Kümeler Kuramı

Kümeler Kuramı


Canlı ya da cansız varlıkların, küme denen topluluklar halinde belirtilmesi oldukça eski ve basit bir işlemdir Ama bu uygulamayı bir kuram haline getiren Alman matematikçii kümeler kuramı, 20 yüzyıl matematiğinin temelini oluşturdu Georg Cantor oldu; Cantor'un 1874 ile 1895 arasında geliştirdiğ

Kümelere ilişkin olarak akılda tutulması gereken ilk temel özellik, bir kümenin açık bir biçimde tanımlanmış olması gerektiğidir; yani bir kümenin neyi kapsadığı ve neyi kapsamadığı açık biçimde görülebilmelidir "Yaşlı insanlar kümesi" diye bir küme olamaz, çünkü kime "yaşlı" deneceği belirsizdir ve herkes tarafından aynı anlamı taşımaz Ama, "60 yaşın üstündeki insanlar kümesi" kurulabilir, çünkü kümenin kimi kapsayıp kimi kapsamadığı kesin olarak belirtilmiş durumdadır

Bazen yanıltıcı durumlarla karşılaşılabilir Örneğin "Kırmızı saçlı insanlar kümesi" dendiğinde, küme sanki açık biçimde tanımlanmış gibidir, oysa kırmızının bazı tonlarını kahverengiden ayırt etmek oldukça zordur; demek ki, bu kümenin tanımında da bir belirsizlik vardır "2008 yılındaki Dünya Kupası karşılaşmalarında yer alacak Danimarka takımının futbolcuları kümesi" de pek belirli değilmiş gibi gözükür, çünkü bu takımda kimin yer alacağı bugünden bilinemez, ama bir küme olarak çok iyi biçimde tanımlanmıştır, bu nedenle de belirli ve anlamlı bir kümedir
Kümeyi oluşturan varlıklara ya da nesnelere, "kümenin elemanı" denir Kümeler genellikle elemanları sıralanarak gösterilir Bu tür liste yöntemiyle göstermede elemanlar kıvrımlı parantezler arasında sıralanır: {Pazar, Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma, Cumartesi} Bu, haftanın günleri kümesidir; bu küme bir başka biçimde de yazılabilir:

{Haftanın günleri}
Ama bu yazıma belirsiz olduğu için karşı çıkılabilir ve bu kümenin daha açık biçimde
tanımlanabilmesi için {haftanın günlerinin adları}, hatta {haftanın günlerinin Türkçe adları} biçiminde yazılması gerektiği söylenebilir Bazen kümeler konusunda bu tür tartışmalar olur; bunun ne denli önemli olduğunu, bazı sayı kümelerini ele alarak görebiliriz
{2,4,6,8,10,12,,} biçiminde yazılan bir küme (buradaki üç nokta, sayıların aynı biçimde sürüp gittiğini gösterir), l'den büyük çift sayıların kümesidir Peki ama, l'den küçük çift sayı yok mudur? Bütün çift sayıları kapsamak istiyorsak, sıfırı da eklememiz gerekmez mi? Sıfırdan küçük çift sayı yok mu?

Kümeleri göstermenin bir başka yolu da çeşitli şemalardan yararlanmaktır; bunların içinde en yaygın kullanılanı Venn şemasıdır (Bu şema 19 yüzyıl İngiliz matematikçisi John Venn'in kullandığı şemalardan yararlanılarak geliştirilmiştir) Venn şemasında kümenin elemanları kapalı bir eğri içinde gösterilir
Elbette ele aldığımız bir kümenin hangi tür sayıları kapsayacağına baştan karar vermek zorundayız Örneğin, bir örnekte kesirler değil, tam sayılar kümesi alınmış olsun; bu durum mutlaka açık biçimde belirtilmelidir Öte yandan, içinden kümelerimizi seçip aldığımız bütünsel bir evrensel küme vardır; evrensel küme genellikle bir dikdörtgenle gösterilir:

Her iki kümede de yer alan bu sayıların oluşturduğu kümeye kesişim kümesi denir Kesişim özel bir işaretle gösterilir ve şöyle yazılır:
{2'nin katları} {3'ün katları} Kümeler genellikle bazı harflerle ya da kısaltılmış biçimlerde gösterilir Eğer {2'nin katları} yerine K(2), {3'ün katlan} yerine de K(3) yazarsak, o zaman bu iki kümenin kesişimi K(2)DK(3) biçiminde gösterilir
Bu kesişimde özel bir durumun ortaya çıktığına dikkat etmişsinizdir; gerçekten de kesişim sonucunda ortaya çıkan yeni küme aynı zamanda {6'nın katları} kümesidir Öyleyse bunu,
K(2)nK(3)=K(6) biçiminde yazabiliriz Aslında bu, "hem 2'nin, hem de 3'ün katı olan bir sayının, 6'nın da katıdır" diye uzun uzun yazmanın yerine tercih edilen bir gösterim biçimidir

Gene Venn şemasında bu kez {2'nin katları} ve {4'ün katları} kümelerini gösterirsek, ilginç bir başka durum ortaya çıkar
K(4) kümesi, K(2) kümesinin içinde yer almaktadır; bu demektir ki, 4'ün bütün katları, 2'nin de katlarıdır Bu durumda K(4) kümesi K(2) kümesinin bir altkümesVdir; bunu şöyle yazarız:

K(4)c=K(2) Genel olarak ifade edecek olursak, A kümesi B kümesinin altkümesi ise, bunu Ac~B biçiminde gösteririz
Kümeler kuramında kullanılan öteki ifadeler şunlardır:
Bir kümenin elemanı e simgesiyle belirtilir; yukandaki örneğimizde, 4'ün K(2) kümesinin bir elemanı olduğu, 4 e K(2) biçiminde gösterilir
Boş küme, hiçbir elemanı olmayan kümedir ve { } ya da 0 biçiminde gösterilir
İki kümenin birleşimi, iki kümenin elemanlarından oluşan kümedir ve A U B biçiminde yazılır