Çokgen Çeşitleri Ve Çokgenlerin Özellikleri (Geometrik Cisimlerin Özellikleri)

Çokgen ve Çokgenlerin Özellikleri

(Geometrik Cisimlerin Özellikleri)

Çokgen, düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan n tane (n ³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren parçalarının oluşturduğu kapalı şekillerdir

1 İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir
2 Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere dış bükey çokgen denir

Çokgenlerin elemanları

A, B, C, D, E noktalarına çokgenin köşeleri denir Komşu ikiköşeyi birleştiren [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] doğruparçaları çokgenin kenarlarıdır
İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin iç açıları denir
İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin dış açıları denir
Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına köşegen adı verilir

İç bükey çokgenler

Köşegenlerinin bazıları çokgenin içinde, bazıları dışındaysa bu iç bükey çokgendir

Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

Köşegenlerinin tamamı çokgenin iç bölgesinde ise o çokgen dış bükey çokgendir

* İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplam

(n -2) 180°

* Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde

Dış açılar toplamı =360°

* Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin

köşegen sayısı=n(n-3)/2

* Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir

* n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek

(n – 2) adet üçgen elde edilebilir

Düzgün Çokgenler

Tüm kenarları ve tüm açıları eşit olan çokgenlere düzgün çokgenler denir

Düzgün Çokgenin Alanı

* n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı

Alan=nar/2 (r= içteğet çember merkezi ile iki köşenin oluşturduğu üçgenin yüksekliği)

* n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı(Bu açı aynı zamanda dış açıdır) α=360/n ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı

Alan=nR²sinα/2 Ör: Düzgün bir altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur Bir kenarına a dersek alanı hesaplama formülü şudur: Alan=6a²√3/4 a İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir

b Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir

2 Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

a İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplamı (n - 2) 180° Üçgen için (3 – 2) 180° = 180° Dörtgen için (4 – 2) 180° = 360° Beşgen için (5 – 2) 180° = 540° b Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde, Dış açılar toplamı =360° c Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir · n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek (n – 2) adet üçgen elde edilebilir

Çokgen, düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan n tane (n ³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren parçalarının oluşturduğu kapalı şekillerdir

1 İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir
2 Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere dış bükey çokgen denir

Çokgenlerin elemanları

A, B, C, D, E noktalarına çokgenin köşeleri denir Komşu ikiköşeyi birleştiren [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] doğruparçaları çokgenin kenarlarıdır
İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin iç açıları denir
İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin dış açıları denir
Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına köşegen adı verilir
İç bükey çokgenler

Köşegenlerinin bazıları çokgenin içinde, bazıları dışındaysa bu iç bükey çokgendir
Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

Köşegenlerinin tamamı çokgenin iç bölgesinde ise o çokgen dış bükey çokgendir

* İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplam

(n -2) 180°

* Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde

Dış açılar toplamı =360°

* Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin

köşegen sayısı=n(n-3)/2

* Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir

* n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek

(n – 2) adet üçgen elde edilebilir
Düzgün Çokgenler

Tüm kenarları ve tüm açıları eşit olan çokgenlere düzgün çokgenler denir
Düzgün Çokgenin Alanı

* n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı

Alan=nar/2 (r= içteğet çember merkezi ile iki köşenin oluşturduğu üçgenin yüksekliği)

* n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı(Bu açı aynı zamanda dış açıdır) α=360/n ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı

Alan=nR²sinα/2 Ör: Düzgün bir altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur Bir kenarına a dersek alanı hesaplama formülü şudur: Alan=6a²√3/4 a İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir

b Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir

2 Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri a İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplamı (n - 2) 180° Üçgen için (3 – 2) 180° = 180° Dörtgen için (4 – 2) 180° = 360° Beşgen için (5 – 2) 180° = 540° b Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde, Dış açılar toplamı =360° c Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir · n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek (n – 2) adet üçgen elde edilebilir

Beşgen

Bir beşgen, beş kenarı olan çokgendir İç açıları toplamı 540°, dış açıların toplamı ise 360°'dir
Düzgün beşgenler

Düzgün beşgenler, her bir kenar uzunluğu birbirine eşit olan beşgenlerdir Bu tür beşgenlerin çevresini bulabilmek için, kenar uzunluklarından birinin bilinmesi yeterlidir Alan hesabında ise aşağıdaki formül kullanılır;

Altıgen

Bir altıgen, altı kenarı ve altı köşesi olan çokgendir Ayrıca kenarları ve iç açıları eşitse düzgün altıgen olarak adlandırılır Düzgün altıgenin iç açılarının her biri 120°'dir Düzgün altıgen altı eşkenar üçgenden oluştuğu için alanı ve çevresi kolayca bulunabilir Kenarı aa olan bir eşkenar üçgenin alanının 6 katına eşittir İç açıları toplamı (n-2) 180'dir Dolayısıyla her bir iç açısının ölçüsü 60 derecedir uzunlukta olan düzgün bir altıgenin alanı, bir kenarı
Altıgen tabanlı prizmanın hacmi ise her prizmatik cismin olduğu gibi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşttir Düzgün altıgen prizmanın bir kenarı a ve yüksekliği h ise;
Taban Alanı = ve Hacim = olacaktır

Yedigen

Bir yedigen, yedi kenarı olan çokgendir 7'nin bir asal sayı olması nedeniyle, yedigenlerin de her köşesinden bir köşegen geçmemektedir
Yedigen'in alanı

Düzgün bir yedigenin alanı aşağıdaki formülle bulunur

Sekizgen
Bir sekizgen, sekiz kenarı olan çokgendir İç açıları toplamı: 6180=1080 derecedir 1080:8=135 derece olur

Dokuzgen
Bir dokuzgen, dokuz kenarı olan çokgendir Bir düzgün dokuzgende bir iç açı 140 derecedir

Ongen
Bir ongen, on açısı ve on kenarı olan çokgendir Ongenin İç Açıları Toplamı 1440'dır Düzgün Ongenin Bir İç Açısı 144'tür Ongenin dış açıları toplamı ise 360'tır
Çemberde Ongen Çizimi

1) Öncelikle 4 Cm Yarıçaplı Bir Çember Çiziyoruz

2) Daha Sonra Dik Kesişen Bir Çap Daha Çiziyoruz
3) Ardından Yarıçapın Ortasındaki Noktayı Bulup Adlandırıyoruz (Örneğin: A)
4) Ardından Yarıçapın Ortasındaki Noktaya Pergelimizin Ucunu Batırıp Dik Kesiştirdiimiz Diğer Çapın Üstteki Noktası Kadar Açıyoruz Ve Alttaki Çapa Kadar Bir Yay Çiziyoruz
5) Çizdiğimiz Yayın Çap İle Birleştiği Noktadan Merkeze Kadar Olan Bölge Ongenin Bir Kenar Uzunluğudur
6) Bulduğumuz Kenar Uzunluğu Kadar Pergelimizi Açıp Sağdaki Noktadan Yayları Çizmeye Başlıyoruz(Pergel Kesinlikle Açılmayacak, Kapanmayacak, Aynı Kalacak Şekilde)
7) Çizdiğimiz Yayların Noktalarını Cetvel İle Birleştirip Ongen Elde Ediyoruz