Rasyonel Sayılar Ve Rasyonel Sayıların Eşitliği

Rasyonel sayılar ve rasyonel sayıların eşitliği

Tamsayılar kümesinde toplama, çarpma ve çıkarma işlemleri kapalıdır, yani iki tamsayıyı topladığımızda, çarptığımızda ve çıkardığımızda yine bir tamsayı elde ederiz; Ancak bir tamsayıyı sıfırdan farklı bir diğer tamsayı ile böldüğümüzde kesirli bir sayı karşımıza çıkabilir O halde T=Z{0} kümesinde bölme işlemi kapalı değildir Z kümesine 0 hariç diğer tamsayılarla yaptığımız bölme işlemi sonucu karşımıza çıkan kesirli sayıları da eklersek, pÎZ, qÎT olmak üzere bütün şeklindeki sayıların kümesini elde ederiz Ayrıca = ve = olduğundan bu kümeyi pÎZ, qÎIN olmak üzere bütün şeklindeki sayılar kümesi olarak belirtebiliriz ve bu kümeye rasyonel sayılar kümesi denir Sembol olarak Q ile gösterilir Buna göre,

Q={}

dir Ayrıca INÌZÌQ olduğu da görülmektedir

Şimdi yatay bir doğru çizelim ve ortada bir yerini işaretleyip, 0 sayısını bu noktaya eşleyelim Bu noktaya O diyelim Bu noktanın sağında bir yerde yine doğru üzerinde bir nokta daha işaretleyelim ve bu noktaya A diyelim ve 1 sayısını buraya eşleyelim uzunluğu 1 birim olmak üzere 2 sayısını O dan 2 yani 2 birim uzaklıkta sağ tarafta işaretleyelim ½ sayısını O ile A nın orta noktası ile eşleyelim Benzer şekilde bütün rasyonel sayıları bu sayı doğrusu üzerinde işaretlediğimizi kabul edelim Ne kadar biribirine yakın olursa olsun iki farklı rasyonel sayı arasında bir başka rasyonel sayı vardır Gerçekten; a ile b biribirinden farklı iki rasyonel sayı ise c=a+ sayısı da rasyonel bir sayıdır ve a ile b arasındadır, yani a<a+<a+(b-a)=b dir Benzer şekilde hareket ederek a ile c arasında bir başka rasyonel sayı bulabiliriz ve böyle devam ederek sonsuz çoklukta rasyonel sayı bulunduğunu görürüz Bu şekilde tespit edebildiğimiz bütün rasyonel sayıların temsil ettiği uzunlukları doğru üzerinde eşlediğimizi ve negatif rasyonel sayıları da bunların 0 ya uzaklıklarının ayni uzaklıkta ve bu sefer O noktasının sol tarfında işaretleyelim Bu şekilde bütün rasyonel sayıları sayı doğrusu (ekseni) üzerinde işaretlediğimizi düşünelim Bu bize sanki sayı ekseni üzerindeki her uzunluğa karşılık gelen sayıyı temsil eden noktanın işaretlendiği yanlış izlenimini verir Oysa dik kenarları 1 er birim uzunlukta olan bir dik ikiz kenar üçgenin hipotenüsünün uzunluğu dir ve bu sayı rasyonel değildir Gerçekten; eğer rasyonel bir sayı olsaydı p ile q aralarında asal olmak üzere, yani p ile q , 1 den başka ortak böleni olmayan doğal sayılar olmak üzere = şeklinde yazılabilirdi Bu eşitliğin her iki yanının karesini alırsak, 2= elde ederiz Buradan p2=2q2 elde ederiz Bu ise p2 sayısının q2 doğal sayısının iki katı olmasını ifade etmektedir O halde p2 doğal sayısı çifttir Bir doğal sayının karesi çift ise kendisi de çift olacağından p doğal sayısı çifttir p doğal sayısı bir doğal sayının iki katına eşit olarak yazılabilir, yani p=2p1 olacak şekilde bir p1 doğal sayısı vardır p nin bu değerini p2=2q2 eşitliğinde yazarsak, (2p1)2=2q2 ve dolayısıyla 4(p1)2=2q2 ve bundan da q2 =2(p1)2 elde edilir Bu ise q2 nin çift olması demektir Bir doğal sayının karesi çift ise kendisi de çift olacağından q doğal sayısı çifttir, dolayısıyla q=2q1 olacak şekilde bir q1 doğal sayısı vardır Böylece p=2p1 ve q=2q1 olacak biçimde p1 ve q1 doğal sayıları bulunmuş olur Bu ise p ile q nun aralarında asal olmaları ile çelişir Bu çelişkiye = şeklinde yazılabildiğini yani sayısının rasyonel bir sayı olduğunu varsaydığımız için düştük O halde sayısı rasyonel değildir

16 Alıştırmalar (Rasyonel Sayılar)

1) sayısının rasyonel olmadığını ispat ediniz

2) 1+ sayısının rasyonel olmadığını ispat ediniz

3) Rasyonel iki sayının toplamı da rasyoneldir İspat ediniz

4) Rasyonel iki sayının çarpımı da rasyoneldir İspat ediniz

5) Paydadaki sıfırdan farklı olmak üzere rasyonel iki sayının bölümü de rasyoneldir İspat ediniz

6) Rasyonel olmayan bir sayı ile rasyonel bir sayının toplamının rasyonel olmadığını ispat ediniz

7) eşitliğinin sağlandığını gösteriniz

8) Her a ve b sayısı için f(a+b)=f(a)+f(b) özelliğine sahip bir fonksiyon f olsun Bu takdirde her rasyonel a sayısı için f( a a)= a f(a) eşitliği sağlanır İspat ediniz (Yol Gösterme: Önce eşitliğin her m tamsayısı için eşitliğinin sağlandığını hatırlayalım Herhangi bir rasyonel sayı olsun Bu takdirde yani elde edilir Bu son eşitliğin her iki yanını q ile çarparsak, olduğundan, olur Buradan da elde edilir)

9) Biribirinden farklı iki rasyonel sayı arasında mutlaka bir irrasyonel sayı vardır (Yol gösterme: a ile b biribirinden farklı iki rasyonel sayı olsun Bu takdirde sayısı irrasyonel bir sayıdır ve a ile b arasındadır)

10) Biribirinden farklı iki reel sayı arasında mutlaka bir rasyonel sayı bulunduğunu ispat ediniz (Yol Gösterme: Biribirinden farklı herhangi iki reel sayı x ile y olsun ve x<y kabul edelim y-x=b diyelim Arşimet aksiyomundan dolayı olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır Buradan elde edilir Şimdi sayılarını gözönüne alalım Bu sayılardan en az bir tanesi x ile y arasında olmak zorundadır Eğer böyle olmasaydı yani bu sayıların hiç biri x ile y arasında bulunmasaydı bir m tamsayısı için olurdu ki buradan bulunurdu ki bu da bir çelişkidir O halde en az bir m tamsayısı için eşitsizliği sağlanır olduğundan ispat elde edilmiş olur)

11) , , olduğuna göre

olduğunu gösteriniz

12) Eğer ise her pozitif n doğal sayısı için