Pascal Ücgeni-Binom

Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım
Kümenin Eleman Sayısı:

s(A)=0 1
s(A)=1 11
s(A)=2 121
s(A)=3 1331
s(A)=41 4641
s(A)=51 5101051

Üçgenin tepesinde 1 yazdıkSonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldıkBir satırda ardışık iki sayının topl****** bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdıkBu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik
Örneğin; s(A)=4 14641
s(A)=515101051
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim
A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım
0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane

s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüzO halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,alt kümelerinin sayısını gösterir
Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim
*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır(s(A)=6‘nın
satırındaki üçüncü sayı)
*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
3 elemanlı10(s(A)=5’in satırında 4 sayı)
4 elemanlı5(s(A)=5’in satırında 5 sayı)
*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1YOL: (21+35+21+7+1)=120
2YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)

Binom Açılımı:
(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olura’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır


(a+b)5=?
Katsayılar 1 5 10 10 5 1
A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1
B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6

(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5


*(5x-3y)2=?
Katsayılar 1 2 1
5x’in kuvvetleri 25x2 5x 1
-3y’nin kuvvetleri 1 -3y 9y2
(5x-3y)2= 25x2 -25x3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2

Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir