Hasse-Arf Teoremi Nedir?

Hasse-Arf Teoremi Nedir?

Cahit Arf, doktorasını yapmak için gittiği Almanya'da, matematikçi Helmut Hasse ile birlikte önemli çalışmalar yapmıştır Bu çalışmalar sonunda, matematikte Hasse-Arf Kuramı'nı geliştirmiştir

Arf, matematik dünyasından “Hasse-Arf teoremi”yle tanındı Sentetik geometri problemlerini cetvel ve pergeie çözülebilir olup olmadıklarına göre sınıflandırmayı tasarlayan Arf, yalnızca ikinci dereceden cebirsel denklemlere indirgenebilen problemlerin cetvel yardımıyla çözülebileceğini saptadı Hasse’nin önerisi üzerine yaptığı çalışma sonucunda saptadığı değişmezlerin “Arf değişmezi” olarak terimleşmesi, matematik dünyasındaki ününü pekiştirdi

Bugün "lokal" bir cisim ile, rank 1 ve diskret (yani kabaca Z-değerli) bir valuasiyona göre tam olan bir cisim anlıyoruz p-adik sayı-cismi Qp, bunun tipik bir örneğidir Lokal cisimler teorisi, daha önce de belirtildiği gibi, H Hasse tarafından çok efektif olarak kullanılmaya başlanmıştı Ancak, o zamanki lokal cisimler teorisi, daha ziyade sayı-cisimleri ve (sonlu katsayılı) cebrik fonksiyon-cisimleri üzerine uygulanmak maksadıyla geliştirildiği için, daima kalan sınıf cisminin sonlu bir cisim olduğu kabul edilerek kurulmuş idi Dolayısıyla, bu oldukça sınırlı şartın yerine daha genel bir şart altında bu teorinin kurulması çok arzu edilen bir husus idi Herhalde onun içindir, Cahit Bey'in tingen'de Hasse ile yaptığı ilk görüşmede, Hasse ona hemen bu problemi doktora konusu olarak tavsiye etmiştir Cahit Bey bu görüşmeden bir yıl sonra, doktora tezini bitirinceye kadar, kendisi bir daha hiç Hasse ile görüşmemiş "Untersuchungen Über Reinverzweigte Erweiterungen Diskret bewerteter Perfekter Körper" adlı Cahit Bey'in tezinde, kalan sınıf cisminin sonlu olması şartı yerine daha çok genel bir şart altında lokal cisimler teorisi kurulmuştur Bugün bu teori üzerine yazılan kitapların içeriği (örneğin J-P Serre: Corps locaux (Hermann) kitabına bakınız) Cahit Bey'in tezinde şekillenmiştir diyebiliriz Özelikle, bu tez içinde yer alan ve daha önce J Herbrand tarafından incelenmiş olan yüksek mertebeden dallanma gruplarının indisleri ile ilgili Hasse Arf teoremi çok meşhurdur Bu teorem, yukarıda belirtilen indisler arasında (dallanma gruplarının zinciri içinde) sıçramalara tekabül edenlerin tam sayılar olduğunu ifade etmekte olup, Arf'ın temsillerinin varlığının ispat için de kilit nokta teşkil ettiğinden ün kazanmıştır

Böylece Cahit Bey, bir yıl gibi kısa bir zaman içinde mükemmel bir doktora tezi hazırlayarak, kendisinin olağan üstü kabiliyetini kanıtlamış oluyordu