Sayılar Kuramı, Tamsayıları ve Bunlara Ilişkin Kavramları Konu Alan Matematik Dalı.

SAYILAR KURAMI

Sayılar kuramı,tamsayıları ve bunlara ilişkin kavramları konu alan matematik dalı

Sayılar kuramı eski uygarlıklarda nümeroloji ile yakından ilişkiliydiÖrneğin Kitabı Mukaddes'te dünyanın altı günde yaratıldığından belirtilmesi ve 6 sayısının en küçkük yetkinsayı olması çok önemli bir rastlaşım olarakkabul edilmekteydi( yetkin sayı,kendisi dışındaki tamsayı çarpanlarının toplamına eşit olan sayıdırörn6= 1x2x3= 1+2+3)Rönesans boyunca astronominin astrolojiden,kimyanın simyadan ayrılmasına benzer bir süreç içinde,sayılar kuramının da nümeroloji ile ilişkisi ortadan kalktı

Modern sayılar kuramına ilişkin problemlerin çözümünde matematiğin hemen her dalına ilişkin bilgilerden yararlanılırbununla birlikte,sayılar kuramı,amatör matematikçilerin ve öğrencilerin ilgi duydukları konuların başında gelirBu olgu sayılar kuramında pek çok problemin kolay anlaşılabilir ve yalın bir biçimde ortaya konabilmesiyle açıklanabilirSayılar kuramında güzel bir problemin ortaya konması pek zor değildirama problemin çözümüne sıra gelince iş değişir"Bir yüzyılı aşkın süredir çözülememiş ve ilginçliğini koruyan bir matematik problemi varsa,bu problem sayılar kuramına ilişkindir"görüşü büyük ölçüde doğrudur

Sayılar kuramının en ünlü problemlerinden biriadını Fransız matematikçi Pierre de Fermat'dan (1601-65) alırFermat, biçimindeki Diophantos denklemini çözmeye çalışıyordu(Diophantos denklemi,yalnızca tamsayı çözümleri aranan bir cebirsel denklemdir)Bu denklemin



ile y pozitif tamsayılar olmak üzere hiçbir çözümü bulunamamıştırDiophantos denklemleri adını İskenderiyeli Diophantos'tan (İS y250) alırFermat Diophantos'un Arithmetika adlı kitabının kendindeki kopyasında sayfa kenarlarına notlar ve kimi teoremlerin kanıtlarını yazmıştıBunlar arasında denkleminin için pozitif tamsayılı hiçbir çözümü olamayacağının son derece güzel bir kanıtını bulduğunu ama bu kanıtın safyanın kenar boşluğuna sığmayacak kadar uzun olduğunu belirten bir nota rastlandıO dönemden günümüze değin geçen 300 yılı aşkın süre içinde hiçbir matematikçi bu kanıtı ortaya koymayı başaramadıGünümüzde bu problem Fermat'nın büyük teoremi olarak adlandırılır

Fermat'ın büyük teoremini kanıtlamaya yönelik çabalar,sayılar kuramının bir başka dalının,cebirsel sayılar kuramının gelişmesine büyük katkıda bulunduCebirsel sayılar,katsayıları tamsayı olan çokterimli denklemlerinin kökü olan sayılardırCebirsel sayılar bütün rasyonel sayıları ve bazı

sayısı da cebirseldirbu sayı da denkleminin köküdürCebirsel sayıların Fermat'ın büyük teoremi ile ilişkisi söyle


yazılabileceğinden aynı sayının cebirsel sayıların çarpımı biçimindeki bu iki ifadesinin karşılaştırılması yoluyal Fermat teoreminin kanıtına yönelik bilgiler elde edilmesi umulabilirGerçekten de n'nin birçok değeri içinb u yaklaşım sonuç vermiştirama bu yolla teoremin genel kanıtına ulaşmak olanaklı olmamıştır1977'ye değin Fermat teoremi n'nin 125000 'e kadarki bütün değerleri için doğrulanmış durumdaydı

Cebirsel olmayan sayılar aşkın (transandantal) sayı olarak adlandırılırAlman matematikçi Georg Cantor ,1874'te hemen hemen bütün sayıların bir anlamda aşkın sayı olarak kabul edilmesi gerektiğini göstermiştirVerilen birsayının aşkın olup olmadığını belirlemek matematiğin en zor problemleri arasında yer alırDoğal logaritma tabanı olan e sayısının aşkınsayı olduğu Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından 1873'te kanıtlandı sayısının aşkın olduğunu ise Ferdinand von Lindemann 1882'de belirlediLindamann,böylece ,Eski Yunanlılardan bu yana çözülememiş bir problemin yani alanı verilen bir dairenin alanına eşit bir karenin yalnızca cetvel ve pergel kullanılarak çizilmesi probleminin çözülmesinin olanaksız olduğunu kanıtlamış oluyordu

Sayılar kuramına giren problemlerin büyük bölümü asal sayılara ilişkindirAsal sayılar,kendisinden ve 1'den başka böleni olmayan 1'den büyük ve asal olmayan sayılar bileşik sayı olarak adlandırılırHer bileşik sayı,asal sayıların çarpımı biçiminde iade edilebilirve bu ifade tektir (örn1176= 2x2x2x3x7x7)Aritmetiğin temel teoremi olarak adlandırılan bu teoremi ilk kez Carl Friedrich Gauss,Disquisitiones Arithmeticae (1801;Aritmetik Tartışmaları) adlı yapıtında ortaya koydu

Kaynak;AnaBritannica cilt 27 sayfa 217 frmsinsinet için derlenmiştir

Asal sayıların sayısının sonsuz olduğuna ilişkin çok güzel birkanıtı Eukleides geliştirmiştirBu kanıt şöyle özetlenebilirAsal sayıların sayısınının sonlu olduğunu varsayalımve bütün asal sayıların çarpımını N ile gösterelimŞimdi,N+1 sayısını göz önüne alalımAsal sayıların her biri N'yi tam olarak böleceğinden N+1 sayısı bir asal sayıla bölündüğünde kalan olarak 1 verecektirBuradan N+1 sayısının hem asal olmadığı ,hem de asal sayıların çarpımına eşit olmadığı sonucu çıkarbu ise olanaksızdırÖyle ise asal sayıların sayısı sonlu olamaz; sonsuz sayıda asal sayı vardır

Bir asal sayılar çizelgesi dikkatle incelenirse,asal sayıların büyüdükçe giderek seyrekleştikleri gözlenirÖrneğin 100'den küçük 25 asal sayı vardırama 1000 ile 1100 arasında 16 tane,10000 ile 10100 arasında 11 tane,100000 ile 100100 arasında ise 6 tane asal sayı bulunurBu seyrekleşme tümüyle düzenli de değildir,örneğin 9500 ile 9600 arasında yalnızca 7 tane asal sayı vardır ama 99800 ile 99900 arasında 10 tane asal sayı bulunurAsal sayıların dağılımı ve bu dağılımındaki düzen ve düzensizliklerin incelenmesi sayılar kuramının en önemli konuları arasındadır

Ünlü "ikiz asallar" sanıtı (kanıtlanmış olmamasına karşın doğru olduğu sanılan teorem),aralarındaki fark 2 olan sonsuz sayıda asal sayı çiftinin var olduğunu ifade eder(örn11 ile 13,17 ile 19)Bu sanıtın kanıtlanmasına yönelik çabalar ancak kısmen başarılı olabilmiştirChen Jing-run,kendisinin 2 büyüğü ( p+2) asal sayı ya da iki asal sayısının çarpımı olan sonsuz sayıda asal sayı (p) olduğunu kanıtlamayı başarmıştır(1966)

Sayılar kuramının dalalrı arasında belirli genel niteliklere sahip tamsayı kümelerine ilişkin problemleri ele alan kombinatuvar sayılar kuramı ,hesaplama problemlerinin çözümü ve aritmetik işlemler için etkin algoritmalar bulunmasını konu edinen hesaplamalı sayılar kuramı ve olasılık kuramı kavramlarının sayılar kuramına uygulamalarını içerin olasılıklar sayılar kuramı da yer alır

Kaynak;AnaBritannica cilt 27 sayfa 217 frmsinsinet için derlenmiştir