|
![]() ![]() |
|
Konu Araçları |
anlatımı, dersi, detay, hesapları, hesaplarımatematik, içerik, konu, ortalama |
![]() |
Ortalama Hesapları-Matematik Dersi Ortalama Hesapları Konu Anlatımı Detay İçerik |
![]() |
![]() |
#1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Ortalama Hesapları-Matematik Dersi Ortalama Hesapları Konu Anlatımı Detay İçerikOrtalama Matematik ana biliminde , özellikle istatistik bilim dalında, bir ortalama veya merkezsel konum ölçüleri bir anakütle veya örneklem veri dizisi değerlerini temsil eden tek bir orta değeri veya beklenen değeri yani tüm veri dizisinin orta konumunu tek bir sayı ile ifade eden betimsel istatistik ölçüsüdür ![]() ![]() ![]() ![]() Ortalama kavramı başlangiçta deniz nakliyatında ortaya çıkan zarar kavramından geliştirilmiştir ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ortalama tipleri Ortalama bir sayısal veri dizisininin merkezsel konumunu temsil etmek için seçilen tek bir sayı halinde bir özettir ![]() ![]() ![]() ![]() En çok kullanılan ortalama tipleri Aritmetik ortalama Aritmetik ortalama bir anakütle veya bir örneklem veri değerlerinin toplamlarının o anakütledeki terim sayısına veya örneklem büyüklüğüne bölünerek elde edilen merkezsel konum değeridir ![]() Burada örneklem aritmetik ortalaması sembolüdür; anakütle aritmetik ortalaması için μ kullanılır ![]() İstatistikte sıkça kullanılır ![]() ![]() * Verilerin ölçülme ölçeğinin ya aralıklı veya oransal olması gerekir ![]() ![]() ![]() * Eğer anakütle veya örneklem veri dağılımı simetrik olmayıp çarpıklık gösteriyorsa, aritmetik ortalama merkezsel değer olmaktan çıkıp çarpıklık kuyruğunun bulunduğu tarafa doğru gitmeye eğilimlidir ![]() ![]() Örnek: Bir işyerinde işçiler maaşlarının düşük olmasından dolayı şikayetçidirler ![]() ![]() 1 Genel Müdür: 15 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() [15000+(3x5500)+(6x1500)+(30x10 00)]/38 = 1671 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Geometrik ortalama Geometrik ortalama bir anakütle veya bir örneklem veri değerlerinin çarpımlarının o anakütledeki terim sayısına veya örneklem büyüklüğüne eşit kökü alınmak suretiyle elde edilen bir merkezsel konum değeridir ![]() Burada G geometrik ortalama sembolüdür ![]() Bu tür ortalamanın da dezavantajları bulunmaktadır: * Büyük bir sayıda kök almak el hesabı ile imkânsız olduğu için bu tür ortalama genel olarak elektronik hesap makinelerinin veya kompüterlerin gelişmesinden önce kullanılması çok zor olmaktaydı ![]() ![]() ![]() * Geometrik ortalama bulabilmek için verilerin pozitif değerde olması gerekmektedir yani veri değerlerinin özellikle sıfır veya negatif olmaması gerekmektedir ![]() ![]() * Ayrıca verilerin ölçülme ölçeğinin oransal olması gerekir; isimsel ölçekli, sırasal ölçekli ve aralıksal ölçekli veri değerleri için geometrik ortalama anlamsız olur ![]() Mod Mod veri dizisi içinde en çok defa tekrarlanan veri değeridir ![]() ![]() ![]() ![]() Medyan Medyan bir veri dizisinin küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıralanmasından sonra bu dizinin tam ortasında bulunan değerdir ![]() ![]() ![]() ![]() Genelleştirilmiş ortalama türleri İstatistikçiler ortalama türlerini genelleştiren tek bir formül bulmak için değişik yaklaşımlar kullanmışlardır: * Genelleştirilmiş ortalama formülü şöyle verilir: Bu formülde m için değişik değerler değişik ortalama türü verirler: : * o eğer m = 1 ise aritmetik ortalama; o eğer m = 2 ise kuadratik ortalama; o eğer m = -1 ise harmonik ortalama; o limit m → 0 ise geometrik ortalamaya yaklaşır ![]() * Genelleştirilmiş f-ortalaması formülü diğer bir örnektir ![]() Burada f tersi alınabilir bir fonksiyondur ![]() * o Geometrik ortalama için f(x)=log x olur ![]() o Harmonik ortalama için f(x)= 1/x olur ![]() o Çok az bilinen üstel ortalama için f(x)=ex olur ![]() Ancak bu genelleştirme ile tüm ortalamaların ayrı ayrı formüllerini bulmak imkânsızdır ![]() * Diğer bir genelleştirme, ortalamalar listesi elamanlarının permütasyonu halinde simetrik olan bir g(x1, x2, ![]() ![]() ![]() o Aritmetik ortalama için g(x1, x2, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() o Geometrik ortalama için g(x1, x2, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() o Harmonik ortalama için g(x1, x2, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Değişik ortalama tipleri özeti İstatistik bilim dalında bir sıra değişik ortalama tipleri geliştirilmiş ve bunlardan araştırıcının isteğine göre birinin veya bir kaçının eldeki veriler için merkezsel konum ölçüsü olarak kullanılması imkânı sağlanmıştır ![]() Orjinal Boyutunda Açmak İçin ( 853x523 ve 54KB ) Buraya Tıklayın Resimi büyültmek için tıklayın ![]() Aritmetik Ortalama İstatistik bilim dalında hem betimsel istatistik alanında hem de çıkarımsal istatistik alanında en çok kullanan merkezsel konum ölçüsü aritmetik ortalamadır ![]() ![]() Tanımlama Matematiksel biçimde aritmetik ortalama anakütle için μ ve örneklem için () olarak ifade edilir ![]() Genel formül Anakütle büyüklüğü N ve örneklem büyüklüğü n olduğu kabul edilirse, aritmetik ortalama hesaplaması için formüller şöyle verilir: Anakütle aritmetik ortalaması: Örneklem aritmetik ortalaması: Örnegin, bir sınıftaki farklı kişilerin aldığı not veya sayının toplamının kişi sayısına bölünmesi aritmetik ortalamayı verir ![]() Çokluk dağılım verileri için formül Bazan veriler daha önceden özetlenip sınıflara ayrılıp gruplanmışlardır ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Anakütle ortalaması: Örneklem ortalamasi Dezavantajları Aritmetik ortalama çok popüler olarak hesaplanıp kullanılmakla beraber bazı önemli dezavantajları bulunmaktadır ![]() * Aşırı değerlere duyarlı (yani güçsüz) bir merkezsel konum ölçüsüdür ![]() ![]() * Aritmetik ortalama her türlü ölçülme ölçekli sayısal veri için kullanılamaz ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Genelleştirilmiş f-ortalaması Matematik ve istatistik bilim dallarında genelleştirilmiş f-ortalaması merkezsel konum ölçülerinden olan değişik ortalamalar için tek bir genel fonksiyon ve formül bulma ve kullanma çabaları sonucu ortaya çıkarılmıştır ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Tanımlama Eğer f, reel doğrunun bağlanmış altseti olan Syi reel sayılara tasarımlayan bir fonksiyon ise ve hem sürekli hem de enjektif ise, o halde şu iki sayı olan için f-ortalaması şöyle tanımlanır: n büyüklükteki bir veri dizisi , olur ve f-ortalaması ifadesi ile verilir ![]() Ters fonksiyon olan f - 1 mevcut olması için fnin enjektif olması gerekir ![]() ifadesinin f - 1 sahasında bulunmalıdır ![]() ![]() Özellikler * Bölüntülenme: f-ortalama hesaplanırken, veriler birbirine eşit alt-bloklara bölüntülenebilip genel sonuca etki yapmadan hesaplar ayrı ayrı alt-bloklara uygulanabilir: Orjinal Boyutunda Açmak İçin ( 737x22 ve 2KB ) Buraya Tıklayın Resimi büyültmek için tıklayın ![]() * Elemanların çarpma özelliği korunursa, genel f-ortalamayı etkilemeden her altset için ayrı ortalama önceden hesaplanabilir ![]() Kaynakwh: Ortalama ile şu ifade gerçek olabilir * Genelleştirilmiş f-ortalamasi f de kaymalar ve yeniden ölçeklenmelerden etkilenmez; yani ![]() * Eğer f monotonik ise, o halde Mfde monotoniktir ![]() İlişkiler * Eğer S reel doğruya (yahut anin sıfır olmadığı herhangi bir doğrusal fonksiyon a) tasarımlanırsa ve f = id, ise f-ortalaması aritmetik ortalama olur ![]() * Eğer S pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve f = ln(x), ise f-ortalaması geometrik ortalama olur ![]() ![]() * Eğer S pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve , ise f-ortalaması harmonik ortalama olur ![]() * Eğer S pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve f = xp, ise f-ortalaması p üslü güç ortalaması olur ![]() Homojenlik Ortalama için kullançılan fonksiyonlar ok kere homojendirler ![]() ![]() sağlanabilir ![]() ![]() Geometrik Medyan İstatistik bilim dalında geometrik medyan betimsel istatistik alanında bir merkezsel konum ölçüsü olarak ve çıkarımsal istatistik alanında önemli bir konum parametre kestirimicisi olarak kullanılır ![]() ![]() ![]() ![]() Geometrik medyan yöneylem araştırması, Endüstri Mühendisliği alanlarında bulunan ve pratikte çok önemi olan standart üretim ve dağıtım kuruluşu konumlanma problemi için kullanılan yaklaşımlardan en popüleridir; çünkü geometrik medyan noktasında konumlanma taşıma maliyetlerini en küçük yapan bir noktadır ![]() Tanınım Geometrik madyan için matematik biçimde tanımlama şöyle yapılır: Her biri içinde m tane nokta olan seti verilmiş olsun ![]() Geometrik Medyan Burada argmin verilen toplamanın hangi argümanlara göre minimumunun bulunduğunu gösterir ![]() ![]() Özellikler * Tek boyutlu uzayda, geometrik medyan medyan ile çakışır ![]() ![]() * Eğer noktalar doğrudaşlık (İngilizce:collinearity) özelliğine sahip değillerse, geometrik medyan tanınıma uyan yegane tek bir noktadır ![]() * Geometrik medyan Euclid tipi (cevirme ve devretme gibi) [benzerlik donusumleri]]ne esit degisme gosterir ![]() ![]() ![]() ![]() * Geometrik medyan için çöküntü noktası 0,5 olarak hesaplanmıştır ![]() ![]() Özel haller * Üç nokta için: Eğer bir üçgenin herhangi bir açısı 120°den daha büyük ise, geometrik medyan bu açının başlangıç köşe noktasıdır ![]() ![]() * Dört aynı-düzeysel noktalar için: Eger bir nokta diğer üç noktadan kurulmuş olan bir üçgenin içinde ise bu nokta geometrik medyandır ![]() ![]() ![]() Hesaplama Kavram olarak anlaşılması oldukça kolay olan geometrik medyan bulmak için kullanabilcek bir matematik formül daha mevcut değildir ![]() ![]() ![]() Cebirsel sekilde bir formulun bulunamasina ragmen, sayisal yaklasimlar kullanilarak yinelemeli surecle, her bir yinelemede daha geometrik medyan icin cok uygun yaklasik degerler bulunabilir ![]() ![]() ![]() Geometrik medyan bulmak icin kullanilan bir yineleme ile yaklasik cozum bulma islemine Weiszfeld'in algoritmasi adi verilmektedir ![]() ![]() Bose ve arkadaslari {2003) bu probleme bir yaklasik optimal cozum degeri bulmak icin daha komplike geometrik optimizasyon yontemlerinin kullanilmasini onermektedirler ![]() Örtük formül Eğer y tüm diğer verilmiş noktalar olan xj lerden belirgin olarak farkı ise, ynin geometrik medyan olması ancak ve ancak şu ifadeyi tatmin ederse mümkündür: Bu ise Weiszfeld'in algoritmasının yakın benzeri olan şu ifadeyle aynıdır: Eğer y verilmiş olan noktaların bazılarına eşit ise, o halde ynin geometrik medyan olması ancak ve ancak koşuluna uyan uj vektörlerinin bulunması ile mümkün olur ![]() ve xj = y için xj = y olur ![]() Geometrik Ortalama Geometrik ortalama, birim değerlerinin (gözlem sonuçlarının) birbirleriyle çarpımlarının, n birim sayısı olmak üzere, n inci dereceden köküne denir ![]() Birim değerleri x1, x2, ![]() ![]() ![]() İstatistiksel araştırmalarda gözlem sonuçları arasındaki oransal (nispî) farkların mutlak farklardan daha önemli olduğu durumlarda geometrik ortalamaya başvurulur ![]() ![]() ![]() Geometrik ortalama bulmak veri değerlerinin pozitif olmasi gerekir ![]() ![]() Harmonik Ortalama Harmonik ortalama, gözlem sonuçlarının (birim değerlerinin) terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir ![]() Birim değerleri x1, x2, ![]() ![]() ![]() Harmonik ortalama genellikle, ekonomik olaylarda 1 birim ile alınan ortalama miktara veya bir mamülün bir biriminin üretimi için harcanan ortalamaya gereksinim duyulduğunda kullanılır ![]() ![]() İki veri için harmonik ortalama Yalnız iki tane veri, (x1 ve x2 elde bulunursa, bunlar için harmonik ortalama H şöyle ifade edilebilir ![]() Bu halde bulunan harmonik ortalama, bu iki sayının aritmetik ortalamasına şöyle ilişkilidir; ve bu iki verinin geometrik ortalamasi olan G ise Bu harmonik ortalamaya şöyle ilişkilidir: Böylece , olur ![]() ![]() Ama çok dikkat edilmelidir ki bu sonuç yalnız ve yalnız iki veri için geçerli olur ![]() Karekök ortalama Karekök ortalama; matematikte root mean square (kısaltması RMS ya da rms) ayrıca kuadratik ortalama olarak ta bilinir ![]() ![]() ![]() Sürekli olarak değişen bir fonksiyonun sürekli olmayan değer serisi için hesaplanabilir ![]() ![]() Karekök ortalama hesaplanması n sayıdaki değerlerin RMS değeri; olarak hesaplanır ![]() aralığında sürekli bir f(t) fonksiyonu için karşılık gelen formülü; Bir periyodik fonksiyonun RMS değeri fonsiyonun bir periyodunun RMS değerine eşittir ![]() ![]() Kullanım yerleri Bir fonksiyonun RMS değeri çoğunlukla fizik ve elektrik mühendisliğinde kullanılır ![]() ![]() ![]() Ancak akım değişen bir I(t) fonksiyonu ise burada rms değeri devreye girer ![]() ( aritmetik ortalamayı ifade eder) (R bir sabit olduğuna göre ortalamanın dışına çıkarılabilir) (RMS in tanımından) Aynı metod ile; Ancak bu tanım gerilimın ve akımın birbiriyle orantılı olduğu (yani yükün resistif olduğu) varsayımı temel alınarak yapılmıştır ve genellenemez ![]() Şebeke güçlerinde olduğu gibi alternatif akımın genel durumunda, I(t) sinusoidal akım olduğunda rms değeri yukarıdaki sürekli durum denkleminden kolaylıkla hesaplanabilir ![]() Ip positif bir gerçek sayı olduğuna göre, Trigonometrik fonksiyonun karesinin alınmasını elimine etmek için trigonometrik bir varlık kullanıldığında: Fakat aralık tam periyotlardan oluşan bir tam sayı olduğu için (rms in periyodik fonksiyonlar için tanımından ) Sinüs değerler iptal edilir ![]() Saf bir sinüs dalgası için; tepe voltajı = RMS voltajı x 1 ![]() ![]() ![]() Dönüşüm katsayıları * Tepe genliği Ip tepeden tepeye genliğin Ip − p yarısıdır ![]() * Bir AC dalga formunun zirve faktörü (crest factor); tepe(zirve) değerinin RMS değerine oranıdır ![]() * Bir AC dalga formunun şekil faktörü (form factor); tepe(zirve) değerinin ortalama değerine oranıdır ![]() Sinüs dalga için; * RMS değeri = 0 ![]() * Ortalama Değeri = 0 ![]() * Tepeden tepeye değeri = 2 x Tepe değeri Üçgen dalga için; * RMS değeri = 0 ![]() * Ortalama Değeri = 0 ![]() * Tepeden tepeye değeri = 2 x Tepe değeri Pisagorik Ortalama Klasik olarak üç değişik Pisagorik ortalama vardır: Bunlar aritmetik ortalama (A), geometrik ortalama (G) ve harmonik ortalama (H) olup şu formüller ile tanımlanılırlar ![]() * * * Bu üç tip ortalamanın şu genel özellikleri bulunur: * * Eğer bütün veriler pozitif (yani i=1, ![]() ![]() ![]() Bu genel olarak eşitliksiz halinde olup eşitlilik ancak bütün veriler xi birbirine aynı değerlilerse ortaya çıkabilir ![]() Bu eşitsizlik genelleştirilmiş ortalamalar için bir özel haldir ![]() |
![]() |
![]() |
|