Fen Edebiyat Fak.Ders Notları-Bir Topolojistin Alfabeye Bakışı

BİR TOPOLOJİSTİN ALFABEYE BAKIŞI


Topolojinin temel problemi: homeomorfizma adlı yazıda da bahsettiğimiz üzere homeomorfizma elimize alacağımız bir oyun hamurunu koparmadan ya da yeni hamur parçaları eklemeden sadece eğip bükerek çekip uzatarak yeni şekil almasını sağladığımız bir çalışmadır Matematiksel olarak iki uzay arasındaki sürekli bijektif (1-1 ve örten) ve tersi de sürekli olan fonksiyon ile tanımlandığını yine aynı yazıda belirtmiştik Bazen iki uzayın homeomorf olduğunu araştırırken homeomorfizmayı tanımlamak zor olabilir Bu yüzden homeomorfizmadan daha zayıf bir bağıntı olan homotopi bağıntısı tanımlanmıştır Homotopi iki sürekli fonksiyondan birinden diğerine sürekli bir dönüşüm ile geçmeyi sağlar Ve oluşturulan homotopi grupları ile şu teoreme ulaşılır:


İki uzay homeomorf ise homotopi grupları izomorftur


Bu teoremin dengi olan “homotopi grupları izomorf değil ise iki uzay homeomorf değildir” önermesini düşünecek olursak homotopi grupları yardımı ile iki uzayın homeomorf olmadığını kolayca belirleyebiliriz


Homotopinin işleyişine bir örnek vermek istersek R' deki sabit fonksiyon ile birim fonksiyonu alabiliriz İki fonksiyonun da sürekli olduğunu analiz derslerimizden biliyoruz Bu iki sürekli fonksiyonun grafiklerini birbirine; yırtmadan nokta koparmadan dönüştürmek için aralarında sürekli bir dönüşüm tanımlamalıyız R konveks olduğundan aradaki bu dönüşümü

H(xt)=(1-t)1(x)+tc(x) şeklindeki sürekli bir fonksiyonla tanımlayabiliriz (Burada 1(x) birim ve c(x) sabit fonksiyondur)


Burada I uzayı 1(x) fonksiyonumuzun anında nerede olduğunu belirlemek için alınmaktadır Ve birim fonksiyondan başlayarak (t=0 anı başlangıç anı) sabit fonksiyonda bozunmaya son verdiğimize göre (t=1 anı bitiş anı) H dönüşümü;


H(x0)=1(x) ve H(1x)=c(x) şartlarını sağlamalıdır - ki gerçekten bu yukarıdaki gibi tanımlanan H fonksiyonu için sağlanmaktadır


(Buradaki H fonksiyonuna homotopi fonksiyonu denir Birim ve sabit fonksiyona da birbirine homotoptur denir)

Artık H dönüşümü ile birim fonksiyonumuzu sürekli bir bozunma ile sabit bir noktaya dönüştürmüş (büzmüş) olduk


Homotopi ile homeomorfizma arasındaki bağlantıyı geometrik olarak bize en iyi alfabenin harfleri anlatacaktır Buna göre aşağıdaki iki şekilden birincisi birbirine homeomorf olan harfleri ikincisi ise birbirine homotop olan harfleri vermektedir