Matematik Makaleleri

MATEMATİKTE NEDEN BAŞARISIZ OLUYORUZ ?
Bu yazımda sizlere matematik alanında başarısız olmamızdaki sebeplerden biraz bahsetmek istiyorum Büyüklerimiz ağaç yaşken eğilir demişler Ben ilkokulda iken bize ıskonto gibi terimleri gösterirlerdi Daha ilk okul çocuğuna bu ve benzeri şeyler öğretiliyordu Şahsen ben daha o zamanlarda bu matematik denilen şeyden korkmuştum Kar-zarar problemleri benim korkulu rüyamdı Hatta öğretmenlerimiz haftanın nerdeyse 4 günü matematik yapardı Matematiğin inanılmaz derecede zor olduğu bahanesiyle Daha küçücük yaşlarımızda bizlere matematiğin çok zor olduğu psikolojik olarak öğretiliyordu Eh, o yaşlarda bu böyle verilirse sonraki yaşlarda tabii ki bunu düzeltmek zor Yani gerçekten de ağaç yaşken eğilir

Matematik bölümü, öğrencilere hep çok zor bir bölüm olarak tanıtılıyor Ben matematik bölümünü kazandığımda “yaaa, o bölüm nasıl okunur? Allah sana kolaylık versin” demişlerdi Eyvallah arkadaşım, sağ olasın da abartacak bir şey yok Ama onlar da haklılar tabii Daha küçücük yaşlarda yükleniyorlar da yükleniyorlar



Üniversite kütüphanesinde bir kitap görmüştüm Üzerinde “Basic Mathematics for High School Students” (Lise Öğrencileri için Temel Matematik) yazıyordu Kitabı alıp inceledim Amerika’daki lise öğrencilerine okutulan bir matematik kitabıymış Gerçekten de temel matematik bilgileri vardı Hem de öyle gereksiz ayrıntılı bilgiler yoktu Hani şu ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulmamız için yararlandığımız formül var ya, işte o formülün nasıl çıkarıldığını anlatmış kitap Formülün çıkarılışı öyle çok da komplike değil x’i yalnız bırakmaya çalışmak izlenilen yöntem Türkiye’de kaç tane lise öğrencisi bunu biliyor acaba Liseyi geçelim kaç tane üniversite öğrencisi bunu biliyor? Bize Öklid Geometrisi gösterilmiyor Çünkü lisede gördüğümüz söyleniyor Doğru, lisede gördük ama sırf ÖSS denilen o sınava uygun bir Öklid Geometrisi gördük Düşünün yani nasıl bir şey olduğunu Üniversitede lineer cebir derslerimizde taban koordinatlarına verilen önem Cramer Kuralına verilseydi keşke Lineer cebirin ve soyut cebirin teknolojik alanda da kullanıldığı anlatılsaydı Matematiğin teknolojik gelişmelere olan katkısını yok sayamayız Özellikle de 21 yüzyılda…



Kendimizi matematik eğitimi alanında geliştirmek için daha ilk okul sıralarındaki çocuklara verilen gereksiz şeyler kaldırılmalı Bizlere çok ayrıntılı bilgiler veriyorlar Sadece matematik derslerinde değil Diğer derslerde de bu böyle Ama işin komik yanı bu kadar bilgili olmamıza rağmen bilimde çok geriyiz Akademik alanda başarılarımız çok az Aslında bunun sebebini MEB bakanımız geçenlerde bir televizyon kanalına verdiği röportajda söyledi “çocuklarımıza o kadar çok bilgi veriyoruz ki onların analitik düşünmelerine fırsat bırakmıyoruz” Bu arada bu röportaj bu seneki ÖSS sınavındaki matematik sonuçları üzerine söylendi Sayın bakanımız doğru söylüyor Matematikte analitik düşünebilmek önemlidir Ne kadar bilginiz olursa olsun, onları değerlendiremedikten sonra bu bilgilerin pek bir önemi kalmaz Ama bunu üstün zekalı olmakla karıştırmayalım Bir kibrit kutusunun dikdörtgen prizması şeklinde olduğunu kestirebilmek gibi bir şeydir bu analitik düşünme



Peki kendimizi yeniledikten sonra dünya ile yarışa girip onlara nasıl meydan okuyacağız? Ben bunu şöyle düşünüyorum xx = 64 denklemini sağlayan x değerini iterasyon yaparak değil de bambaşka bir yol izleyerek bulmalıyız Bunu bir savaş olarak görmüyorum ama bir rekabet var, bunu yok sayamayız İnsanlık var oldukça bilim, matematik hep olacak ve buna bağlı olarak da rekabet hep olacaktır Bizler de bu rekabetin içerisindeyiz Daha öğrencilik yaşantımızda bile kimin notu daha yüksek diye merak edenlerimiz olmuştur Rekabet içimizde hep var ve bu duygu bizi başkalarıyla yarışmaya sevk ediyor doğal olarak Uzun lafın kısası matematikçi olmak ne çok zor ne de çok kolaydır Fakat daha küçücük yaşlarda psikolojik olarak zor olduğu beyinlere sokulursa ilerde o insanlardan matematikte elle tutulur bir başarı beklenemez ÖSS’deki sonuçlar buna en somut örnek


ATATÜRK’ÜN GEOMETRİ KİTABİ

Bugün kullandigimiz “Matematik Terimleri”nin büyük bir çogunu Atatürk dilimize kazandirmis ve icat etmistir

Ilkokullar da ögretildigi gibi Atatürk’ün ögretim hayatinda matematik dersiyle arasinin çok iyi oldugu, hatta matematik dersindeki üstün basarisindan dolay matematik ögretmeni tarafindan Kemal adinin verildigini biliriz Mustafa Kemal, Selanik Askeri Rüstiyesindeyken, matematik ögretmeni yüzbasi Mustafa efendi sinifa gelmediginde de onun yerine birçok kez bu dersi vermistir

Atatürk, ölümünden yaklasik birbuçuk yil öncesine degin matematikle ne ölçüde ugrastigini bilmiyoruz Bu konuda, Türk Dil Kurum Basuzmani ADilaçar’in yazisiçok ilginç bilgiler vermektedir: “Atatürk ölümünden birbuçuk yil kadar önce, üçüncü Türk Dil Kurultayindan hemen sonra 1936-1937 yili kis aylarinda kendi eliyle Geometri adli bir kitap yazmistir”
Atatürk, bunu, birtakim Fransizca geometri kitaplarini okuduktan sonra hazirlamis ve yapit ilk kez 1937 yilinda “Geometri ögretenlerle, bu konuda kitap yazacaklara kilavuz olarak Kültür Bakanliginca yayinlanmistir” Bu 44 sayfalik yapittaki boyut, uzay, yüzey, düzey, çap, yariçap, kesek kesit, yay, çember, teget, açi, açiortay, içters açi, disters açi, taban, egik, kirik, çekül, yatay, düsey, yöndes, konum, üçgen, dörtgen, besgen, kösegen, eskenar, ikizkenar, paralelkenar, yanal, yamuk, arti, eksi, çarp, bölü, esit, toplam, oran, oranti, türev, alan, varsayi, gerekçe gibi terimler Atatürk tarafindan türetilmistir

Yapittaki tanimlarin tümünü Atatürk yazmistir Her tanim, ilgi kavrami tüm ögeleriyle eksiksiz ve açik biçimde anlatmakta, özel ve temelli nitelikleri içermektedir Gerekli ve yeterli örnekler de verilmistir Taninmis bilim tarihçisi Ord Prof Dr Aydin Sayili, tam bir yetkiyle, bu Geometri kitabini, “küçük fakat anitsal bir yapit” diye nitelendirmistir
Atatürk, yasaminin önemli bir kesimini tarihin en büyük savaslarindan birinin içinde, ulusal ve evrensel sorumluluklar yüklenerek geçirdikten yillarca sonra, düzenli bir mantik ve bilgi disiplini kesinlikle gerektiren matematik alaninda, yeni türettigi terimlerle böylesine özlü bir yapiti yazmakla, dil ve matematikteki üstün yetenegini kanitlamistir Atatürk’ün yasaminda çok belirgin bir örnegini izledigimiz gibi, aslinda dil ile matematiksel kültür arasinda siki baginti vardir Atatürk’ün dehasinda, dil ve matematik gibi aklin degisik disiplinleri birbirini karsilikli olarak hep olumlu yönde etkilemis ve gelistirmistir Atatürk, “Fen terimleri o suretle yapilmali ki anlamlari ancak istenilen seyi ifade edebilsin”demis ve bunu, Osmanlica çok sayida terimin yerine öz Türkçe karsiliklarini türetirken üstün bir basariyla gerçeklestirmistir
Atatürk’ü, “Geometri” adli yapitini yazmaya zorlayan nedenleri, O’nun dil çalismalarini yakindan izlemek olanagini bulabilen taninmis dil uzmani A Dilaçar söyle açikliyor:
" Atatürk hep matematikle ugrasirdi Eski geometri terimleri çok agdali idi Gen bile, uzun uzun bu terimleri okudugum halde, simdikiler Imisisinda güçlügünü daha iyi anliyorum Pedagojide bir gerçek var: Fikir yolunun açik olmasi, bir ip ucunun bulunmasi lazimdir Yoksa bir külçe gibi çöker Müselles kelimesini ele alalim Arapça okullarimizdan kaldirilmistir Sülüs'ten müstak (türetilmis) bir kelime oldugunu ögrenin nasil bilsin? Arapça sogurucu bir dildir Örnegin "müstesrik" "sark" kelimesinden gelmis bir kelimedir Önüne, ortasina, arkasina birtakim heceler eklenmis Bunun aslini bulmak bir Arapça gramer meselesidir, Okullarimizdan Arapça, Farsça kaldirilmis oldugundan, ögren id "müselles"i küde kelime olarak karsisinda görecektir "Uç" aklina gelmeyecektir Ama müselles yerine "üçgen" dersek, hir üç var "Gen" Atatürk'e göre "genislikten" alinmistir Bir ipucu var "Dörtgen" dörtten gelmistir Bir ipucu vardir "Esit", denk anlaminda olan "es"ten gelmistir Ama müsavi Arapça bir kelimedir Bu sebeple Atatürk'ün prensipleri burada da dogru idi On im için bu en agdali olan bu bilim dalini ele aldi ve kitabi örnek olarak birakti”
Atatürk'ün matematik terimlerini türetme ve bunlari ögretime yerlestirme çalismalari konusunda Prof Dr Vecibe Latipoglu, su bilgilen veriyor:
" Atatürk, matematigi iyi bildigi ve sevdigi için, terim devrimine matematikten baslamistir, denilebilir Çünkü Türk Dili (Belleten)'in Subat 1937 tarihli yayinindan bir ay sonra, Atatürk, ceyb (sinüs) ve tece^b (kosmus)'m Türkçe karsiliklarinin bulunmasi için 29 Mart 1937 tarihli Ulus Gazetesine ilan verdirerek bir yarisma açtirmistir Sonunda hazirlanan bütün terimler, Türk Dili (Belleten) dergisinin Ekim 1937 tarihli sayisinda yer almistir Terimler, Türkçe-Osmanlica, Osmanlica-Türkçe, Fransizca-Türkçe olmak üzere siralanmis ve ön sirayi matematik terimleri almistir
Atatürk terim çalismalarinin ülkedeki etkisini ögrenmek için, 1937 yili sonbaharinda, Sivas'a giderek, vaktiyle Sivas Kongresini topladigi lise binasinda, dokuzuncu sinifin geometri dersine girmistir'"1' Bu derste eski terimlerle ögrenimin zorlugunu birkez daha saptayan Atatürk, "Bu anlasilmaz terimlerle, ögrencilere bilgi verilemez" diyerek kitabi atmis ve sonra tahta basina geçip "dili" yerine "kenar", "müselles" yerine "üçgen", "müselles mütesaviyül adla" yerine "eskenar üçgen", "zaviye" yerine "açi" terimlerini kullanarak ünlü Pisagor teoremini ögrencilere anlatmistir"' Atatürk, bu inceleme gezisinde yaninda bulunan Kültür Bakani Saffet Arikan'a tüm okul kitaplarinin yeni terimlerle, hemen yarilmasi emrini vermis ve Türkçelestirilmis terimlerle iki ayda hazirlanan kitaplar bütün okullara Kültür Bakanliginca gönderilmistir'

Atatürk'ün türettigi matematik terimleri ve yaptigi geometri tanimlarinin hemen hemen tümü bugüne degin degismeksizin kullanila gelmistir O'nun türettiklerinden sadece birkaç terim sonradan küçük ölçüde degistirilmistir Örnegin Fransizca "hypothese'in karsiligi olan Osmanlicidaki" faraziye'nin yerine Atatürk, Türkçe "varsayi" terimini türetmis ve sonradan bu terim varsayim" biçimini almistir Ayni sekilde O'nun "tümey açi", "bütey açi" terimlerinin yerini "tümler açi", "bütünler açi" terimleri almistir Çok az sayida ve sinirli olan bu terim degisikliklerini, Atatürk'ün dildeki temel ilkesinin dogrulugunun birer kaniti saymak gerekir
KAYNAKÇA
(*) O dönemde, simdiki ortaokullara derecesinde olan okullara rüstiye, yaklasik lise derecesindeki okullara idadi deniliyordu
(**) Matematik ögretmeni yüzbasi Mustafa efendi, Atatürk’e verdigi Kemal adini Onun resmi künyesine yazdirmistir
(1) Türk Nesriyat Yurdu: Türkün Altin Kitabi Gazinin Hayati Sebat Matbaasi, Istanbul 1930, s11-16
(2) Türk Tarihi Tetkik Cemiyeti: Tarih IV TC Devlet Matbaasi, Istanbul, 1937, s17
(3) Geometri, Türk Dil Kurumu Yayinlari / Atatürk Dizisi: 4Türk Tarih Kurumu Basimevi, Ankara, 1971, sV-VII, I
(4) Sayili, A: Bilim ve Ögretim Dili Olarak Türkçe, Bilim, Kültür ve Ögretim Dili Olarak Türkçe’den ayri basim Türk Tarih Kurum Basimevi, Ankara, 1978, s424


PROBLEM NASIL ÇÖZÜLÜR?

Bir problemi çözmeye istenenin ne olduğunu yanıtlayarak başlayın Birden çok uygun yanıt olabilir Yanıtı seçmede rehber olacak bilgiler şöyledir:

ÖRNEK
Çözüm yolları
Y1, Y2, Y3 olsun

Seçilen Y1 için alt çözüm yolları:

Y1-1, Y1-2, Y1-3

Seçilen Y1-2 için alt çözüm yolları:

Y1-2-1, Y1-2-2, Y1-2-3

Seçilen Y1-2-3 için alt çözüm yolları:

Y1-2-3-1, Y1-2-3-2

şeklindedir Bu çözüm yollarının her biri problemin kapsamının ne olduğunun anlaşılmasını sağlar




Ulaşılabilir kaynaklar,
Bilgi,
Uygunluk

Denkleme başlarken ek bilgi veya kurallar gerekir Birden çok uygun yanıt olabilir Yanıtı seçmede rehber olacak bilgiler şöyledir:

Ulaşılabilir kaynaklar,
Bilgi,
Verilen şartlar,
Uygunluk

Çözümdeki her bir noktada ek bilgi veya kurallar gerekli olacaktır Birden çok uygun yanıt olabilir Yanıtı seçmede rehber olacak bilgiler şöyledir:

Ulaşılabilir kaynaklar,
Bilgi,
Verilen şartlar

Problem çözme süreci şu olguların yinelenmesinden oluşur:

* S orgu
* S unu
* S onuç

Noktaların birinde birkaç seçimden biri kullanılmış olabilir Farklı seçimler kullanılarak farklı çözüm yolları verilebilir Bu şekilde, bir problem incelenebilir ve problemle elde edilmiş olabilecekler tamamen anlaşılabilir

Bir problemin gelişimini anlamak çözümün gelişimini anlamaktır Farklı çözüm yollarını kullanarak çözümü geliştirmek, problemi ve onun çözümünü anlamada derinleşmeyi sağlar

Mantıken, bir problemi çözmeden problemi anlamak mümkün değildir Anlaşılmış bir problem çözülmüş bir problemdir Bir problemin çözüm planı problemi çözmeden önce yapılmış olamaz Plan çözülmüş bir problem gibi gelişir

Bir problem onu çözerek anlaşılır, düşünerek değil
(Karşıt olarak günümüzde (1999) problem çözüm yolları olarak maalesef düşünme yaklaşımı öğretiliyor)
Temel problem çözme kuralı doğrusal bir hiyerarşik süreçtir Her adım önceki adımın bir sonucu ve sonraki adımın öncüsüdür Bu sürecin uygulamaları genel olarak karşılaşılan problemlerde sıkça kullanılır Problemler bilinmeyen bir çözümün olduğu yerlerde ortaya çıkar Böyle problemler problemi çözmek için gereken bilgi veya kaynak eksikliğinin bir sonucudur Geçmişte çözülemez olan problemler ek bilgi ve ulaşılabilir hale gelen kaynaklar ile çözülebilir hale gelmiştir Hala birçok çözülemez problem bulunmaktadır Bu tür problemlerin çözümü için ek bilgi veya kaynaklar beklenmektedir

Problemlerdeki kısıtlamalar, zorunluluklar problem çözüm sürecini değiştirir Böylece problem çözme süreci doğrusal olmayan hale gelir Bu durumlarda çözüm sıklıkla yaklaşık olarak vardır ve çözüm kısıtlamalar değiştirilerek bulunur Kısıtlamaların çelişkili olduğu bazı daha karmaşık problemler bile aynı yapıdadır Bu tür problemlerde ideal çözümler azdır Bir çözümde ilerleme problemin kısıtlamalarının düzeltilmesi ile sağlanır Ulusal, sosyal problemler ve politik problemler arasındaki ilişkilere dayalı problemler karmaşık problemlere örnektir Böyle problemlerin yaklaşık çözümleri için geniş kaynaklar bulunmaktadır Yeterli tatmin sağlanmasının beklendiği durumlarda yaklaşık çözümler sonuç verir

(Bu yazı problem çözme teknikleri hakkında yapılan bir beyin-fırtınası toplantısı ve kişisel düşünce notlarıyla hazırlanmıştır)




ÜÇGENİN ALAN FORMÜLLERİNDE BİRİ DOĞRU İKİSİ HATALI MI?ÜÇ KENARI FARKLI HERHANGİ BİR ÜÇGEN İÇİN; ÜÇGENİN ALAN FORMÜLLERİNDE BİRİ DOĞRU İKİSİ HATALI MI? (BU İSPATIMIZ ÜÇ KENARI FARKLI HERHANGİ BİR ÜÇGEN İÇİN GEÇERLİDİR) CKL Üçgeninde Geometri Kitaplarında Yer Alan; Üçgenin Alanı 1 / 2 CK LC Sin C Üçgenin Alanı 1 / 2 l k Sin C 940,456403667956 1 / 2 68,8595729474114 80 0,341439963760082 Sin C ( F ) / ( 1 / 2 CK LC) Bu formül Türkiye ve dünyada Orta Dereceli okullar ve Üniversitelerdeki Matematik Kitaplarında yer almakta ve doğrudur Bu formülün dışında Üçgenin alanına ait yer alan iki adet Üçgenin alan formülleri üç kenarı farklı herhangi bir üçgen için geçerli değildir İşte İspatı ; Kitaplarda Yer Alan Yanlış Formüller:; Üçgenin Alanı 1 / 2 KL LC Sin L 940,456403667956 1 / 2 28,0396729385445 80 0,838505147446964 940,456403667956 809,492829152922 Eşitliği sağlamadı Üçgenin Alanı 1 / 2 CK KL Sin K 940,456403667956 1 / 2 68,8595729474114 28,0396729385445 0,974162471890248 940,456403667956 1092,60788403226 Eşitliği sağlamadı Kısaca Üniversite ve Orta Öğretim Matematik kitaplarında yer alan; BAC Üçgeninde; Üçgenin Alanı 1 / 2 b c Sinüs A Üçgenin Alanı 1 / 2 a b Sinüs C Şeklindeki formüller eşitliği sağlamamaktadır BAC Üçgeninde; Üçgenin Alanı 1 / 2 a c Sinüs B Şeklindeki formül eşitliği sağlamaktadır Kerim SARILAR Yapımcı Bil – Kod: 244 (Matematik Öğretmeni)



MATEMATİKÇİLERİN ÇOĞU YALNIZ ÇALIŞIR

Matematikçilerin çoğu yalnız çalışır, grup halinde araştırma yapmazlar Matematik makalelerinin hemen hepsi tek imzalıdır; bir azınlığı iki imzalıdır; ikiden fazla imzalı yok gibidir (tıpta da aksi; 15 imzalı makale bile vardır) Matematikçi buluş için 4 şey ister: Sakin bir oda, kütüphane, kağıt ve kalem; tabii bir de yaratıcı bir beyin Kimyacı ve fizikçiler laboratuvara bağımlıdırlar Belki böyle serbest oldukları için, matematikçiler genellikle çok seyahat ederler ve diğer matematikçilerle temas kurarlar Macar asıllı Amerikan matematikçisi Paul Erdöst durmadan seyahat eden biriydi
Matematikçiler şairlerin aksine kesin olmamaktan nefret ederler Kesinlik matematikçinin kalite damgasıdır Matematikçiler bizlerin bilmediği birçok şeyi bilirler; fakat çoğu, söylencesel deniz kızları gibi yalnız kendileri için şarkı söylerler; bizler için değil Yüksek matematiğin tümünü matematik dışında olan meraklılara öğretmek için tek bir kitap yazılmamıştır daha; ancak parça paça öğreten kitaplar vardır Neden? Matematikçi olmayanlar matematiği anlayamaz önyargısından mı? Matematiği kapalı duvarlar arasında saklamak için mi? Hiçbiri değil Daha lisede edebiyat (sosyal) ve fen kolları ayrılır Sosyalciler sanat ve felsefe deyince koşarlar; matematik deyince kaçışırlar; lise bitse de şu matematik belasından yakayı kurtarsak derler Liseden sonra matematiği yanlarına uğratmamaya yeminlidirler Birinci neden bu ikinci nedense, matematikçilerin çoğunun kendi fildişi kulelerinde matematiğin esrikleştirici büyüsüne kapılmış olmalarıdır Onlar matematik anlatmak değil, matematik yapmak isterler; yani matematikte buluş yapmak peşindedirler Bir şair de kimseye şiir yazmayı öğretmeyi düşünmez Matematikçilerin yazdıklarını yalnız kendileri ve matematikçiler (o da bazen) okurlar
Sosyalciler için genellikle matematik taş gibi ağır, toprak gibi tatsızdır; onlar matematiği hiç düşünmezler Mühendis ve bilimciler içinse matematik bir araç, mikroskop ya da tansiyon aleti gibi bir şeydir; işe yarar tabii Ama o kadar Mikroskopun güzeli mi olur?
Oysa matematikçi çok güzel şiirler yazan, ama onu anlayacak okurlar bulamayan bir şair gibidir Matematikçi olmayanlarla arasında uçurumlar vardır
Matematikçiler kendilerini bir sanatçı olarak görseler deki gerçekten öyledirler ne yazık ki sanatçılar onları duygusuz, mermer mantıklı insanlar olarak görürler
Matematikçi, formülleri kara tahtaya özenle yazar Onlara saygı duyar Karşılarına geçip susarak onları seyreder O sırada kafasının içinde Beethoven'in 9 senfonisi ya da Mahler'in 1 senfonisi çalıyor gibidir Matematikçi, matematiğe tapar Pisagorcuların sayılara taptıkları biliniyordu Pisagorcular V2'yi (irrasyonel sayıları) tanımıyorlardı; kenarı 1 olan karenin köşegenini V2 bulunca çok şaşırmışlar Tanrı'ların kendilerini çarptığını sanmışlar, bunu bir sır olarak saklamışlardı
Matematiksel dünya kafanın içinde, gerçek dünya ise dışındadır Matematikçi garip bir paradoks içindedir: Kendisi gerçek dünyada yaşar; ancak üzerinde çalıştığı nesneler o dünyada yaşamazlar; kafasının içinde yaşarlar Bunun için çoğu kez dalgındırlar Kafanın içinde yaşayan bir şey daha vardır: Gerçek
Matematikçi Alfred Renyi, şöyle demişti: "İnsanın var olmayan şeyler hakkında var olanlardan daha çok şey bilmesi ne gizemli değil mi?" Matematikçi matematik hakkında gerçek dünyadan fazla şey bilir Bazıları "Matematik insanın dışında da, kafasında da var; matematiği insan icat etmedi" diyorlar Tartışmalı bir görüş Doğada entegral, logaritma, türev, kök alma vb var mı? Yok O halde Yalnız şu söylenebilir: "insanın kafasında doğan matematik, doğaya uygulanabilmektedir" Ama her bilimde böyle değil mi? Doğa, insan beyninin ürünü olan mantık kurallarına uygundur, bu nedenle insan mantığının ürünü olan matematik, doğaya da uygulanabilmektedir
Matematik evrende varsa ve onu beynimize ve evrene Tanrı koyduysa neden matematik bazen yanılmıştır Örneğin Ptolemy'nin büyük yanılgısı (Evren'in merkezi Güneş'tir) Nevvton'un ışık teorisi neden yanlıştı? Kepler neden gezegenleri çokyüzlüler içine yerleştirmeye çalıştı? Neden doğa'da yalnız doğal sayılar var; rasyonel, irrasyonel, aşkın, ondalık sayılar, loğ, in, integral türev, matris, n boyutlu uzaylar, topolojik garip şekiller vb nerede?
Matematikteki yalın güzelliğe iki örnek verelim Euler şu formülü bulmuştu CİØ = Cos Ø + Sin Ø (Ø gerçek sayı) Ø=? için SinØ=O ve CosØ= -1'den ci?= -1 Güzelliğe bakın Matematiğin birbirinden bağımsız gözüken üç sayısı, natürel logaritmaların tabanı e, i = ?-1 ve ? nasıl bir araya geldi
Bir başka güzellik Öklit asal sayıların sonsuz olduğunu basitçe şöyle kanıtladı: olmayana ergi ile diyelim ki asal sayılar sonludur; p1, p2, p3 asal sayılar ve sonucu asal sayı P olsun Hepsini çarpalım: A= (p1p2p3P)+1 yazalım A asal sayı değil (asallar bitti; hepsi parantezin içinde; orada A yok) A, parantez içi sayıların hiçbirine tam bölünemez; hep 1 artar A asal olmadığına göre en az 2 asal çarpanı vardır ve bu asal çarpanlar parantez içindekilerden ikisi olamaz (bunların hepsi kalan olarak 1 verir ve bu yüzden A'nın asal çarpanı olamaz) Biz asal sayılar P ile bitti demiştik Görüyoruz ki A asal değil; A'nın en az iki tam böleni vardır A'nın en az bir asal çarpanı vardır ve bu, parantezimiz içinde değildir O halde demek ki P'den daha büyük en az 1 asal sayı vardır Aynı yöntem tekrarlanırsa asal sayıların sonsuz olduğu anlaşılır
Yazımızı Büyük Alman matematikçisi Jacobi'nin şu güzel sözleriyle bitirelim: "Ben matematiği insan aklını onurlandırmak için seçtim"




SONU BAŞINA ÇIKAN ÇIKMAZ SOKAK PARADOKS
Yunanca karşı, karşıt, zıt anlamına gelen para önekiyle, fikir düşünce anlamına gelen daxos sözcüğünden oluşmuş bir kelimedir paradoks Mantık oyunları olarak da görülebilecek paradokslar, kendilerini çözdürmek için, heyecanlandırıcı ve eğlendirici bir serüvenin içine çekerek neredeyse insanı kışkırtırlar
Paradoksal durumlarda birlikte gerçekleşmesi beklenmeyen iki olgunun ya da birlikte varolması beklenmeyen iki niteliğin birarada çıkması söz konusudur, bazen de varılan paradoksal sonuç düpedüz mantıksal bir çelişkidir
İsterseniz paradoksları birlikte inceleyelim
Yalancı paradoksu "Şimdi yalan söylüyorum"
Bu önermenin doğruluk değeri nedir? Yani "şimdi yalan söylüyorum" derken doğru mu söylüyorum yoksa yalan mı söylüyorum? Düşünecek olursak

Bu önermenin doğru olduğunu varsayalım Öyleyse yalan söylüyorum Ancak önermenin doğru olduğunu varsaymıştım öyleyse çelişkiye düştüm

Bu önermenin yalan olduğunu varsayalım O zaman bu cümle doğru olmalıdır Gene bir çelişki (farkındayım zihniniz zorlanıyor)


Berber Paradoksu
Bertrand Russell'ın 1918'de ortaya attığı berber paradoksu da "yalancı paradoksu" na benzer bir paradoks "Seville'in kendini traş etmeyenlerini traş eden berberi kendini traş eder mi etmez mi?"Kendini traş etmeyenleri traş eden berber kendini traş ederse kendi kendiyle çelişki içine düşer Kendini traş etmezse tanımdan ötürü kendini traş etmesi gerekir, ama bu da bir çelişkidir Bu durumda bu berber berber dükkanını kapatıp yeni bir mesleğe atılmalıdır:))
Bu iki paradoksta da sonsuza uzanan bir kısır-döngü vardır
İstisna Paradoksu
1 Bütün kuralların istisnaları vardır
2 Yukarıdaki cümle de bir kuraldır
3 O halde onun da istisnaları vardır
4 Demek ki istisnaları olmayan kurallar da vardır
Görüldüğü üzere 1 ve 4 cümleler birbirleriyle çelişki halindedir


Timsah Paradoksu
Bir annenin elinden çocuğunu kapan timsah, çocuğa ne yapacağını annenin bilmesi durumunda çocuğu vereceğini söyler Anne, timsaha çocuğunu yiyeceğini söyler, böylelikle meydana gelen paradoksal durum sonucunda çocuğunu kurtarır


Şöyle ki, timsah çocuğu yiyecekse anne timsahın ne yapacağını bilmiş olacak ve timsah çocuğu teslim edecek ancak çocuk teslim edilince anne timsahın ne yapacağını bilememiş olacak; timsah çocuğu yemeyecekse anne bilemediğinden çocuğu yiyecek ama o zaman anne timsahın yapacağının bilmiş olacak ve bu yüzden yememesi gerekecek
Kısaca, bu iki durumda da timsah çocuğu ne yiyebilir ne de yiyemez
İşte size başka paradokslar


" YAPTIĞIM AÇIKLAMA YANLIŞTIR"
Eublides
" BÜTÜN GİRİTLİLER YALANCIDIR"
Giritli Eupiminides
" DÜŞMANLA KARŞILAŞTIK VE O BİZİZ"
Walt Kelley
" KENDİ KENDİSİNİ ELEMAN OLARAK İÇERMEYEN KÜMELERİN KÜMESİ KENDİ KENDİSİNİ ELEMAN OLARAK İÇERİR Mİ?"
Bertrand Russell


ALGI YANILMALARI
Matematikte paradoks olarak geçen algı yanılmalarını daha yakından tanıyalımGöze veya akla ilk bakışta bakılan yönde doğru gelen şekil,ifade,anlatım vs denirParadokslar çok çeşitlidirFelsefe de de geçen bu konu Matematik 'ten çok eğlence bilimine daha yakınBinlerce yıllık geçmişi olan paradokslar, insanların kafasını devamlı meşgul etmiştir Aslında doğru gibi görülen bir önerme veya fikir, tamamen yanlış olarak çıkar karşımıza Tam tersi de mümkündür; yıllarca yanlış zannettiğimiz olayların, fikirlerin, hesaplamaların, doğru olduğunu görmek, bizi şaşkınlığa ve hayrete düşürür İleride bolca misal vereceğimiz paradoksların, yapılmış birkaç tanımını aktaralım:
Kısaca paradoks:
'Çok mantıksız görünen, aslında çok mantıklı bir değiş'
'Kağıt-kalem veya mantık ilüzyonu'


BİR KAÇ PARADOKS
Paradokslar ilginçtir, eğlencelidir, öğreticidir, şaşırtıcıdır, zihni açar
Tarihte bilinen ilk paradoks örneklerini Epimenides vermiştir Giritli olan Epimenides:
-'Bütün Girit'liler yalancıdır!' diyerek bizi çelişkiye götürür Nasıl mı?
Şöyle ki :
Eğer gerçekten giritliler yalancı ise kendisi de giritli olduğuna göre o da yalancıdır Yani söyledikleri yalandır(mesela yukarıdaki cümlesi) Bu cümle yalan olduğuna göre doğrusu şu olmalı:
-'Bütün Giritliler doğrucudur, doğru söyler'
O halde söylediği doğrudur Yani 'bütün Giritliler yalancıdır

Günlük hayatta rastladığımız bir tane daha:
- Beni duyabiliyor musun?
- Hayır Sesin gelmiyor (!)

Hemşerim memleket nire?
Memleketimizde bazı yer adları, kendisi ile çelişir:
Bakırköy: Adı "köy" olmasına rağmen ilçedir Hem de yaklaşık 50 vilayetten bile büyük bir ilçe
Viranşehir: "Şehir" değil, Şurfa'nın bir ilçesidir
Kuşadası: "Ada" değildir
Denizli: Denizli'de deniz yoktur
Elmadağ, Kadifekale, Akdeniz, Gümüşhanevs


Bir otobüs ilanı:
-"Okuma-yazma öğrenmek isteyenlere müjde! Hemen aşağıdaki adrese başvurun"
Okuma-yazma bilmeyen bir insan nasıl bu ilanı okuyacak! Okusa zaten o adrese başvurması gerekmez
BU CÜMLEDEKİ HARF SAYISI OTUZYEDİ DEĞİLDİR (37 Harf var)
SOCRATES'ten:
" Bildiğim tek şey var; o da hiç bir şey bilmediğim"
Karışım Paradoksu:
Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz Şimdi sorumuz geliyor:
Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?CEVAP
Berber Paradoksu:
Klasik paradokslardan biri daha:
Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor Berberi kim traş edecek?CEVAP
Russel Paradoksu:
1970 yılında 98 yaşında ölen Bertrand RUSSEL'ın çok bilinen paradoksu:
" Bir odada papa ve ben varım Odada kaç kişiyiz?" Cevap:
" Bir kişiyiz Çünkü ben, aynı zamanda papayım"
Russel'ın "Kümeler" Paradoksu:
Russel'a göre iki çeşit küme var:
a) Kendisinin elemanı olan(ihtiva eden) kümeler
b) Kendisinin elemanı olmayan kümeler
Şimdi, "Kendisinin elemanı olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim X, kendisinin elemanı mıdır? devamı yakında


Nasreddin Hoca:
Nasreddin Hoca bir gün heybe almak için pazara gider Güzel bir heybe görüp pazarcı ile pazarlık yapar ve 1 akçeye anlaşırlar Tam oradan ayrılacaktır ki daha güzel bir heybe dikkatini çeker:
- Kaç akçe şu heybe muhterem?
- 2 akçe hocam
- Aldım gitti, diyen hoca elindekini bırakır ve onu alıp tam gidecekken pazarcı seslenir:
- Hocam Bu heybe 2 akçe Sen 1 akçe verdin
Hoca sinirlenir:
- Bre cahil adam! Sana önce 1 akçe verdim Sonra da 1 akçelik heybe bıraktım! İkisi eder 2 akçe Daha benden neyin parasını istersin!



Temelden:
Temel, çalışmak için gittiği şehirden, köye babasına mektup yazar Klasik mektup cümleleriyle başlayan mektup, şu notla biter:
-"Babacuğum Acele cevabini bekliyrum Yalnız, zarfa biraz da para koyarsan iyi olir Oğlin Temel"
Aradan onbeş gün geçer ve mektubun cevabı gelir Temel büyük bir heyecanla zarfı açar İçinden sadece mektup çıkar Mektubun sonunda da bir not vardır:
-"Oğlim Temel Sana para göndereceydum Ama aha bu geri zekali anan zarfi kapatmiş Bir daha ki sefere evladim İmza:Buban"

Müfettiş Paradoksu:
Bir işyerini, önümüzdeki on gün içinde vergi müfettişleri denetlemeye gelecektir Müfettişler, mantık oyunlarını sevdikleri için işyeri yetkilisine telefon açarlar ve:
-"Hangi gün geleceğimizi, o günün sabahında tahmin edebilirseniz, denetimden kurtulacaksınız" derler
Defterleri denetimden geçemeyecek kadar karışık olan işyerinin yetkilisi, biraz düşünür ve müfettişlere:
-"Galiba bu denetimi yapamayacaksınız efendim Çünkü buraya geleceğiniz günü çok kolay tahmin edebilirim Şöyleki:
Denetimi, onunucu ve sonuncu güne bırakmazsınız Çünkü ben ilk dokuz gün gelmediğiniz takdirde onuncu gün geleceğinizi hemen bilirim Dokuzuncu gün de gelmezsiniz Çünkü ilk sekiz gün içinde gelmezseniz, dokuzuncu gün geleceğiniz açıkça belli olur (Onuncu gün gelmeyeceğinizi az önce ispatlamıştım) Onuncu ve dokuzuncu gün gelemeyeceğinize göre denetimi, sekizinci güne de bırakamazsınız Çünkü ilk yedi gün içinde gelmediğiniz takdirde sekizinci gün geleceğinizi hemen anlarım
Yetkili, mantık oyunlarına müfettişlerden daha meraklıymış:)

not:yazılar alıntıdır