Tüme Varim-Tüme Varim Yöntemi-Tümevarım Prensibi-Tümevarım Örnekler

TÜME VARIM

Bu bölümde önce,kısaca tümevarım yöntemini, sonrada ÖYS’de karşılamakta olduğumuz å sembolünü ve Õ sembolünü ele alacağız

TÜME VARIM YÖNTEMİ

Tümevarım yöntemini ifade etmeden önce, önerme ve doğruluk kümesi kavramlarını açıklayalım

1Önerme

Doğru ya da yanlış kesin hükümlere önerme denir İçinde bir değişken bulunan önermelere de açık önerme denir

ÖRNEK :

“5 bir asal sayıdır” ifadesi doğru bir önermedir

“10 – 2 3 = 0” ifadesi yanlış bir önermedir

“2n > 2n” ifadesi açık bir önermedir

2Doğruluk Kümesi

Bir açık önermeyi doğrulayan değerlerin oluşturduğu kümeye doğruluk kümesi denir

ÖRNEK :

Sayma sayıları kümesi, N+ = {1,2,3, } dir n bir sayma sayısı olmak üzere, P(n): 2n < 2n + 10 açık önermesinin doruluk kümesini bulunuz

ÇÖZÜM :

n = 1 için P(1) : 21 < 2 1 + 10 (doğru)

n = 2 için P(2) : 22 < 2 2 + 10 (doğru)

n = 3 için P(3) : 23 < 2 3 + 10 (doğru)

n = 4 için P(4) : 24 < 2 4 + 10 (doğru)

n = 5 için P(5) : 25 < 2 5 + 10 (yanlış)

n = 6 için P(6) : 26 < 2 6 + 10 (yanlış)

Görüldüğü gibi; P(1), P(2), P(3), P(4) önermeleri doğrudur Buna göre, doğruluk kümesi D = {1,2,3,4}’tür

3Tümevarım Prensibi

Tümevarım prensibi, doğal sayılarla ilgili açık önermelerin doğruluğunu göstermeye yarayan bir ispat metodudur

n Î N olmak üzere P(n) bir açık önerme ve a Î N ve Na = {a, a + 1, a + 2, } olsun

P(n) önermesi Na kümesinin en küçük elemanı olan n = a için doğrudur (Yani, P(a) dorudur)

k ³ a olmak üzere P(n) önermesinin n = k için doğru olduğu (P(k) doğru olsun) kabul edildiğinde n = k + 1 için doğru olduğu (P(k + 1) doğru) oluyorsa P(n) önermesi Na kümesinin her elemanı için doğrudur

ÖRNEK :

P(n) : 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n+1)(2n+1) önermesinin doğruluğunu ispat ediniz

6

ÇÖZÜM :

n = 1 için P(1) : 12 = 1(1+1)(21+1) 1 = 1 ise P(1) doğrudur

6

n =k için P(k) = 12 + 22 + 32 + + k2 = 1(k+1)(2k+1) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim 6

n = k + 1 için

P(k+1) = 12 + 22 + 32 + + k2 + (k+1)2 = (k+1)(k+2)(2k+3) olduğunu gösterelim

6

12 + 22 + 32 + + k2 + (k+1)2 = k(k+1)(2k+1) + (k+1)2 Paydaları eşitleyip, gerekli işlemleri

6

yaparsak sonucun (k+1)(k+2)(2k+3) olduğunu göreceğiz Demek ki P(k+1) doğrudur

6

Böylece önerme ispatlanmış olur O halde bütün doğal sayılar için,

12 + 22 + 32 + + n2 = n(n+1)(2n+1)’dir

6

TOPLAM SEMBOLÜ

4Tanım

k bir tam sayı, f : |N |R ye bir fonksiyon olmak şartıyla f(k) = ak olsun k’ya 1,2,3, , n değerlerinin verilmesiyle elde edilen a1, a2, a3, , an terimlerinin toplamı, toplam sembolüyle kısaca (å) kısaca,

şeklinde gösterilir

ÖRNEK :

= 20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

5Önemli bazı formüller

= 1+2+3++n=n(n+1)

2

= 1+3+5++(2n – 1) = n2

= 12+22+32++n2 = n(n+1)(n+2)

6

= 13+23+33++n3 = [n(n+1)/2]2

= 12+23+34++n(n+1) = n(n+1)(n+2)

3

= 1 + 1 + 1 ++ 1 = n

12 23 34 n(n+1) n+1

= 1+r+r2+r3++rn – 1= 1 – r n

1 – r

Bu formüllerin doğruluğu tümevarım yöntemiyle gösterilebilir

Çarpım Sembolü

6Tanım

k bir tamolmak şartıyla f(k) = ak olsun

k’ya 1,2,3, , n değerlerinin verilmesiyle elde edilen a1 a2 a3 an terimlerinin çarpımı, çarpım sembolüyle (Õ) kısaca,

= a1a2a3an

şeklinde gösterilir

ÖRNEK :

= 92+102 = 81100 = 8100

7Önemli Bazı Çarpım Formülleri

= 1234n = n!

= r1r2r3rn = r1+2+3++n