Faktöriyel İşlemi

TurkeyArena

Faktöriyel, 1' den n' ye kadar olan doğal sayıların çarpımıdır n, bir doğal sayı olmak üzere, n faktöriyel
n! = 123456 (n-2)(n-1)n
veya
n! = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) 54321
şeklinde tanımlanır
0! ile 1! ' in 1 olduğu varsayılacaktır Yani,
0! = 1 ve 1! = 1 dir
1' den büyük doğal sayıların faktöriyelleri ise şöyle hesaplanacaktır:
• 2! = 21 = 2
• 3! = 321 = 32! = 32 = 6
• 4! = 4321 = 43! = 432! = 432 = 24
• 5! = 54321 = 54! = 543! = 546 = 206 = 120
• 6! = 654321 = 65! = 6120 = 720
• 7! = 7654321 = 76! = 7720 = 5040
• n! = n(n-1)(n-2)(n-3) 321 = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)!
• (2n)! = 2n(2n-1)(2n-2) 321 = 2n(2n-1)! = 2n(2n-1)(2n-2)!
• (3n)! = 3n(3n-1)(3n-2) 321 = 3n(3n-1)! = 3n(3n-1)(3n-2)!
• (n+1)! = (n+1)n(n-1) 321 = (n+1)n! = (n+1)n(n-1)!
• (n-1)! = (n-1)(n-2)(n-3) 321 = (n-1),(n-2)! = (n-1)(n-2)(n-3)!
Faktöriyelin Bazı Özellikleri:
1 n >= 2 olmak üzere, n! çift doğal sayıdır
2 n >= 5 olmak üzere, n! sayısının son rakamı 0' dır Yani, n! sayısının sonunda genelde 5 asal çarpanlarının sayısı kadar 0 rakamı bulunur
3 n! - 1 sayısının sonundaki 9 rakamlarının sayısı, n! sayısının sonundaki sıfır rakamlarının sayısı kadardır
4 x, y, n bir sayma sayısı olmak üzere, a bir asal sayı ise,
y! = anx
koşulunu sağlayan en büyük n değerini bulmak için
• y sayısı, a asal sayısına bölünür
• Ardışık bölme işlemine, bölme sıfır oluncaya kadar devam edilir ve bölümler toplanır
5 x, y, n bir sayma sayısı olmak üzere, a bir asal sayı değilse,
y! = anx
koşulunu sağlayan en büyük n değerini bulmak için
• Bu sayı asal çarpanlarına ayrılarak her asal sayı için aynı işlem yapılır
• Bulunan asal sayıların kuvvetleri uygun biçimde düzenlenir
ÖRNEKLER:
Örnek 1: 6! + 5! işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: 6! + 5! = 65! + 5! = (6+1)5! = 75! = 7120 = 840

Örnek 2: 37! sayısının sondan kaç tane basamağı sıfırdır?
Çözüm: 37! sayısının içinde bulunan 5 asal çarpanlarının sayısını bulmalıyız Bu işlemi iki farklı yolla yapabiliriz

Örnek 3: 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + + 40! toplamının 20 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
20 = 5 4 tür Dolayısıyla, 4 ve 5 çarpanını bulunduran her sayı 20 ile tam bölünür Yani, 5! ve 5! den büyük sayıların toplamı 20 ile tam olarak bölünür Bu takdirde, 0! + 1! + 2! + 3! + 4! toplamının 20 ile bölümünden kalanı bulursak, istenen toplamın 20 ile bölümünden kalanı bulmuş oluruz Buna göre,
0! + 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1 + 21 + 321 + 4321 = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34
34 ün 20 ye bölümünden kalan, 14 tür O halde, 0! + 1! + 2! + 3! + + 40! toplamının 20 ile bölümünden kalan 14 tür
Örnek 4: 45! + 60! toplamının sonunda kaç tane sıfır vardır?
Çözüm:
Küçük sayının sonunda kaç tane sıfır varsa, toplamın sonunda da o kadar sıfır olacağından,
45 in 5 e bölünmesiyle, 45 = 5 9 + 0 ve 45 in 25 e bölünmesiyle 45 = 25 1 + 20 elde edilir Dolayısıyla, 45! + 60! toplamının sonundaki sıfırların sayısı, bölümlerin toplamı olduğundan, 1 + 9 = 10 bulunur
İkinci yol olarak, 45 = 5 9 + 0, 9 = 5 1 + 4 olduğundan, sıfırların sayısı yine
1 + 9 = 10 olur
Örnek 5: 48! - 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?
Çözüm:
48! in sonunda ne kadar sıfır varsa, o kadar 9 rakamı vardır Dolayısıyla,
48 = 5 9 + 3, 9 = 5 1 + 4 olduğundan, 9 + 1 = 10 tane 9 rakamı vardır
Örnek 6: x ve n sayma sayıları olmak üzere, 35! = 3nx ise, n nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
n nin alabileceği en büyük değeri bulmak için 35! in içindeki 3 asal çarpanlaının sayısını bulmamız gerekir Bu işlemi yaparsak, Ardışık bölme işlemleri sonucunda bölümler şöyle bulunur:
35 = 3 11 + 2, 11 = 3 3 + 2, 3 = 3 1 + 0
Dolayısıyla, n nin alabileceği en büyük değer, 11 + 3 + 1 = 15 olur
Örnek 15: n bir doğal sayı olmak üzere,
83! / 14n
işleminin sonucunun doğal sayı olması için, n' nin en büyük değeri kaç olmalıdır?
Çözüm:
14 = 2 7 olduğu için, 83! in içerisinde kaç tane 7 çarpanı varsa, n' nin en büyük değeri odur Dolayısıyla,
83 = 711 + 6, 11 = 71 + 4 olduğundan, n' nin alabileceği en büyük değer
11 + 1 = 12 olur
Örnek 7: m ve n ardışık çift doğal sayılardır m > n olmak üzere,

ise, n kaçtır?
Çözüm: m > n koşuluna göre, n = 2k ve m = 2k + 2 olsun

Örnek 8: 1! + 2! + 3! + + 843! toplamı hesaplandığında birler basamağındaki rakam kaç olur?
Çözüm:
Her terimi tek tek hesaplayalım
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720,
5! ve 5! den büyük sayıların birler basamağı 0 olacağından, bunları göz önüne almaya gerek yoktur Bu nedenle, 5! den önceki sayıların toplamını alıp 10' a bölmeliyiz Bu durumda, kalan birler basamağını verecektir
1 + 2 + 6 + 24 = 33 olur ve Kalan 33 = 103 +3 bulunur
Dolayısıyla, birler basamağı 3 tür
Örnek 9: 8! + 9! + 10! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?
a) 750 b) 625 c) 250 d) 125 e) 10
Çözüm:
8! + 9! + 10! = 8! (1 + 9 + 109) = 8! 100 =8! 102 = 8! (25)2 = 8! 22 52
8! de 1 tane 5 olduğundan, tüm toplamda 3 tane 5 bulunmaktadır Dolayısıyla, 625 = 54 olduğundan, toplam 625 ile bölünemez