Kombinasyon Konu Anlatımı

Kombinasyon Konu Anlatımı
KOMBİNASYON (GRUPLAMA)
olmak koşuluyla, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir
n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı, K(n, r), Crn ya da ile gösterilir
n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı:


Kural





Kural
n Î N olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin;
0 elemanlı alt kümelerinin sayısı :
1 elemanlı alt kümelerinin sayısı :
2 elemanlı alt kümelerinin sayısı:

n elemanlı alt kümelerinin sayısı:
olduğundan tüm alt kümelerinin sayısı:




ÖRNEKLER
1 Burcu Gizem ve Ecem’ den oluşan 3 kişilik bir gruptan;
a) Biri başkan, diğeri başkan yardımcısı olmak üzere, 2 kişi kaç türlü seçilebilir?
b) Bir yarışmaya gönderilmek üzere, 2 kişi kaç türlü seçilebilir?

Çözüm:
a) A= {Burcu, Gizem, Ecem} kümesinden; birincisi başkan, ikincisi başkan yardımcısı olmak üzere ikililer seçelim Bu ikililer, A kümesinin ikili permütasyonlarıdır

A kümesinin ikili permütasyonları
(sıralı ikililer)

(Burcu, Gizem) (Gizem,Ecem)
(Burcu, Ecem) (Ecem, Burcu)
(Gizem, Burcu) (Ecem, Gizem)

Bu sıralı ikililerin sayısı 6’dır Bunu, P(3, 2) = 6 biçiminde yazarız Burada ayrıca, (Burcu, Gizem) ve (Gizem, Burcu) ikililerin farklı permütasyonlar olduğu açıktır
Permütasyonda sıra önemlidir

b) A={Burcu,Gizem,Ecem}kümesinden,bir yarışmaya gönderilmek üzere seçilecek 2 kişilik kümeler oluşturalımBu kümeler, A kümesinin 2 elemanlı alt kümeleridir

A kümesinin ikili alt kümeleri
(kombinasyonlar)

{Burcu, Gizem}
{Burcu, Ecem}
{Gizem, Ecem}
A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin (kombinasyonlarının) sayısı 3 tür Bunu C(3,2) = 3 biçiminde yazarız Ayrıca, {Burcu, Gizem} ve {Gizem, Burcu}kümelerinin aynı olduğu açıktır
Kombinasyonda sıra önemli değildir

2 A= {a,b,c} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerini ve 2 li permütasyonlarını yazalım

Çözüm:
2 li alt kümeleri 2 li permütasyonları
(kombinasyonları) (sıralı ikililer)

{a,b} (a,b) (b,a)
{a,c} (a,c) (c,a)
{b,c} (b,c) (c,b)

Yukarıda gördüğünüz gibi, 3 elemanlı kümenin 2 li alt kümelerinin sayısı,
C(3,2)=3 ve 2 li permütasyonların sayısı p(3,2)=6 dır

Bunu, 2 ! C(3,2) = P(3,2) biçiminde ifade ederiz


Teorem: r n olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı,
C(n,r)= = dir

İSPAT: n elemanlı bir kümenin, r elemanlı alt kümelerinin sayısı C(n,r) dir Bu alt kümelerin her birindeki elemanların tüm sıralanışlarının (permütasyonlarının) sayısı da r! olduğundan r! C(n,r)= P(n,r) yazabiliriz Buradan,

C(n,r)= = = bulunur

ÖRNEKLER:
1 A={1,2,3,4,5} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin (3 lü kombinasyonlarının) sayısını bulalım

Çözüm: A kümesinin 5 elemanlı olduğundan, 5 in 3 lü kombinasyonunu bulacağız
1 YOL: C(5,3) bulunur
2 YOL: C(5,3) bulunur


2 10 kişilik bir sporcu grubundan, 5 kişilik bir basketbol takımı kaç farklı biçimde oluşturulabilir

Çözüm: 10 kişilik gruptan 5 kişi seçerken sıra önemli değildir Örneğin, bu takımın {Ali, Can, Seçkin, Suat, Okan} veya {Can, Seçkin, Okan, Ali, Suat} olması farklı seçim olmaz Bu nedenle seçimi kombinasyonla yaparız O halde, oluşturulacak 5 kişilik grupların sayısı,forumsinsinet
C(10,5) olur

3 2C(n,2)=c(2n,1) ise n kaçtır?

Çözüm: 2C(n,2)=C(2n,1)


2
n(n-1)=2n n -3n=0 n=0 v n=3 bulunur n=0 olmayacağından n=3 tür

4 Herhangi 3 tanesi doğrusal olmayan 6 noktadan kaç doğru geçer

Çözüm: 6 noktadan seçilecek olan herhangi iki noktanın sırası önemli değildir (Bu noktalardan herhangi ikisi A,B ise {A,B} ile {B,A} seçimleri aynı doğruyu gösterir) O halde, oluşacak doğru sayısını, kombinasyonla buluruz Bu durumda, 6 noktadan,

doğru geçer

5 3 erkek ve 2 bayandan oluşacak bir grup, 6 erkek ve 4 bayan arasından kaç türlü seçilebilir?

Çözüm: 6 erkek arasından 3 erkeği C(6,3); 4 bayan arsından 2 bayanı da C(4,2) kadar farklı şekilde seçebiliriz

Genel çarpma kuralına göre bu seçimi;

türlü yapabiliriz

6 n kenarlı konveks bir çokgenin köşegen sayısının olduğunu gösterelim
Çözüm: n kenarlı bir çokgende n tane köşesi vardır İki noktadan bir doğru geçtiğinden, köşegen sayısını bulmak için, n’in 2 li kombinasyonlarının sayısını bulmalıyız Ancak, komşu olan iki köşeden köşegen geçemeyeceğinden (bunlar, çokgenin kenarlarıdır), C (n,2) den, kenar sayısı olan n çıkarılır O halde, n kenarlı çokgenin köşegen sayısı;
bulunur


Kombinasyonla ilgili bazı özellikler:

1
2
3
4
Bu eşitliklerin ispatını, C(n,r) formülünden yararlanarak yapınız



ÖRNEKLER:

1 C(5,0)+C(4,1)+C(3,3)-C(7,6) işlemini yapalım

Çözüm: C(5,0)=1 , C(4,1)=4 , C(3,3)=1 ve (7,6)=7 oldugundan
C(5,0) + C(4,1) + C(3,3) – C(7,6) = 1 + 4 + 1 – 7 = -1 bulunur

2 toplamını üstteki 4 özelliği kullanarak bulalım

Çözüm: olur

bulunur

3 5 farklı matematik ve 4 farklı Türkçe kitabından; 3 matematik ve 2 Türkçe kitabını, bir kitaplığın rafına kaç türlü yerleştirebiliriz?

Çözüm: 5 farklı matematik kitabı arasından; 3 matematik kitabı C(5,3) kadar farklı şekilde seçilebilir 4 farklı Türkçe kitabından; 2 Türkçe kitabı da C(4,2) kadar farklı şekilde seçilebilir Seçilen bu kitaplar,
C(
5,3) C(4,2) 5! = 10 6 120 = 7200 farklı sıralanabilir