Kümeler

KÜMELER

1) {AFYONKARAHİSAR} kelimesindeki harflerden oluşan kümenin eleman sayısı kaçtır?
Cevap=9

2) A={çalışmak} kümesi kaç elemanlıdır?
Cevap=1
4) Matematik ve sosyal derslerinden başarılı olan bir sınıftaki 42 öğrenciden 21i matematik dersinden 25i de Türkçe dersinden başarılı olmuştur Buna göre her iki dersten başarılı olan kaç kişi vardır?
Cevap=4
5) {anafen}sözcüğündeki harflerden oluşan kümenin eleman sayısı kaçtır?
Cevap=4
6) Kümeler kaç çeşit şekilde gösterilebilir ve bunlar nelerdir?
Cevap=Üç çeşittir ve Liste, Ortak özellik, Venn şeması yöntemleridir 7) A={masa, tahta, kitap}
B={güven, dershane, kazanmak} Bu kümelerin birbirine durumu nedir?
Cevap=A ile B kümeleri denktir
A={matematik} kelimesindeki harflerden oluşan kümenin eleman sayısı kaçtır?
Cevap= 6
9) K={analitik} ve L={Anadolu} kümeleri ile ilgili aşağıdakilerden kaç tanesi yanlıştır?
A K eşittir L
B K altkümesi B
C L altkümesi K
D K denktir L
Cevap=
10)AFYONKARAHİSARLILAŞTIRAMADIKLARIMIZDANMISINIZ kelimesinin harfleri ile kaç elemanlı bir küme oluşturulur?
Cevap=17 11) Aşağıdakilerden kaç tanesi küme belirtir?
A) Turuncu renkli insanlar
B) U ile başlayan günler
C) Sınıfımızdaki zeki öğrenciler
D) Sınıfımızdaki kıvırcık saçlı öğrenciler
E) H ile başlayan günler
Cevap=4
12) A={a,b,c,{a,b},d,e,{d,e}} kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Cevap=
3 soruyu buna göre cevaplayınız: Sınıf mevcudumuz 41 kişidir Müzikte 27,sporda 19 öğrenci görev almıştır Müzikte ve sporda görev almayan öğrenci olmadığına göre;
13)Hem müzikte hem de sporda görev alan öğrenci sayısı kaçtır?
Cevap=5
14)Yalnız sporda kaç öğrenci vardır?
Cevap=14
15)Yalnız müzikte kaç öğrenci vardır?
Cevap=22
16)24 kişilik bir sınıfta herkes İngilizce, Almanca, Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir İngilizce bilenlerin hepsi Fransızca, Fransızca bilenlerin hepsi Almanca bilmektedir Sadece Almanca bilenlerin sayısı, Fransızca bilip İngilizce bilmeyenlerin sayısına eşittir Üç dili de bilenlerin sayısı 10 olduğuna göre,İngilizce veya Almanca bilenlerin sayısı 22 dır
Buna göre İlk üç soruyu cevaplayınız
17)İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır?
Cevap=10
18)Almanca bilenlarin sayısı kaçtır?
Cvap=7
19)Fransızca bilenlerin sayısı kaçtır?
Cevap=17
Bir sınıfta İngilizce veya Fransızca dillerinden en az birini bilen 40 öğrenci vardır İngilizce bilenlerin sayısı 26, Fransızca bilenlerin sayısı 20 dırİlk üç soruyu buna göre cevaplayınız
20)İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır?
Cevap=20
21)Fransızca bilenlerin sayısı kaçtır?
Cevap=14
22)Fransızca ve İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır?
Cevap=6

Kümeler
Küme Kavramı
Küme Gösterimi
Sonlu ve Sonsuz Kümeler
Alt Küme ve Özellikleri
Kuvvet Kümesi
Kümelerde İşlemler
Dağılma Özelliği
Evrensel Küme
Tümleme ve Özellikler
Fark Kümesi ve Özellikleri
Açık Önermeler
Varlıksal ve Evrensel Niceleyiciler
En az ve Her ile Yapılan Önermelerin Olumsuzu
Konu ile İlgili Çözümlü Test
http://rapidsharecom/files/92193286/kumelerzip

KÜMELER

A TANIM
• Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir
• Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir
• Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir a elemanı A kümesine ait ise, a Î A biçiminde yazılır “ a, A kümesinin elemanıdır” diye okunur b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır “ b, A kümesinin elemanı değildir” diye okunur
• Kümede, aynı eleman bir kez yazılır
• Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez
• A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir

B KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir

1 Liste Yöntemi
Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır
A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür

2 Ortak Özelik Yöntemi
Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir
A = {x : (x in özelliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir

3 Venn Şeması Yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir

C EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir
A kümesi B kümesine eşit ise A = B,
C kümesi D kümesine denk ise C º D
biçiminde gösterilir

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir Fakat denk kümeler eşit olmayabilir

D BOŞ KÜME
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir
Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir

{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir

E ALT KÜME - ÖZALT KÜME
1 Alt Küme
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir B É A biçiminde gösterilir
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir

2 Özalt Küme
Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir

3 Alt Kümenin Özelikleri
I) Her küme kendisinin alt kümesidir
A Ì A
II) Boş küme her kümenin alt kümesidir

Æ Ì A

III) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir
IV) (A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir
V) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir
VI) n elemanlı bir kümenin r tane elemanlı (n ³ r) alt kümelerinin sayısı



F KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
1 Kümelerin Birleşimi
A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir
A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir

2 Birleşim İşleminin Özelikleri
I) A È Æ = A
II) A È A = A
III) A È B = B È A
IV) A È (B È C) = (A È B) È C
V) A Ì B ise, A È B = B
VI) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir

3 Kümelerin Kesişimi
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir
A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir



4 Kesişim İşleminin Özelikleri
I) A Ç Æ = Æ
II) A Ç A = A
III) A Ç B = B Ç A
IV) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
V) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
VI) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

G EVRENSEL KÜME
Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir Evrensel küme genellikle E ile gösterilir



H BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ
Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve ya da Aı ile gösterilir
= {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir

Tümleyenin Özelikleri


I KUVVET KÜMESİ
Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir
s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir

J İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir
A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir


Farkla İlgili Özelikler
A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,


K ELEMAN SAYISI
A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
I) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)
II) s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C) – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)
III) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)
IV) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:
s(T È V) = a + b + c dir
Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:
s(T – V) + s(V – T) = a + c dir
Sadece tenis oynayanların sayısı:

s(T – V) = a dır

Tenis oynamayanların sayısı:

dir

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c dir

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

dir

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:

dir

konu aynı olduğu için mesajlar birleştirilmiştir