighting 17 1700 100 50end_of_the_skype_highlighting

2) X pozitif bir ondalık sayıdır x + 1 Bir tamsayı olduğuna göre x’in virgülden sonraki kısmı nedir?
40

A)
…975 B) …075 C) …125 D) …250 E) 025

x + 1 = 1 olsun
40

x = 1 - 1 = 1 – 0025 = 0975‘ tir
40

3) 3 - 1 < a < b < c 2 Olduğuna göre abc sayıları sırasıyla aşağıdakilerin hangisindeki sayılar olabilir?
9 9

A)
6 11 12 B) 4 6 12
C) 4 6 12
45 45 45 27 27 45 27 27 45

D)
2 5 6 E) 7 9 15
18 18 18 54 54 54

1 < a < b < c 2
9 9

4 < b < c 8 ise a= 5 b= 6 c= 7 dır
36 36 36 36 36

Diğer şıklarda verilen sayıların 1 2 aralarında olmadığı benzer şekilde görülür
9 9

4) 2345 rakamlarından ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayı pay; öteki ikisinden oluşturulan iki basamaklı sayı da payda olmak üzere elde edilebilecek kesirlerden en büyüğünün yaklaşık değeri nedir?

A) 234 B) 214 C) 196 D) 172 E) 148

Şartlara uygun en büyük sayı; payı en büyük ve paydası en küçük olan sayıdır Buna gör sayı 54 = 234 ‘ tür
23

5) 5 - 01 + 004 + 2 İşleminin sonucu nedit?
001 002 02

A) 4 B) 7 C) 15 D) 22 E) 41

01 + 004 = 2 = 10 + 4 + 20 = 10 + 2 + 10 = 22’dir
001 002 02 1 2 2 17 1700 100 50