Özdeşlikler Ve Çarpanlara Ayırma...

ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA ( I )



Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin

de yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir

Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar

Asal polinomlar denir



* P(x) = x2 + 4 , Q(x) = 3x2 + 1, R(x) = 2x – 3 , T(x) = - x + 7

Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır


P(x) = x2 + 4 baş katsayısı 1 olduğundan asal polinom dur



Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru

olan eşitliklere özdeşlik denir


* a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4 b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik

c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik değildir



ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER




I) Tam Kare Özdeşliği:

a) İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) İki Terim farkının Karesi : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2


İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin

karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır


c) Üç Terim Toplamının Karesi:

(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir




II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :


a) İki Terim Toplamının Küpü : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

b) İki Terim Farkının Küpü : (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3


Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikin

cinin küpü biçimindedir Bu açılımlara Binom Açılımıda denir


Not: Paskal Üçgeni kullanılarak 4,5,6,Dereceden iki terimli

lerin özdeşliklerini de yazabiliriz




III) İki Kare Farkı Özdeşliği: (a + b) (a – b) = a2 – b2


İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile

ikincinin karesinin farkına eşittir




IV) xn + yn veya xn - yn biçimindeki polinomların Özdeşliği :


i) İki küp Toplam veya Farkı : a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)


ii) a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)

a4 – b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)


iii) a5 + b5 = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)

a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)


iv) a6 + b6 = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)

a6 – b6 = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)


v) a7 + b7 = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)

a7 – b7 = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)




Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz


1) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy


2) x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy


3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy