Karmaşık Sayılar

KARMAŞIK(KOMPLEKS) SAYILAR ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur Çünkü,( x² + 1 = 0  x² = -1 ) karesi ?1 olan reel sayı yoktur Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız A TANIM: a ve b birer reel sayı ve i = -1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir C = { z : z = a + bi ; a, b  R ve -1 = i } dir ( i = -1  i² = -1 dir) z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir Örnek: Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 ? 3i, Z3 = 3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür Z2 = 2 - 3i  Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3, Z3 = 3 + i  Re(Z3) = 3 ve İm(Z3) = 1, Z4 = 7  Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0, Z5 = 10i  Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur Örnek: x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım Çözüm: Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 415 = -16 = 16i² X1,2 = -b ± Δ = -(-2) ± 16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir 2a 21 2 Ç = { 1 ? 2i, 1 + 2i } dir B İ ?NİN KUVVETLERİ iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır Buna göre , n  N olmak üzere, i4n = 1 i4n + 1 = i i4n + 2 = -1 i4n + 3 = -i dir Örnek: ( i14 + i15 + 1 )( i99 + i100 ? 1) işleminin sonucunu bulalım Çözüm: i14 = (i4)3i2 = 13(-1) = -1 i15 = (i4)3i3 = 13(-i) = -i i99 = (i4)24 i 3 = 124(-i) = -i i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için, (i24 + i15 + 1)(i99 + i100 ? 1) = (-1 ? i + 1)(-i + 1 ? 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir C İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir Z1 = a + bi } olsun Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir Z2 = c + di } Örnek: Z1 = a + 3 + 2bi + 3i Z 2 = 8 + (a + b)i Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım Çözüm: Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan, a + 3 = 8  a = 5 2b + 3 = a + b  2b + 3 = 5 + b  b = 2 dir Örnek: Z1 = (a + b + 3) + (a ? 2)i Z2 = 0 Z1 = Z2 olduğuna göre, ab değerini bulalım Çözüm: Z1 = Z2 olduğundan, a ? 2 = 0  a =2, a + b +