|
![]() ![]() |
|
Konu Araçları |
anlatımıkarmaşık, cevapları, detaylı, hakkında, karmaşık, konu, sayılar, soru |
![]() |
Karmaşık Sayılar Hakkında Detaylı Konu Anlatımı-Karmaşık Sayılar Soru Ve Cevapları |
![]() |
![]() |
#1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Karmaşık Sayılar Hakkında Detaylı Konu Anlatımı-Karmaşık Sayılar Soru Ve Cevaplarıax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz ![]() ![]() ![]() Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız ![]() ![]() ![]() A ![]() a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir ![]() ![]() C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir ![]() ( i = Ö-1 Þ i² = -1 dir ![]() z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir ![]() Örnek: Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 � 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır ![]() Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür ![]() Z2 = 2 - 3i Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3, Z3 = Ö3 + i Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1, Z4 = 7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0, Z5 = 10i Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur ![]() Örnek: x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım ![]() Çözüm: Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir ![]() Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4 ![]() ![]() ![]() X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir ![]() 2a 2 ![]() Ç = { 1 � 2i, 1 + 2i } dir ![]() B ![]() iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ![]() ![]() ![]() Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır ![]() Buna göre , n Î N olmak üzere, i4n = 1 i4n + 1 = i i4n + 2 = -1 i4n + 3 = -i dir Örnek: ( i14 + i15 + 1 ) ![]() ![]() Çözüm: i14 = (i4)3 ![]() ![]() i15 = (i4)3 ![]() ![]() i99 = (i4)24 ![]() ![]() i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için, (i24 + i15 + 1) ![]() ![]() ![]() C ![]() Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir ![]() Z1 = a + bi } olsun ![]() ![]() Z2 = c + di } Örnek: Z1 = a + 3 + 2bi + 3i Z 2 = 8 + (a + b)i Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım ![]() Çözüm: Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan, a + 3 = 8 Þ a = 5 2b + 3 = a + b Þ 2b + 3 = 5 + b Þ b = 2 dir ![]() Örnek: Z1 = (a + b + 3) + (a � 2)i Z2 = 0 Z1 = Z2 olduğuna göre, a ![]() ![]() Çözüm: Z1 = Z2 olduğundan, a � 2 = 0 Þ a =2, a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir ![]() O halde, a ![]() ![]() ![]() D ![]() _ Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a � bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir ![]() Örnek: _ 1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i, _ 2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i, _ 3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i, _ 4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12, _ 5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir ![]() Örnek: Z = a + bi olmak üzere, _ 3 ![]() olduğuna göre, a + b toplamını bulalım ![]() Çözüm: _ 3 ![]() 3 ![]() 3a � 1 � 3bi = 8 � 2i olduğundan, 3a �1 = 8 ve -3b = -2 dir ![]() 3a � 1 = 8 Þ 3a = 9 Þ a = 3 ve -3b = -2 Þ b = 2/3 tür ![]() O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3 Not: __ 1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z ) ![]() 2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni _ karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m � ni sayısıdır ![]() E ![]() 1) Toplama - Çıkarma Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ) ![]() Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di ) Þ Z2 = c + di Z1 � Z2 = ( a � c ) + ( b � di ) Örnek: Z1 = 2 � 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre, Z1 + Z2 = ( 2 � 10i) + ( 8 + 3i ) |
![]() |
![]() |
|