Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir?

Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir?
Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir?

2x+3=5+x
Bu bir denklemdir Bir bilinmeyenlidir Aynı olan türleri bir tarafta toplarsanız sonuca ulaşırsınız
2x-x=5-3 x ve 3 ün yerlerini değiştirdiğimiz için işaretleri değişti
x=2

x+2y =2
2x-2y=4
Bu ise 2 bilinmeyenli bir denklemdir
Bu tür denklemlerde taraf tarafa toplamak en iyi yoldur Fakat her hangi birisinden x veya y'nin değerini bulup diğer kullanmadığınız denklemde yerine yazarsanız yine sonuca ulaşırsınız
x+2x+2y-2y=2+4 hem +2y hem -2y birbirlerini götürürler
3x=6
x=2

Denklem, iki niceliğin eşitliğini gösteren bağıntıdır Araya (=) işareti konularak ifade edilir Denklemlerde eşitlik değişkenlerin belirli değerleri için sağlanır Değişkenlerin her değeri için geçerli olan eşitliklere özdeşlik denir
(x + y)² =x² + 2·x·y + y² özdeşlik x² - 3·x + 2 = 0 ise bir denklemdir x² - 3·x + 2 = 0 denklemi sadece x = 1 ve x = 2 sayıları için doğrudur, diğer değerler için yanlıştır Özdeşlikte ise her x ve y değeri için eşitlik doğrudur Denklemlerde değişkenlerin en büyük kuvveti denklemin derecesini gösterir Her terimin derecesi aynı olan denklemlere homojen denklem denir
Yüzey denklemiÜç boyutlu uzayın herhangi bir P noktasının koordinatları x,y,z ise, f (x,y,z) = 0 şeklindeki denklemlerdir Eğri denklemiEğri, tarifinden dolayı iki yüzeyin arakesiti bir eğridir f(x,y,z) = 0 ve g(x,y,z) = 0 yüzey denklemleri bir arada eğri denklemi verir İki boyutlu uzayda x ve y gibi iki değişkenle meydana gelen denklemler bir eğri denklemidir: y² = 2x, y = 3x, x² + y² = 1 birer eğri denklemidir Cebirsel denklemTerimleri cebirsel fonksiyonlardan meydana gelen denklemlerdir Denklem sistemiOrtak çözümleri olsun veya olmasın iki veya daha fazla denklemler grubu Lineer denklemDeğişkenleri birinci dereceden olan cebirsel denklem Mesela: 3x + y = 5, 8x + 9 =3 gibi Logaritmik denklemBilinmeyenlerin logaritmiktrigonometrik fonkisiyonlardan meydana getirilen denklem böyledir(İngilizcesi transcendental olan bu kelimenin Türkçe'si "AŞKIN" olarak çevirilmiş Bu ifade aynı zamanda pi,e gibi sayılar için de kullanılır Kendi kendini aşandan (AŞKIN) gelmektedir Aşkın Sayılar)

fonksiyonlarının bulunduğu denklemlerdir log(x) + 3·log(3x) = 4 gibi Transandant denklemCebirsel olmayan denklemlerdir Logaritmik, üstel, Denklemler teorisi
f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0 çok terimli denklemleriyle ilgilenir Burada n denklemin derecesini ve an denklemin baş katsayısını gösterir
Çarpan teoremiEğer (n'inci) mertebeden f(x) = 0 denkleminin x = a gibi bir kökü (çözümü) varsa, g(x) çokterimlisi (n-1) mertebeden olmak üzere: f(x) = (x-a)·g(x) yazılabilir Kök sayısıBir denklemin en fazla, derecesi kadar kökü vardır Katlı kökEğer: f(x)=(x-a)k·g(x) yazılabiliyorsa x=a, f(x)=0 denkleminin k katlı köküdür Mesela: x³ + x² - 5x + 3 = (x-1)²·(x+3) = 0 denkleminde x = 1 iki katlı kök, x = -3 tek katlı köktür Karmaşık kökEğer gerçel katsayılara sahip f(x) = 0 denkleminin bir kökü x= a + ib ise, x = a - ib de diğer bir köktür Gerçel kökün yeriEğer gerçel katsayılara sahip f(x) için f(a) ve f(b) ters işaretli değerler ise, a ve b arasında f(x) = 0 denkleminin bir kökü vardır Mesela f(x) = x5 - x - 1 = 0 da f(1) = -1 ve f(2) = 29 olduğu için, denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü vardır İkinci derece denklemx² + ax + b = 0 denkleminin en çok iki kökü bulunur
Bu kökler

gerçel çözümün olması için karekök altındaki ifadenin negatif olmaması gerekir Eğer kökün altındaki ifade sıfırsa, kök tek olarak iki katlı ortaya çıkar Negatif ise gerçek kök yoktur Beşinci ve daha yüksek dereceden denklemlerin yalnızca cebirsel işlemler içeren formüller yardımıyla çözülmesinin olanaksızlığını ilk kez Paolo Ruffini öne sürdü ve Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel beşinci dereceden denklemler için bunu kanıtladı (1824) Abel'den bağımsız olarak aynı sonuca varan Fransız matematikçi Evariste Galois, oluşturduğu denklemler kuramını matematikte yeni bir kavram olan gruplar kuramına dayandırmıştı Yirmi yaşında bir düelloda öldürülen Galois, ölümünden bir gece önce bir arkadaşına aceleyle yazıp bıraktığı bir mektupta, günümüzde kendi adıyla anılan kuramı ortaya koydu

2 derece denklemler
ax2 + bx + c = 0 şeklindeki denklemlerdir Bu çeşit denklemlerin 2 adet kökü bulunur Bu denklemlerin bazıları çarpanlara ayrılarak yapılır Örneğinx2 − 7x + 12 = 0 denklemi (x-4)(x-3)=0 şeklinde açılabilir Çözüm kümesi de Ç={4,3}'tür
Ama bazı denklemler parantezle ayrılamaz Bunların çözüm kümesini bulmak için diskriminant formülü vardır Bu formül kökü reel olmayan denklemler için de geçerlidir

Cauchy-Riemann denklemleri
Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'a atfen Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandıran denklemler, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorfik fonksiyon olması için gerekli ve yeterli şartları sağlayan kısmi diferansiyel denklemlerdir Bu denklemler sistemi ilk defa Jean le Rond d'Alembert'in 1752 yılındaki çalışmasında ortaya çıkmıştır Daha sonra, 1777 yılındaki çalışmasıyla Leonhard Euler bu sistemi analitik fonksiyonlarla ilişkilendirmiştir Cauchy ise bu sistemi 1814'teki çalışmasındaki fonksiyonlar teorisinde kullanmıştır Riemann'ın fonksiyonlar teorisi üzerine olan doktora tezinin tarihi ise 1851'dir

Bir gerçel değerli fonksiyon çifti u(x,y) ve v(x,y) için yazılan Cauchy-Riemann denklemleri aşağıdaki gibidir:
(1a) ve
(1b) Genelde u ve v çifti, karmaşık değerli bir f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) fonksiyonunun gerçel ve sanal kısımları olarak alınır u ve v, C 'nin açık bir kümesinde sürekli şekilde türevlenebilir bir fonksiyon olsun O zaman, f=u+iv ancak ve ancak u ve v Cauchy-Riemann denklemlerini ((1a)'yı ve (1b)'yi) sağlarsa, holomorfiktir

Yorumu ve formülasyonu

Açıkorur gönderimler

Cauchy-Riemann denklemleri çeşitli yollarla genelde tekrar formüle edilirler Birincisi,
(2) karmaşık formunda yazılabilirler
Bu formda, denklemler yapısal olarak Jakoben matrisinin, ve olacak şekilde,
formunda olmasına karşılık gelir Bu formdaki bir matris bir karmaşık sayının matris temsilidir Geometrik olarak, böyle bir matris her zaman homotetisi olan bir rotasyonun bileşkesidir ve bilhassa açıları korur Sonuç olarak, türevi sıfırdan farklı, Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan bir fonksiyon düzlemdeki eğriler arasındaki açıyı korur Yani, Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun açıkorur gönderim olması için olan koşullardır

Karmaşık eşleniğin bağımsız olması

Denklemler bazen tek bir denklem olarak yazılır:
(3) Burada, türev operatörü
olarak tanımlanmıştır
Bu formda, Cauch-Riemann denklemleri "f, değişkeninden bağımsızdır" olarak yorumlanabilir

Karmaşık türevlilik

Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun karmaşık türevli (veya holomorfik) olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur (Ahlofors 1953, §12 ) Daha ayrıntılı bir şekilde,
f(z) = u(z) + iv(z) z∈ C karmaşık sayısının fonksiyonu olsun O zaman, f 'nin z0 noktasında karmaşık türevi eğer limit varsa
olarak tanımlanır
Eğer bu limit varsa, limit reel eksen veya sanal eksen boyunca h→0 alınarak hesaplanabilir ve her iki durumda da aynı sonucu vermelidir Reel eksen boyunca yaklaşılırsa
elde edilir Diğer taraftan sanal eksen boyunca yaklaşılırsa

ifadesini verecektir Farkedilirse bu, z0 noktasındaki (2) nolu Cauchy-Riemann denklemidir
Tersine, f: elde edilir İki eksen boyunca alınan türevlerin eşitliği C → C, R2 'de türevli olarak algılanırsa, o zaman f ancak ve ancak Cauchy-Riemann denklemleri sağlanırsa karmaşık türevlidir

Diğer temsiller

Cauchy-Riemann denklemlerinin diğer temsilleri diğer koordinat sistemlerinde de ortaya çıkmaktadır Sürekli şekilde türevlenebilir bir u ve v fonksiyon çifti için (1a) ve (1b) sağlanıyorsa, o zaman birim dik ve pozitif yönlü olduğu herhangi (n(x,y), s(x,y)) koordinatı için de
eşitlikleri sağlanır Sonuç olarak, özellikle, z=reiθ olarak verilen kutupsal koordinatlar sisteminde, denklemler
halini alır
f için bu iki denklem birleştirildiğinde
elde edilir
'nin
Homojen olmayan denklemler

Homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemleri, R2 'nin açık bir altkümesinde verilmiş α(x,y) ve β(x,y) için, bilinmeyen iki gerçel değişkenli bir u(x,y) ve v(x,y) fonksiyon çiftinin iki denkleminden oluşur:
Bu denklemler genellikle bir denklemde toplanırlar (f=u+iv ve φ=(α+iβ)/2):
Eğer φ, Ck ise, o zaman herhangi sınırlı bir D bölgesinin kapanışında φ sürekli olduğu sürece, homojen olmayan denklem D 'de açık olarak çözülebilir Aslında Cauchy integral formülüD için
ifadesi elde edilir
kullanılarak her ζ∈
Genelleştirmeler

Goursat teoremi ve genelleştirmeleri

Ayrıca bakınız: Cauchy-Goursat teoremi f = u+iv, f : R2 → R2 fonksiyonu olarak karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon olsun O zaman Goursat teoremi, f 'nin açık karmaşık bir Ω bölgesinde ancak ve ancak fonksiyon Cauchy-Riemann denklemlerini sağlarsa analitik olacağını ifade eder (Rudin 1966, Teorem 112) Özelde, f 'nin sürekli türevliliği varsayılmak zorunda değildir (Dieudonné 1969, §910, Al 1)
Goursat teoremi 'nin varsayımları önemli bir ölçüde zayıflatılabilir f=u+iv açık bir Ω kümesinde sürekliyse ve f 'nin Ω 'da x ve y 'ye göre kısmi türevleri varsa, o halde f holomorfiktir (ve bu yüzden analitiktir) Bu sonuç Looman–Menchoff teoremi olarak bilinir
f 'nin Ω üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlaması varsayımı çok önemlidir Bir noktada Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan ancak analitik olmayan bir fonksiyon inşa etmek mümkündür (mesela f(z) = z5/|z|4) Benzer bir şekilde, aşağıdaki örneğin de gösterdiği gibi, Cauchy-Riemann denklemlerinin yanında (süreklilik gibi) bazı ek varsayımlara da ihtiyaç vardır (örnek Looman 1923, sf 107'dedir):
Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar ancak z=0 noktasında sürekli değildir
Yine de, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini zayıf bir anlamda sağlıyorsa, o zaman fonksiyon analitiktir Daha kesin bir anlamda (Gray Morris 1978, Teorem 9),

• f(z), Ω⊂C açık bölgesinde yerel olarak integrallenebiliyorsa ve zayıf bir şekilde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlıyorsa, o zaman f, Ω içindeki analitik bir fonksiyonla hemen hemen her yerde aynıdır

Çok değişkenler

Cauchy-Riemann denklemlerinin çok karmaşık değişkenlere uygun genelleştirmeleri de vardır Kısmi diferansiyel denklemleri önemli bir [artık belirtilmiş sistemleri]]ni oluştururlar Çoğu zaman formüle edildiği gibi
d-bar operatörü holomorfik fonksiyonları imha eder Bu doğrudan
alınarak şu genelleştirmeyi yapar:

Dalga denklemi



1 boyutlu dalga denklemi

Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir Bu denklemin çözümlerinden, ses, ışık ve su dalgalarının hareketlerini betimleyen fiziksel nicelikler çıkar Kullanım alanı, akustik, akışkanlar mekaniği ve elektromanyetikte oldukça fazladır Denklemin dalga hareketinde bulunan herhangi bir u skaler büyüklüğü için gösterimleri
Gösterim Açıklama operatörü : u'nun zamana göre 2 türevi : d'Alembert İşlemcisi

şeklinde biçimlenir
Burada c dalganın yayılma veya ilerleme hızıdır Dalganın dağılması, yani ilerledikçe başka başka frekanslar haline bürünmesi olgusu (dispersion) göz önüne alınırsa denklemde c yerine faz hızı kullanılır Ayrıca daha gerçekçi sistemlerde hızın, dalganın genliğine bağlı olduğu dikkate alındığından denklem doğrusal olmayan
Tek boyutta çözümü

Laplasyen tek boyutta adi türeve dönüşür

d'Alembert çözümü

ve tanımları yapılarak zincir kuralı yardımıyla:
yazılabilir
olduğundan,
ifadesi ve aynı yol izlenerek
ifadesi elde edilebilir İki denklem birbirinden çıkartılarak dalga denklemi buradan,
olarak yazılır Dolayısıyla denklem,
durumuna indirgenmiş olur Kısmî diferansiyel denklemin çözümü, tek tek değişkenler için integral alınarak
olarak bulunur Burada f, +x yönünde ilerleyen, g de -x yönünde ilerleyen düzlem dalgayı betimler

Fourier dönüşümü ile

Denklem yazılıp iki tarafa da Fourier dönüşümü yapılırsa
biçimine dönüşür
denkliği kullanılarak
diferansiyel denklemi elde edilir Burada, dağılım (dispersion) ilişkisini vermesi görülebilir Elde edilmiş olan diferansiyel denklemin çözümü
olarak elde edilir Ancak bu çözüm konum uzayı x de değil, başka bir uzay olan k uzayındaki çözümdür Çözümün konum uzayında bulunabilmesi için k uzayındaki çözüme ters Fourier dönüşümü uygulanır

f ve g diye iki fonksiyonun Fourier dönüşümleri olarak kabul edilirse x uzayındaki çözüm
olarak elde edilir
dönüşümü de uygulanarak dalga denkleminin w,k uzayındaki çözülüerek Görüldüğü üzere birinci ve ikinci terim sırasıyla
Değişkenlere ayırma yöntemi ile

Dalga denklemi karışık türevler içermediği için değişkenlere ayırma yöntemi kullanılarak da çözüme gidilebilir
olarak yazılır ve denkleme konulursa denklem şu hali alır:
iki taraf da u ya bölünürse
iki tane birbirinden bağımsız değişkenin olduğu ifade birbirine ancak bir sabite eşit olmaları durumunda eşit olabileceğinden iki denklem de ayrı ayrı bu sabite eşitlenerek çözümler bulunabilir Bu sabit pozitif, negatif ve sıfır olması durumlarında incelenerek diferansiyel denklemler çözülebilir ancak fizikte zaman genelde salınım olarak ortaya çıktığından sabit, − k2, k:reel seçilerek fiziksel olarak anlamlı çözüme hızlıca gidilebilir Böylece denklemin sol tarafından:
ve sağ tarafından da
bulunur Sinüs ve kosinüs ile elde edilen çözümler sınır koşullarını rahatça sağlayacaklarından genellikle sınır değer problemlerinde kullanılırlar Dalga boşlukta hareket eden bir elektromanyetik bir ışınsa o zaman çözümleri K1eikx ve K2eikct olarak vermek daha rahat olur Matematiksel olarak iki çözüm de doğru olmasına rağmen fiziksel kaidelerden serbest ve bağlı olarak çözümler böyle sınıflandırılabilir

Dirac denklemi

Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan dönülü ve göreli kuantum mekaniği denklemi,
şeklinde ifade edilebilir Burada;
m_0 : parçacığın durağan kütlesini,c : ışık hızını,pμ : dörtmomentumu,γμ : Dirac matrislerinikarmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur Bu dört sayı da iki gruba ayrılır:
Buradaki Ψ + ve Ψ − , Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır Ψ + dönücüsü, pozitif enerjileri, Ψ − negatif enerjileri ifāde eder Bunlar da
ve olarak tanımlanır ψ yukarı dönü ve φ aşağı dönü olarak anlam kazanır Yani, dalga fonksiyonu;
şeklindedir
göstermektedir Ayrıca Ψ, dört tane
Serbest parçacık için Dirac denklemi

Dırac denklemlerinde μ = 0 bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz Minkowski uzayzamanı), Dirac denklemi;
biçiminde yazılabilir Dirac matrisleri; I, birim matris olmak üzere
ve olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir Bunlar yerine konunca Dirac denklemi,
biçimini alır Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir:
Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir:
Burada p0c = E = mc2 ve
şeklindedir Buradan E için pozitif ve negatif değerler gelir
olduğundan ifade,
Elektromanyetik alanda Dirac denklemi

Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek:
denklem,
biçimine gelir Buradaki Aμ, elektromanyetik dörtpotansiyeldir ve e elektriksel yüktür

Doğrusal denklem
Doğrusal (Lineer) Denklem terimlerinin her biri ya birinci dereceden değişken ya da bir sabit olan denklemlerdir Bu tür denklemler aynı zamanda birinci dereceden bir polinom belirtirler Böyle denklemlere "doğrusal" denmesinin nedeni içerdikleri terim ve değişkenlerin sayısına bağlı olarak (n) düzlemde ya da uzayda (ya da n-boyutlu ortam) bir doğru belirtmesindendir Doğrusal denklemlerin en yaygını bir x ve y
Burada, m sabiti doğrunun eğimini belirler; değişkeni içeren aşağıdaki formdur: b sabiti ise denklemin x ve y eksenlerini keseceği noktaları belirler (yani m sabiti değişmesi fonksiyonun artış miktarını etkilerken b sabitinin değişmesi doğrunun düzlemde ötelenmesine neden olur) Aynı terimde iki değişken barındıran ya da değişken terimin derecesi 1'den farklı olan denklemler: x2 ya da y1 / 3 (terimler birinci dereceden ya da bir sabit olmadığından) ve xy (tek bir terim çift değişken içerdiğinden) doğrusal değildir

Örnekler
İki değişkenli bazı doğrusal denklem örnekleri:

İki Boyutlu Doğrusal Denklemler



Aşağıdaki formlar basit matematik bilgisiyle yazılabilecek 2 boyutlu doğrusal denklem örnekleridir Burada büyük harfler sabitlerin x ve y'ler değişkenlerin yerine kullanılmıştır

• Genel form

Hem A hem B'nin sıfıra eşit olmadığı durumalrda denklem genelde A ≥ 0 olacak şekilde yazılır Denklemin grafiği bir doğru belirtir A sıfır olmadıkça denklem x eksenini değeri -C/AB sıfır olmadıkça denklem y eksenini değeri -C/B olan bir b noktasında keser A/B ise denklemin eğimini (m'yi) verir olan bir a noktasında keser,

• Standart form

A ve B sıfır olmadıkça A, B, ve C en büyük ortak çarpanı 1 olan tamsayılardan seçilir Genelde A ≥ 0'dir A sıfır olmadıkça denklem x eksenini değeri C/A olan bir a noktasında keser, BC/B olan bir b noktasında keser A/B ise denklemin eğimini (m'yi) verir sıfır olmadıkça denklem y eksenini değeri

• Eğim-kesim noktası formu

Kesim noktası: Doğrunun herhangi bir eksenle kesiştiği noktadır Örneğin sağdaki grafikte (a,0) x ekseni kesim noktası; (0,b) y ekseni kesim noktasıdır
m eğimi ve b de y-ekseni kesim noktasını gösterir x = 0 de y = b olduğu direk gözlenir

• Nokta-eğim formu

m eğim ve (x1,y1) doğru üzerinde herhangi bir noktadır Bazen nokta-eğim formü şu şekilde de karşımıza çıkabilir: Ancak, bu şekilde x = x1 durumunda eşitlik sağlanmaz

• Kesim noktası formu

E ve F sıfırdan farklı olmalıdır Doğru ve x ekseninin kesiştiği nokta (x ekseninin kesim noktası) E ve y ekseninin kesim noktası F'dir A = 1/E, B = 1/F ve C = 1 alınarak kolaylıkla standart forma dönüştürülebilir

• İki nokta formu

p ≠ h Grafik (h,k)'ya karşılık (p,q) noktasını sağlar ve eğim m = (q−k) / (p−h)'dir

• Parametrik form

ve olsun şeklinde iki denklemdir eğim m = V / T, x-kesim noktası a=(VU−WT) / V ve y-kesim noktası b=(WT−VU) / T

• Normal form

φ normalin eğim açısı ve p de normalin uzunluğudur Normal doğru ve başlangıç noktası (orijin) arasında doğruya dik olacak en kısa doğru parçasıdır Tüm katsayılar by 'a bölünerek ve eğer C > 0'sa tüm katsayılar -1'le çarpılarak (böylece son katsayı negatif olur) rahatça bulunabilir Alman Matematikçi Ludwig Otto Hesse'nin anısına bu form ayrıca Hesse standart formu olarak da anılır Bazen denklemlerde sadeleştirme işlemlerinden sonra eşitsizlik söz konusu olabilir, 1 = 0 gibi Bu gibi eşitsizlikler tutarsız eşitsizliklerdir, yani hiç bir x ve y değeri için doğru değildir 3x + 2 = 3x − 5 buna örnek olabilir
Birden fazla doğrusal denklem olduğu durumlar için lütfen bkz: Doğrusal denklem sistemi

Doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi
Yukarıdaki tüm formlarda y, x'in bir fonksiyonudur Fonksiyon grafiği denklem grafiğiyle aynıdır
Denklemdeki y = f(x) varsayılırsa f fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:
ve
a bir sayıdır Bunları sağlayan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir

İkiden fazla değişkenli doğrusal denklemler
Doğrusal denklemler ikiden fazla değişkene de sahip olabilirler, n terimli genel denklemimiz aşağıdaki gibi olsun:
Burada, a1, a2, …, an katsayılar, x1, x2, …, xnb de sabittir Üç değişkenli denklemlerde genelde x1 yerine sadece x, x2 sadece y ve x3 yerine z kullanılır
Böyle bir denklem n-boyutlu bir Öklid uzayında (n–1)-boyutlu hiper düzlem belirtir değişkenlerdir, ve