İntegral Testi

Matematikte integral testi veya bir diğer deyişle yakınsaklık için integral testi, terimleri negatif olmayan sonsuz serilerin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir Bu testin erken bir versiyonu 14üncü yüzyılda Hint matematikçi Madhava ve takipçileri tarafından bulunmuştur Avrupa'da ise Maclaurin ve Cauchy tarafından geliştirilmiş olup aynı zamanda Maclaurin-Cauchy testi olarak da bilinir

Testin ifadesi
Bir N tamsayısını ve sınırsız [N, ∞) aralığında tanımlı monoton azalan bir f fonksiyonunu ele alalım O zaman,

serisi ancak ve ancak

integrali sonlu ise, yakınsaktır Özelde, integral ıraksar ise, o zaman seri de ıraksar

Kanıt

Kanıt basit bir şekilde f(n) terimini f 'nin [n − 1, n] ve [n, n + 1] aralıkları üzerindeki integralleriyle karşılaştırarak, karşılaştırma testini kullanmaktadır

f, monoton azalan bir fonksiyon olduğu için,

ve

olduğunu biliyoruz Bu yüzden, N 'den büyük n için,

Alt tahmin de aynı zamanda f(N) için geçerli olduğu için, N 'den belli bir M (M, N 'den büyüktür) tamsayısına kadar n üzerinden toplamlarla

elde ederiz M sonsuza giderse, sonucu elde ederiz