Aritmetik Ve Geometrik Diziler, Seriler Matematik Dersi İçerik Konu Ders

ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER

1 Aritmetik Dizi

A TANIM

Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir Diğer bir ifadeyle  n  N+ için, an+1 – an = d olacak şekilde bir d  R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark denir

ÖRNEK

(an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz Ortak farkını bulunuz

an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir

B GENEL TERİM

Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir

5

a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 3d



an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir

Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir

ÖRNEK

İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d

an = 8 + (n – 1) 2

an = 2n + 6’dır

C ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap – ak dir

p - k

ÖRNEK

39 terimi 19 ve 45 terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39)

d = (22 – 19)/6

d = ½’ dir

a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı :

d = b – a dır

n + 1

ÖRNEK

- 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4

Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,

Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da

2

Sn = n (a1 + an) olur

2

Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir Diğer bir ifadeyle k<p iken,

ap = ap – k +ap + k dır

2

ÖRNEK

19 terimi 42 ve 33 terimi 88 olan aritmetik dizinin 26 terimi kaçtır?

a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için,

a26 = (a19+a33)/2

a26 = (42+88)/2

a26 = 65’tir

GEOMETRİK DİZİ

A TANIM

Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir Diğer bir ifadeyle

 n  N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r  R varsa (an) dizisine geometrik dizi, r sayısına ortak

an

çarpan veya ortak oran denir

ÖRNEK

(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz Dizinin ortak çarpanını bulunuz

(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir

B GENEL TERİM

Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun Bu durumda,

a1 = a1

a2 = ra1

a3 = ra2 = r2a1

a4 = ra3 = r3a1

Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1a1 veya an = rn – pap dir

ÖRNEK

İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1 a1

an = (1/2)n – 1 4

an = 23 - n

C GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp – k = ap eşitliğinde bulunur

ak

ÖRNEK

2 terimi 3/5 ve 5 terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir?

a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 – 2 = a5/a2

r3 = 75/3/5

r3 = 125

r = 5 tir

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse Sn = a11 – rn olur

1 – r

ÖRNEK

İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3 terimi nedir?

a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 (1 – r3)/(1 – r)

Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir Diğer bir ifadeyle k < p iken, ap = dır

ÖRNEK

3 terimi 3 ve 5 terimi 6 olan geometrik dizinin 7 terimi nedir?

a3 = ve a5 = (a3 a7)1/2 6 = (3 a7)1/2 36 = 3 a7 a7 = 12’dir

SONUÇ:

Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidirKaynakwh: ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER

ÖRNEK:

Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n terimi y’dir Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y’ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn – 1 y = x6n – 1 6n = 6y/x (*)

Sn = a1(1 – rn)/(1 – r) = x (1 – 6n)/(1 – 6) = x (1 – 6y/x)/(-5) = (6y – x)/5 dir

SERİLER

A TANIM

• (an) reel terimli bir dizi olsun

= a1+a2+a3+ +an + sonsuz toplamına seri denirKaynakwh: ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER

• an’e serinin genel terimi denir

• Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+ +an toplamına serinin n kısmi toplamı denir

• (Sn) = (S1,,S2,,S3,,Sn,) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir

• a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn’ dir

b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır

• serisi yakınsak ise lim an = 0’dır Bu ifadenin tersi doğru değildirYani, lim an = 0 iken serisi yakınsak olmayabilir

• lim an ise serisi ıraksaktır

ÖRNEK

2n/5-n serisi veriliyor Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz

an = 2n/5-n = 2n5n = 10n dir lim an = lim 10n =  dur lim an  0 olduğuna göre seri ıraksaktır

B ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER

1 Aritmetik Seriler

(an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir Aritmetik serinin kısmi toplamı Sn = n (a1+a2)’dir Aritmetik seri ıraksaktır

2

ÖRNEK

(n – 10)/20 serisi veriliyor Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz Serinin kısmi toplamını bulunuz Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz

 n  N+ için d = an +1 – an =(n+1-10)/20 – (n-10)/20 = 1/20 olduğu için seri aritmetik seridir

a1 = -9/20 ve an = (n – 10)/20 olduğuna göre, Sn =n/2(a1+an) = n/2[-9/20 + (n –10)/20]

=n(n – 19)/40 = 

olduğuna göre (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır

2 Geometrik Seriler

(an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir Geometrik serinin kısmi toplamı Sn = a11-rn’dir

1-r

a) |r| < 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı: = a1’dir

1-r

b) |r| ise seri ıraksaktır

ÖRNEK

31-n serisi veriliyor

Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin toplamını bulunuz

 n  N+ için, r = (an+1)/an = 31-(n+1)/31-n = 1/3 olduğu için seri geometrik seridir

a1 = 1 ve r = 1/3 olduğuna göre,

Sn = 1 [1 – (1/3)n]/(1 – 1/3) = 3/2[1 – (1/3)n] dir

r = 1/3 olduğuna göre |r| = |1/3| = 1/3 < 1 dir Bunu için seri yakınsaktır

Seri yakınsak olduğuna göre toplamı 31 – n = a1/(1 – r) = 1/(1 – 1/3) = 3/2 dir

6) DİZİLER VE SERİLER

61 Reel sayı dizileri

a) Sonlu dizi

b) Sabit dizi

c) Eşit diziler

d) Diziler arasında işlemler

e) Monoton diziler

f) Alt dizi

62 Dizilerin yakınsaklığı ve ıraksaklığı

a Bir noktanın komşuluğu

b Yakınsak ve ıraksak diziler

c Sınırlı diziler

d Dizilerde limit

e Bir dizinin alt ve üst limiti

1 Sınırlı Dizilerin Temel Özellikleri

2 Aritmetik ve Geometrik Diziler

3 Seriler

a Kısmi toplam , kısmi toplamlar dizisi

b Yakınsak ve ıraksak seriler

c Aritmetik seri

d Geometrik seri