|
![]() ![]() |
|
Konu Araçları |
cevap, çözümler, detaylı, hakkında, konu, polinomlar, soru, örnek |
![]() |
Polinomlar Hakkında Detaylı Konu Soru Cevap Örnek Çözümler |
![]() |
![]() |
#1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Polinomlar Hakkında Detaylı Konu Soru Cevap Örnek ÇözümlerP O L İ N O M Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar: a0, a1, a2, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3 ![]() ![]() 4 ![]() ![]() 5 ![]() P(x) = anxn + an-1xn-1 + ![]() ![]() ![]() ![]() P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6 ![]() ![]() Örnek: P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n N kaç olmalıdır? Çözüm: 5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır ![]() 3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 0 den n 2 olması gerekir ![]() ![]() P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4 P(x) = 2x4 + x + 4 dür ![]() ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM P(x, y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir ![]() Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür ![]() der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir ![]() Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır ![]() Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir ![]() Örnek P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır? Çözüm: 2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6 -3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8 x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5 -y5 teriminin derecesi 5 Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir ![]() ![]() Örnek P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ? Çözüm: P(2) = 23 – 3 ![]() ![]() = 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur ![]() P(0) = 03 – 3 ![]() ![]() ![]() P(1) = 13 – 3 ![]() ![]() = 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur ![]() SIFIR POLİNOMU P(X) = anxn + an-1xn-1 + ![]() ![]() ![]() an = an-1 = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir ![]() ![]() Örnek P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim ![]() Çözüm P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için; m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ; m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır ![]() SABİT POLİNOM P(x) = anxn + an-1xn-1 + ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 0xn + 0xn-1 + ![]() ![]() ![]() ![]() x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir ![]() ![]() Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim ![]() Çözüm P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır ![]() ![]() İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir ![]() n ![]() A(x) = anxn + an-1xn-1 + ![]() ![]() ![]() B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ![]() ![]() ![]() A(x) = B(x) an = bn, an-1 = bn-1, ![]() ![]() ![]() ![]() Örnek A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d, B(x) = (b - 1)x3 – 3x2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor ![]() ![]() Çözüm A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d, B(x) = (b – 1)x3 - 3x2 – (2c – 3)x + olduğundan; A(x) = B(x) 5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d = b = 6, a = -4, c = , d = dir ![]() POLİNOM FONKSİYONLARI P : R R x P(x) = anxn + an-1xn-1 + ![]() ![]() ![]() ![]() P : R R x P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur ![]() Örnek P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz ![]() Çözüm P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım ![]() P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1 = x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2 P(x-1) = x2 olarak bulunur ![]() II: Yol: Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım ![]() P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur ![]() Örnek P(x) polinomu için, P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor ![]() ![]() Çözüm P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde H = x + 2 h –2 = x’i yerine yazalım ![]() P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4 P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4 P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur ![]() POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI P(x) = anxn + an-1xn-1 + ![]() ![]() ![]() P(1) = an + an-1 + ![]() ![]() ![]() ![]() P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur ![]() Örnek P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz ![]() Çözüm P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım ![]() P(1) = 2 ![]() ![]() ![]() = 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur ![]() POLINOMLARDA İŞLEMLER Polinomlarda Toplama İşlemi A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0 Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir ![]() A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0 Örnek P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1, Q(x) = 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz ![]() Çözüm P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + 4 = x3 + 5x2 + (3-3) x + 5 dir ![]() Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır ![]() 1 ![]() ![]() 2 ![]() ![]() 3 ![]() ![]() 4 ![]() ![]() 5 ![]() ![]() İki Polinomun Farkı P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir ![]() P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir ![]() Örnek A(x) = 5x4 + x3 – 3x2 + x + 2 ve B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım ![]() Çözüm B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise, -B(x) = 5x4 - x3 – 2x2 - dir ![]() A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x)) = (5x4 + x3 – 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 –2x2 - ) = (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 - ) = 10x4 – x3 – 5x2 + x - olur ![]() Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur ![]() Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır ![]() Polinomlarda Çarpma İşlemi A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur ![]() anxn ile bkxk teriminin çarpımı anxn ![]() ![]() ![]() Yani (5x3) ![]() ![]() Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz ![]() Der [A(x) ![]() Örnek A(x) = 3x4 + 1, B(x) = x2 + x C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor ![]() a) A(x) ![]() b) B(x) ![]() ![]() Çözüm a) A(x) ![]() ![]() = 3x4 ![]() ![]() = 3x6 + 3x5 + x2 + x b) B(x) ![]() ![]() = x2 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1 = x4 + x + 1 bulunur ![]() Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır ![]() 1 ![]() ![]() 2 ![]() ![]() 3 ![]() ![]() 4 ![]() ![]() 5 ![]() ![]() Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir ![]() 6 ![]() ![]() A(x) ![]() ![]() ![]() Polinomlar Halkası Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R[x] polinomlar kümesi; 1 ![]() ![]() 2 ![]() ![]() 3 ![]() ![]() O halde (R[x], + , ![]() ![]() ![]() Polinomlarda Bölme İşlemi A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü A(x) B(x) T(x) ![]() -___________ R(x) Burada A(x) = B(x) ![]() ![]() Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir ![]() 1 ![]() ![]() 2 ![]() ![]() DerB(x) < derA(x) 3 ![]() ![]() Der R(x) < der B(x) 4 ![]() ![]() 5 ![]() der = der A(x) – der B(x) dir ![]() Örnek P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim ![]() x4 – 2x2 + x + 5 x2 + 3x – 1 _____________ = x2 x2- 3x + 8 ± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x -__________________ -3x3 – x2 + x + 5 = 8 ±3x3 ± 9x2 ±3x -_________________ 8x2 – 2x + 5 ± 8x2 ± 24x ±8 -_________________ - 26x + 13 Bölüm : x2 – 3x + 8 Kalan : -26x + 13 Horner Metodu Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir ![]() Örnek Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim ![]() Çözüm 1 ![]() ![]() 2 ![]() ![]() 3 ![]() ![]() 4 ![]() ![]() ![]() Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir ![]() px3 + qx2 + rx + s, x – a = 0 ise x = a Örnek P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz ![]() Çözüm P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim ![]() ![]() Bölümün Katsayıları Kalan -1 0 3 4 2 1 2 2 4 14 1 1 2 7 18 Bölümün Katsayıları Kalan Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7 Kalan R(x) = 18 bulunur ![]() Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir ![]() ![]() ![]() Örnek P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz ![]() Çözüm X – 2 = 0 x = 2 dir ![]() ![]() ![]() ![]() Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur ![]() ![]() ![]() Ax + b = 0 x = olur ![]() ![]() ![]() Örnek P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz ![]() Çözüm P ( ) = - 4 ![]() ![]() Bir P(x) Polinomunun x2 + a, x3 + a, x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır ![]() P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır ![]() P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır ![]() Örnek P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz ![]() Çözüm İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0 x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız ![]() P(x) = x2 ![]() ![]() ![]() Kalan : (-2) ( -2) – (-2) ![]() ![]() Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan Bir P(x) polinomunun (x – a) ![]() ![]() ![]() Örnek Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz ![]() Çözüm (x + 3) (x – 2) polinomu 2 ![]() ![]() ![]() ![]() P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur ![]() P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor ![]() P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) ![]() P(2) = (2 + 3) (2 – 2) ![]() ![]() -3a + b = -5 2a + b = 4 denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur ![]() ![]() Örnek Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz ![]() Çözüm Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur ![]() x = 1 için P(19 = (1 + 2) ![]() ![]() x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur ![]() bx + c – 2a = -2x + 6 b = -2 ve c-2a = 6 olur ![]() a – 2 + c = 7 a + c = 9 dur ![]() c - 2a = 6 a + c = 9 Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur ![]() ![]() KULLANDIĞIM KAYNAKLAR 1) M ![]() ![]() 2) ZAFER DERSANESİ YAYINLARI KİTABI 3) GÜVEN-DER YAYINLARI ÖSS KİTABI 4) BAŞARI YAYINLARI LİSE 1 MATEMATİK DERS KİTABI 5) AYDIN YAYINLARI LİSE 1 MATEMATİK DERS KİTABI 6) OKUL MATEMATİK DEFTERİ |
![]() |
![]() |
|