Geometri, Geometrinin Bölümleri

GEOMETRİ; AlmGeometri (f)FrGeometrie (f)İngGeometryUzayı ve uzayda tasarlanabilen şekilleri ve cisimleri inceleyen matematik dalıYunanca bir kelime olan geometri,kelime manası olarak yerin ölçülmesi demektirGeometri çok eski çağlardan beri vardıAncak geometri ismi,bu ilmin ilk sistematik hame gelmeye başladığı eski Yunanlılarda verilmiş olup,aksiyomatik bir ilim haline gelmesine rağmen,halen kullanılmaktadır

Geometriyle sırasıyla Tales,Pigasor,Eflatun ilgilenmiştirMÖ3yüzyılda Euclides'in yazdığı Elemanlar adlı kitap,geometrinin sistemli bir ilim haline gelmesine öncülük etmiştirMÖ330 yıllarında kurulan İskenderiye,Akdeniz bölgesinin en etkili kültür merkezi olma özelliğini uzun yıllar muhafaza etmiş ve burada geometri çok gelişmiştir

Adları zamanımıza kadar uzanan matematikçilerin ,fizikçilerin ve astronomicilerin bu kültür merkeziyle sıkı ilgileri olmuşturİskenderiye ocağı sönünce,matematik ve geometri Akdeniz bölgesinde geriledi ve hatta zamanla izleri silindiBuna karşılık İslam aleminde birçok matematikçiler yetiştiMüslümanlar ,geometri üzerine mevcut olan çalışmalarına devam etmişlerdirBu arada Abbasiler zamanında klasik Yunan kaynaklarıyla temasa gelmişlerdirBu kaynaklarda yazılanlarla kendi bilgilerini karşılaştırmışlarYunan eserlerindeki yanlışlıkları düzeltmişler ve bu sahada yeni eserler vermişlerdirİlk eserlerden birisi Beni Musa'nın Kitabu Marifeti Mesahat-il -Eşkal ( Şekillerin Alan Bilgisi) adlı kitabıdırDaha sonra bu kitaba Nasıreddin Tusi açıklama yazmıştırBu ise daha sonraları Latinceye tercüme edilmiştirBeni Musa'nın konikler üzerine yazdığı kitap da meşhurdurSabit ibni Kurre Parabolün Kuadraturu adlı eserinde parabol parçalarının alanlarını hesaplamıştırDiğer bir geometrici Ebü'l-Vefa el- Buzcani 'dir ki Fima Yahtacu İleyhi es-Sani min A'mal-il -Hendese (Sanatkarın İhtiyacı Olan Geometri İşlemler)eseridirİbni el Heysem'in ise izoperimetri problemleri üzerindeki çalışmaları kayda değerdir

Biruni ile mektuplaşan Ebü'l -Cud,çemberi dokuz eşit parçaya ayıran bir metod geliştirmiştir

Ömer hayyan ve Tusi'nin Euclid'in paralel doğru teorisi ile ilgili beşinci postulatın incelenmesi yeni bir devrin başladığına işaret ederÖmer Hayyan'ın Fi Şerhi ma Eşkale min Müsaderat Kitabı Euclid (euclid Elemanlarının Zorluğu Üzerine) adlı eseri bir anlamda Euclid dışı geometrilere açılan ilk kapıdırBu müslüman geometri alimleri ve kitapları ,Rönesanstan sonra Avrupa'da yetişenlere rehberlik ettiler

Batıda geometrinin gelişmesi ve doğu ile aralarındaki bağın yeniden kurulması,ancak Rönesansla mümkün olduEuclid'in paraleller postulatının ilk tenkidcileri,bu postulatın doğruluğundan değil,açık bir noktanın olmayışından şüphelendilerBu sebeple postulatı bir tarafa bırakarak,açıklığı olan başka bir postulat koymaya çalıştılarAynı problem 13asırda İranlı Matematikçi Nasireddin Tusi tarafından yeniden ele alındı

Onsekizinci asırda paraleller postulatı üstüne Avrupa'da Papaz Sacheri,Legender,Lambert gibi matematikçiler ve 19asırda Alman Matematikçi Gauss tarafından çeşitli çalışmalar yapıldıBu araştırmalardaki başarısızlık,bu postulatın "kabul edilebilir" özellikteki açık önermelerden faydalanarak ispat edilemeyeceği düşüncesini ortaya koyduHakikaten çok geçmeden bu düşünce Bolyai (1832)de ,Lobachevsky (1855) de "paraleller postulatı'yerine "Lobacevski postulatı"nı (Bir doğruya bu doğru dışındaki her noktadan iki paralel çizilebileceğini kabul eden postulat) koyarak ,yeni bir geometri kurulabileceğinin farkına vardılarBöylece "Hiperbolik Geometri"denilen yeni bir geometrinin temelleri atılmış olduDaha sonra Riemann paralelliği kabul etmeyen "Eliptik Geometri"nin temellerini attı

Kaynak;Yeni Rehber Ansiklopedisi 8cilt sayfa 20 frmsinsinet için derlenmiştir

Geometride ele alınan bütün mevzular nokta,çizgi,yüzey ve hacimlerle ifade edilirŞekilleri bu yönlerden ele alıp,özelliklerini incelerGeometrideki bu temel ifadelerden nokta en ilginç olanıdırNoktanın eni,boyu ,yüksekliği ,alanı ve hacmi mevcut değildirBu sebepten den noktanın müstakil bir tarifi mevcut değildirAncak iki doğrunun kesişim kümesi olarak tarif edilebilirBuna mukabil geometrinin diğer ifade araçlarından çizgi ,yüzey ve hacim en az bir boyuta sahib olan ifadelerdirÇizgi,sadece uzunluğu olan (bir boyutlu); yüzey,uzunluğu ,genişliği ve yüksekliği olan (üç boyutlu) ifadelerdir

Her ilim dalında olduğu gibi geometrinin de üzerine kurulu bulunduğu bir temeli mevcutturBu temel üzerinde kendi ifade birimleri ile,meseleleri (promlemleri) açıklığa kavuşturmaya çalışırBu temeller aksiyom,postülat,tanım (tarif) ,teorem ve geometrik yer isimlerini alırBunlardan aksiyom,ispata ihtiyaç duyulmadan ,kabul edilen önermelerdir(BakzAksiyom)

Aksiyomlardan (doğru veya yanlış) büyük ölçüde faydalanılırDoğru aksiyomlar doğru,yanlış olanları ise yanlış neticeler meydana gelmesine sebebiyet verirlerGeometrik aksiyomlar ortaklık,sıra,denklik,paralellik ve süreklilik aksiyomları olmak üzere beş gruba ayrılır

Postülatlar,mantıki olarak doğruluğu kabul edilmesine rağmen doğru veya yanlış olduğu ispat edilmeyen önermelerdirGeometride postülatların kullanılması bazı problemlerin çözümünde önem arz etmektedir

Tanım (tarif),bir kavramı,bir varlığı,özel ve temelli niteliklerini belirterek tanıtmak olup,bir geometri problemi üzerinde yürütülen fikirlerin doğruluğu ,tanımların doğruluğu ile doğru orantılıdır

Mesela karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlere paralelkenar denirDikdörtgen ise karşılıklı kenarları paralel ve bir açısı dik olan dörtgenlerdirBu tariflerde karşılıklı kenarların ve açıların eşit olması ile,açıların hepsinin dik olması,ayrı özelliklerdirGeometri,problemleri ve bu problemler üzerindeki çalışmalarda bu tarifler son derece ehemmiyet kazanır

İspatlanabilen önermeler olan teoremler,iki kısımdan meydana gelirHipotezler ,verilen bilgiler ve bu bilgilerden çıkarılan varsayımlardırHüküm ise teoremin ispat edilmesi istenen bölümüdürGeometri problemlerinde ,problemin ifadesinden hipotez ve hüküm kısmını ayırd etmek çok önemlidir"Bir üçgende bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir"ifadesi bir teoremdirBir ispatta,aksiyomlardan postulatlardan,tariflerden ve istenen ispatı yapabilmek için daha önce ispatlanmış olan teoremler ile bazı teoremler için ispatı yapmaya faydalı olacak "yardımcı teorem" adı verilen teoremlerden istifade edilirBu kaynaklardan faydılanılmadan ,geometri teoremlerinin ispatı yapılamazyapılsa da tutarlı ve geçerli yönü olmazBir teoremin hükmü başa alınır,hipotez yapılırhipotezi de hüküm yapılırsa,elde edilen yeni teoreme ,evvelkinin "karşıt teoremi" adı verilir

Geometride bütün problemlerin çözümüne uygulanacak bir tek metod göstermek imkansızdırÇünkü her problem,kendi niteliğine uygun bir yol ile çözülebilirBununla beraber,çözüm için yapılacak araştırma ve muhakemeye bir yön vermek mümkündürKullanılan metodları,özel ve genel diye sınıflandırabilirizÖzel metodlar,çözücünün bu husustaki görme ve sezme yeteneğine bağlıdırBir problemi çözerken görülen özel yol diğer birine uygulanmaz

Geometrik görüş ve seziş melekelerinin geliştirilmesi için çüzücüye bol sayıda "çözülmüş problem" incelenmesi tavsiye edilirGenel metodlar,analiz ve sentez olmak üzere ikidir

ANALİZ;

Bu metodla ispat yaparken,ispatı istenen hükmü hareket noktası alıp geriye doğru zincirleme bir muhakeme yapılırMesela (D) önermesinin doğruluğunu göstermek için ,buna göre daha basit olan (C)nin ,doğruluğunu göstermeye bunun içinde daha basit olan bir (B) önermesinin doğruluğunu göstermeye gayret edilirBöylece ,daha önceden bilinen bir önermeye varıncaya kadar devam edilir

Bu metodla problem çüzülürken,problem çözülmüş olarak kabul edilip,şekil çizilir ve yukarıda anlattığımız seri muhakeme yapılarak,sorulan problem,çözümü belli bir problem veya teoreme götürülmeye çalışılırÇoğu zaman çizim problemlerinde izlenen yol budur

SENTEZ;

Analizin tersi olan bir metoddurBu metodla bir hükmü ispat etmik için,daha önceden bilinen bir önermeden hareket edilerek zincirleme bir muhakeme ile yeni bir önermeye geçilirBunun doğruluğu gösterildikten sonra,adım adım sorulan hükme doğru yaklaşılırEn sonunda sorulan hükmün de doğru olacağı sonucuna varılırMesela,bir (D) önermesinin doğruluğunu göstermek için önceden bilinen (A) doğru olduğundan (B) de doğrudur( B) doğru olunca (C) de doğru olurNihayet (C) doğru olduğu için,(D) nin de doğru olması gerekir" diye sıralı bir muhakeme yapılır

Bu metodu,problem çözmeye uygulamak güçtürÇünkü bir problemi çözmek için ,önceden belli olan hangi problem veya teoremden hareket edileceği bilinmezOnun için bir problemin çözümünü ararken izlenen metod analizdirSentez ise,daha çok bir teoremden yeni bir teorem bulmakta veya belli çözümü anlatmakta kullanılırBilinen bir çözümü bu metodla anlatmak kısa olduğu için öğretimde tercih edilir

Bir ispatın tam olabilmesi için ,çabuk yapılan bir analizden sonra sağlam bir sentezi ihtiva etmelidir

Bir düzlem içerisinde ortak özelliğe sahib olan noktaların meydana getirdiği geometrik şekle "geometrik yer " adı verilirMesela,verilen bir noktaya belirli bir uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çemberdir

Kaynak;Yeni Rehber Ansiklopedisi 8cilt sayfa 21-22 frmsinsinet için derlenmiştir

GEOMETRİK YER PROBLEMLERİ

Geometrik yer problemlerinin çözümünde ,önce geometrik yerin cinsini anlamak için,geometrik yere ait olması gereken birkaç özel nokta gözönüne alınır ve bu noktalardan geçecek çizginin ne olabileceği aranır(şimdilik bu çizgi;doğru,çember,elips,hiperbol,parabololur)Böylece geometrik yerin cinsi kestirildikten sonra düşünceler o yönde toplanırÇözüme başlanırken;

1- Geometrik yere ait (yani verilen şarta uyan) bir nokta M olsun denirSonra bu noktanın şekille ilgili hangi sabit çizgi üzerinde bulunacağı aranır

2- Karşıt olarak bu çizgi üzerinde alınan herhangi bir M noktasının verilen şartı gerçekleyip,gerçeklemediği gösterilirEğer çizginin bir kısmındaki noktalar verilen şartı gerçeklemiyorsa,çizginin bu kısmı geometrik yere ait değildirdenir

GEOMETRİNİN BÖLÜMLERİ

1- ANALİTİK GEOMETRİ; Tasvirleri ve geometri uzayındaki çalışmaları rakam ve cebir denklemleri kullanarak ifade eden matematik dalıAnalitik geometride noktalar,sıralanmış sayı kümelerinden meydana gelen koordinatlarla ifade edilirAnalit geometrideki çalışmalarda problemin hususiyetine göre kartezyen koordinat sistemi (dik veya eğik) veya polar koordinat sistemleri kullanılır(BkzAnalitik Geometri)

2- DİFERANSİYEL GEOMETRİ; Hesaplamanın ve özellikle diferansiyel hesabın geometriye tatbik edildiği halOn dokuzuncu yüzyıldaki en değerli matematik kitaplarında diferansiyel geometrinin temeli,düzlem ve uzaydaki eğrilerle uzaydaki yüzeyler olmuşturDiferansiyel geometrinin temel kavramları eğrilerin teğetleri ,teğetlerin değişmeleri ve eğrilikleridirKartografyadaki bir yüzeyin bir başka yüzey üzerine haritasının çıkarılması diferansiyel geometri kavramlarına dayanan bir çalışmadırBu sahada vektör ve tansör hesap,düzenli bir şekilde kullanılırGeometrinin bu bahsinin anlışılmasında,diferansiyel hesap esaslarının iyi bilinmesi gerekmektedir

Bir yüzey uzaydaki dik kartezyen koordinatlarda fonksiyonu ile,uzay eğrisi ise iki yüzeyin arakesitiyle gösterilirBir uzay eğrisinin bir diğer ifadesi ise parametrik gösrerilimle olur ifadesi gibi,indisli olarak şeklinde olabilirBurada t parametredirYay uzunluğu olan s,eğri üzerinde sabit bir noktadan ölçülürYay uzunluğu;


formülüyle hesaplanır

Eğrinin noktasının bulunduğu küçük parçasında teğet vektörünün ise,birim teğet vektörünü gösterirp noktasında 'ye dik olan düzleme " normal düzlem" denir 'nin değişim oranına ( diferansiyeline) eğrilik vektörü denirVe bu ye diktir (teğet) (normal) birim vektörlerinin arasında kalan düzleme öskülatör düzlem denirBu düzleme (P) noktasında dik olan vektöre binomal vektör denirile gösterilirÜç vektörün meydana getirdiği formuna üçparmak kuralı denirÇünkü eğri P noktası etrafında hareket ederBu hareket Frenet ile ifade edilir





Kaynak;Yeni Rehber Ansiklopedisi 8cilt sayfa 21-22 frmsinsinet için derlenmiştir

Yüzeyler f(x,y,z)=o veya parametrik gösterilim ile ifade edilir u ve v parametreleri yüzeyin eğrileri veya gauss koordinatları olarak isimlendirilirBir S yüzeyinin eğrileri u ve v arasındaki ilişki ile verilmektedir

3- EUCLİDE GEOMETRİSİ; Euclide geometrisi,ismini MÖ300 yıllarında bu branşı kurarak uzay geometrisini yeniden düzenleyen geometrici Euclide'den alırEuclide geometrisi Non-Euclide geometriden Euclide'in meşhur beş postülatı ile ayrılırBunlar paralellik postülatlarıdırNon-Euclid geometrinin 19yüzyılda ortaya çıkmasından önce ,Euclide geometri çözülemeyen mantıki tüm dengelim sistemlerini ve uzay ifadelerini sadece matematik ifadeler kullanarak çözmeye çalışırdı

Euclid,teorilerini aksiyomlar ve postülatlar olmak üzere ikiye ayırmıştır

EUCLİDE'İN POSTÜLATLARI ŞUNLARDIR;

a) İki nokta bir doğru ifade eder

b) Bir doğrudan bir doğru parçası elde edilebilir

c) Bir daire bir merkez ve yarıçapı ile ifade edilebilir

d) Bir dik açı bütünleyenine eşittir

e) Bir doğru iki aykırı doğru tarafından kesildiğinde,meydana gelen iki iç açının toplamı küçüktür



Düzlem geometride,geometri uzayı iki boyutlu düzlemdirEuclid düzlem geometrisinde temel elemanlar noktalar ve doğrulardırTeoremler,matematik aksiyomlardan yapılan çizimlerden sonuç elde edilmesi şeklindedirEuclide geometrinin en iyi bilinen teoremi Pisagor teoremidir




4-) PROJEKTİF GEOMETRİ;On beş ve on altıncı yüzyıldaki ressamların üç boyutlu cisimleri iki boyutta temsil etme isteğinden doğmuşturo zaman en iyi bir resmin,cisimle,göz arasına konulacak bir camda ortaya çıkarılabileceğine gelinmiştiProjektif geometri,matematik bir disiplin olarak ancak 19yüzyıldan sonra ortaya çıktı

TEMEL TARİFLER; Bir F şeklini P noktasına birleştiren doğrularşeklin projeksiyonunu teşkil ederlerEğer bu doğrular bir F' düzlemiyle kesilirse,yeni bir şekil elde edilirF düzlemindeki şekille F'düzlemindeki şekil arasındaki ilişkiye perspektif dönüşüm denirF' yeni şeklinin bir P'noktasına göre projeksiyonunu üçüncü bir düzlemle F şeklini versinF'' iki perspektif dönüşümün sonucudurBöyle devam ederek bir seri perspektif dönüşümler bulabilirProjektif geometri,projektif dönüşümler altında değişmeyen özellikleri inceleyen bilim koludur

PROJEKTİF DEĞİŞİM;Projektif geometride noktalar noktalara,doğrular doğrulara dönüşürİki doğrunun kesim noktası dönüşmüş doğruların kesim noktası olarak ortaya çıkarAncak pekçok şey de değişirMesela,mesafeler ve açılar değişirÜçgen projektif bir şekil olduğu halde,eşkenar üçgen ve dik üçgen projektif bir şekil değildirDörtgen projektif olduğu halde ,dikdörtgen veya paralel kenar değildirKonikler projektif olduğu halde,elips,parabol ve hiperbol kendi içlerinde projektif şekiller değildir

AKSİYOM SİSTEMLERİ; Projektif geometri ortaya çıkarmak için gerekli aksiyomlar pekçok şekilde ifade edilebilirBunlardan bir takımı aşağıdaki gibi sıralanabilir;

AKSİYOM 1 ; Birbirinden farklı iki nokta tek bir doğru üzerinde bulunur

AKSİYOM 2; Her doğrunun üzerinde en az üç ayrık noktası vardır

AKSİYOM3; Bir doğru ile üzerinde olmayan bir nokta mevcuttur

AKSİYOM4; İki farklı doğrunun en az bir ortak noktası mevcuttur

DUALİTE (İKİLİK) PRENSİBİ; Dikkat edilirse doğru ile nokta aksiyomlarda ve bundan çıkarılacak teoremlerde benzer durumlardadırMesela aksiyom 3'te "doğru " ile "nokta " yerleri değiştirilirse ,bir değişiklik olmazDiğer aksiyomlarda da yapılacak bir değişiklik daha sonra elde edilecek teoremleri verirBu tür bir özellik,geometrinin daha kullanışlı olmasını sağlarMesela ,doğru ve nokta için ispat edilecek bir teoremin hemen nokta ve doğru içinde geçerli olduğu söylenebilir

TEMEL TEOREM; Projektif geometride,bir doğru üzerindeki üç noktanın dönüşümlerinin de bir doğru üzerinde olduğu ispatlanabilirBu sonuç,projektif geometrinin temel teoremi ile alakaladırTemel teorem;"Bir projeksiyon ,bir doğru üzerinde üç nokta ve onların dönüşümleri verildiğinde,tamamen belirlidirl"şeklindedir



PROJEKSİYON ÇEŞİTLERİ; Projektif geometride bazı noktalar projeksiyon sırasında değişmezlerbunlara projeksiyonun değişmez noktaları denirProjeksiyon böyle noktaların hiç,bir tane veya iki tane olmasına göre sıra ile eliptik,parabolik veya hiperbolik olarak isimlendirilir




TASARI GEOMETRİ;Uzay veya düzlemdeki bir şekli izdüşüm vasıtalarıyla gösterilme metodlarını verirPekçok mükkün metoddan,
1- Merkezi izdüşüm,
2- Aksonometri ve paralel izdüşüm,
3- Ortografik izdüşüm başlıcalarıdır
Fotogrametri de alakalı bir konudur

Merkezi İzdüşüm; Uzaydaki bir şekil,sabit C noktasından bir düzlem üzerine izdüşülürİlk diyagramda,izdüşüm düzlemi adı verilen P düzlemi,izdüşüm merkezi olarak adlandırılan sabit bir nokta vardırA noktasını izdüşümü alınacak uzaydaki bir görüntü noktası olarak kabul edersek bu nokta sabit C noktasına bir doğru çizgi ile birleşirDoğrunun izdüşüm düzlemini kestiği noktaya veya A1'e A noktasının izdüşümü adı verilir

Perspektif ;Perspektifte P düzlemi dik olarak düşünülmüş ve resim (görüntü) düzlemi olarak adlandırılmıştırBuna dik olan G yer düzlemidirve yatay olarak düşünülürYer düzlemi resim düzlemini yer hattında keserG üzerindeki ve P arkasındaki cisimlerin P üzerine izdüşümleri alınmış ve izdüşüm merkezi C (şimdi bir göz olarak kabul edilen)P'den biraz önde ve G 'nin üstüne yerleştirilmiştirG'ye paralel olan C'den geçen düzlem P'yi ufukta keserUfuk,G'ye paralel bütün doğruların kaybolan uçlarının birleştiği bir hattırG düzlemi üzerindeki bir maddeyi gözle irtibatlayan ışınlar veya doğrular ,resim düzlemini perspektif olarak keserBöyle elde edilen şekiller,tabiatta belli bir mesafeden görüldüklerine aynen benzetilebilir

Aksonometri;" Axonometry" terimi kartezyon koordinat eksenleri olan OX,OY veya OZ vasıtasıyla olan bir izdüşüm sistemine isnat ederO,eksenlerin kesiştiği başlangıç (orijin) noktasıdırİzdüşüm,resim çizilen yüzeye diktir

Koordinat sistemi pozitif bölgede,içinde temel üçgeninin kesilerek şekillendiği bir düzlemle kesilirBu düzlem,uzay noktalarının izdüşümlerinin eğik olarak alındığı izdüşüm düzlemidirBu paralel belli bir istikamettedirO başlangıç noktasının, izdüşümü alınmış olup, koordinat eksenlerinin aksonometrik izdüşümleridirBu izdüşümde paralel eksenler paralel kalır

NON-EUCLİDE GEOMETRİ;Bu tabir bazan Öklid'in kanunlarına ters düşen geometrik teoriler için kullanılır

Daha teknik olarak paralel aksiyomlar ve onun neticeleri ile uyumluluğu korumak için gerekli olan diğer küçük değişiklikler hariç tamamiyle Euclid'e uyanb ir geometri dizayn eder

Kaynak;Yeni Rehber Ansiklopedisi 8cilt sayfa 23-24-25 frmsinsinet için derlenmiştir