Benzerlik

1 Benzer Üçgenler Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir



ABC ve DEF üçgenleri için;
oranı yazılırBuradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve
ABC ~ DEF biçiminde gösterilir
eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik

katsayısı denir

• k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir

ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir

2 Açı - Açı Benzerlik Teoremi
Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir

şekilde verilen üçgenlerde

İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir
m(C)=m(F)


3 Kenar - Açı - Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir


ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir
BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir

4 Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir

Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir
m(A) = m(D),
m(B) = m(E),
m(C) = m(F)

5 Temel Benzerlik Teoremi
ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş açılar eş
olacağından ADE ~ ABC dir

• Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]
  |AK|=2|KB|
  |AL|=2|LC|

6 Tales Teoremi
Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda
bölerler d1 // d2 // d3 doğruları için
Buradan de elde edilir

• [AB] // [DE] ise oluşan içters açıların eşitliğinden, ABC ~ EDC olur Buradan,
  eşitliği elde edilir Buna kelebek benzerliği de denir

7 Benzerlik Özellikleri
Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır

ABC ~ DEF ÛBurada k ya benzerlik oranı denir
a Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir b Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir c Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir d Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir e ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rABC ve çevrel çemberin yarıçapı RABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rDEF ve çevrel çemberin yarıçapı RDEF olsun
f Alanlar oranı
Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir

g Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir

• Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayılarla orantılı olarak artar

• [AB] // [EF] // [DC] benzerlik özelliklerinden,

|AB||FC|=|DC||BF|
8 Özel Teoremler
a Menelaüs
ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise
b Seva
ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için,