Polinomlar Hakkında Detaylı Konu Soru Cevap Örnek Çözümler

P O L İ N O M

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

a0, a1, a2, an-1, an  R ve n  N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denirKaynakwh: **polinomlar**

1 an xn, an-1 xn-1, , ak xk, , ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir

2 an, an-1, , ak, , ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir

3 P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir

4 Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir

5 P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır

6 Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir

Örnek:

P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  N kaç olmalıdır?

Çözüm:

5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır

3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2  0 den n  2 olması gerekir O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır Buna göre, P(x) polinomu

P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4

P(x) = 2x4 + x + 4 dür

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir

Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür

der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır

Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir

Örnek

P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:

2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6

-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8

x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5

-y5 teriminin derecesi 5

Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir O halde, der P(x, y) = 8 dir

Örnek

P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise

P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:

P(2) = 23 – 322 + 42 – 2

= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur

P(0) = 03 – 302 + 40 – 2 = - 2 bulunur

P(1) = 13 – 312 + 41 – 2

= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur

SIFIR POLİNOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,

an = an-1 = = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir

Örnek

P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim

Çözüm

P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;

m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;

m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır

SABİT POLİNOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = = a1 = 0 ve a0  0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir

0xn + 0xn-1 + + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir

x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır

Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim

Çözüm

P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir

n dereceden,

A(x) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + a0 ve

B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;

A(x) = B(x)  an = bn, an-1 = bn-1, , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır

Örnek

A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d,

B(x) = (b - 1)x3 – 3x2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım

Çözüm

A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d,

B(x) = (b – 1)x3 - 3x2 – (2c – 3)x + olduğundan;

A(x) = B(x)  5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d =

b = 6, a = -4, c = , d = dir

POLİNOM FONKSİYONLARI

P : R  R

x  P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir

P : R  R

x  P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur

Örnek

P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz

Çözüm

P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım

P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1

= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2

P(x-1) = x2 olarak bulunur

II: Yol:

Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım

P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur

Örnek

P(x) polinomu için,

P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor Buna göre P(x) polinomunu bulunuz

Çözüm

P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde

H = x + 2  h –2 = x’i yerine yazalım

P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa

P(1) = an + an-1 + + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur

P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur

Örnek

P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz

Çözüm

P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım

P(1) = 214 + 513 – 312 + 1-1

= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0

B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0

Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir

A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Örnek

P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1, Q(x) = 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuzKaynakwh: **polinomlar**

Çözüm

P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + 4

= x3 + 5x2 + (3-3) x + 5 dir

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır

1 Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır

2 Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır

3 Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır

4 Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır

5 Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır

İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir

P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir

Örnek

A(x) = 5x4 + x3 – 3x2 + x + 2 ve

B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım

Çözüm

B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise, -B(x) = 5x4 - x3 – 2x2 - dir

A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))

= (5x4 + x3 – 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 –2x2 - )

= (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 - )

= 10x4 – x3 – 5x2 + x - olur

Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur

Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur

anxn ile bkxk teriminin çarpımı

anxn bkxk = (an bk) xn+k dir

Yani (5x3) (-2x4) = 5 (-2) x3+4 = -10x7

Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz

Der [A(x) B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek

A(x) = 3x4 + 1, B(x) = x2 + x

C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor

a) A(x) B(x)

b) B(x) C(x) çarpımlarını bulunuz

Çözüm

a) A(x) B(x) = (3x4 + 1) (x2 + x)

= 3x4 x2 + 3x4 x + x2 + x

= 3x6 + 3x5 + x2 + x

b) B(x) C(x) = (x2 + x) (x2 – x + 1)

= x2 x2 – x2 x + x2 1 + x x2 – x x + x 1

= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1

= x4 + x + 1 bulunur

Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır

1 Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur

2 Değişme özelliği vardır

3 Birleşme özelliği vardır

4 Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur

5 Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur

Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir

6 Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır

A(x) (B(x) + C(x)) = A(x) B(x) + A(x) C(x)

Polinomlar Halkası

Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R[x] polinomlar kümesi;

1 (R[x],+) sistemi değişmeli gruptur

2 R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır

3 R[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır

O halde (R[x], + , ) sistemi bir halkadır Buna polinomlar halkası denir

Polinomlarda Bölme İşlemi

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

A(x) B(x)

 T(x)





-___________

R(x)

Burada A(x) = B(x) T(x) + R(x) şeklinde yazılır

Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir

1 Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır

2 Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır

DerB(x) < derA(x)

3 Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır

Der R(x) < der B(x)

4 R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir

5 der A(x) = der B(x) + der T(x)

der = der A(x) – der B(x) dir

Örnek

P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu

Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim

x4 – 2x2 + x + 5 x2 + 3x – 1

_____________ = x2

x2- 3x + 8

± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x

-__________________

-3x3 – x2 + x + 5 = 8

±3x3 ± 9x2 ±3x

-_________________

8x2 – 2x + 5

± 8x2 ± 24x ±8

-_________________

- 26x + 13

Bölüm : x2 – 3x + 8

Kalan : -26x + 13

Horner Metodu

Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir

Örnek

Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim

Çözüm

1 Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır

2 Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur

3 p katsayısı aşağıya aynen yazılır

4 a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır Ap + q olarak yazılır

Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir

px3 + qx2 + rx + s, x – a = 0 ise x = a

Örnek

P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz

Çözüm

P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim Ayrıca x –2 = 0  x = 2 ‘yi yerine yazalım

Bölümün Katsayıları Kalan

-1 0 3 4

2 1 2 2 4 14

1 1 2 7 18

Bölümün Katsayıları Kalan

Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7

Kalan R(x) = 18 bulunur

Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun (x – a) birinci dereceden olduğundan, kalan sabit bir sayıdır P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0Q(a) + k  P(a) = k bulunur

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0  x = a olur) polinomda x yerine a değeri yazılır

Örnek

P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz

Çözüm

X – 2 = 0  x = 2 dir Bulacağımız kalan P(2) olacaktır Öyleyse, P(2) = 22 – 3 2 + 21 = 19 olur

Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k yazılır

Ax + b = 0  x = olur Polinomda x yerine yazılırsa P( ) = k bulunur O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine yazılır

Örnek

P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz

Çözüm

P ( ) = - 4 + 1 = - 2 + 1 = olur

Bir P(x) Polinomunun x2 + a, x3 + a, x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır

P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır

P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır

Örnek

P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz

Çözüm

İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0  x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız

P(x) = x2 x2 – x2 x + x2 + 7x – 1 olur

Kalan : (-2) ( -2) – (-2) x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur

Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz Verilen P(x) polinomu önce (x – a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür

Örnek

Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz

Çözüm

(x + 3) (x – 2) polinomu 2 dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1 derecedendir Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir Bölüm özdeşliği yazılırsa,

P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur

P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor

P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) B (-3) –3a +b  P(-3) = -3a + b

P(2) = (2 + 3) (2 – 2) B(2) + ‘a +b  P(2) = 2a +b olur

-3a + b = -5

2a + b = 4

denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur Buradan, K(x) = x + bulunur

Örnek

Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz

Çözüm

Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır Burada, P(1) = 7 veriliyor Diğer taraftan kalan, en fazla 2 dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur Bölmenin özdeşliği yazılırsa;

P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur Polinomda,

x = 1 için P(19 = (1 + 2) (1 – 1) B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve

x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur

bx + c – 2a = -2x + 6  b = -2 ve c-2a = 6 olur Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den

a – 2 + c = 7  a + c = 9 dur

c - 2a = 6

a + c = 9

Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur Oyleyse, K(x) = x2 – 2x + 8 olur

KULLANDIĞIM KAYNAKLAR

1) MEB YAYINLARI MATEMATİK LİSE 1 DERS KİTABI

2) ZAFER DERSANESİ YAYINLARI KİTABI

3) GÜVEN-DER YAYINLARI ÖSS KİTABI

4) BAŞARI YAYINLARI LİSE 1 MATEMATİK DERS KİTABI

5) AYDIN YAYINLARI LİSE 1 MATEMATİK DERS KİTABI

6) OKUL MATEMATİK DEFTERİ