Doğal Sayılar -Doğal Sayılarda Dört İşlem

DOĞAL SAYILAR

0, 1, 2, 3, , 50, devam eden sayılara doğal sayılar denir

Doğal sayılar kümesi D ile gösterilir

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, }

İkinin katı olan sayılara çift doğal sayılar, çift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek doğal sayılar denir

n bir doğal sayı iken;

Çift doğal sayılar : 2

Tek doğal sayılar : 2 + 1 biçiminde gösterilir

Sayma Sayıları

Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir

S = {1, 2, 3, 4, 5, }

SAYI DOĞRUSU

Doğal sayılar kümesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşit aralıklardaki bazı noktaları ile bire-bir eşlenirse bu doğruya sayı doğrusu denir[SIZE=4]

ONLUK SAYMA DÜZENİ

Sayı sistemimiz onluk sayma düzenine göredir Bu düzende çokluklar birlik, onluk, yüzlük, binlik gibi gruplara ayrılır Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir Örneğin, 2543 sayısı içinde 3 birlik, 4 onluk, 5 yüzlük, 2 binlik vardır

RAKAM

Ona kadar olan doğal sayıları gösteren işaretlere rakam denir

Rakamlar kümesi : R = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olarak tanımlanır

Onluk sistemde on tane rakam kullanılır

BASAMAK DEĞERİ

Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa göre aldıkları değerlere basamak değeri ya da bağıl değer denir

Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir

SAYI DEĞERİ

Rakamların sayı içindeki basamak değerleri gözönüne alınmadan tek başına gösterdiği değere sayı değeri ya da mutlak değeri denir

ÇÖZÜMLEME

Bir sayının içinde kaç tane birlik, kaç tane onluk, kaç tane yüzlük, kaç tane binlik, varsa bunları ayırarak toplam biçiminde yazmaya çözümleme denir

2345 = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 +

10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

GRUPLAMA

Sayıları basamak değerlerinin toplamı biçimde yazmaya gruplama denir

2345 = 2000 + 300 + 40 + 5 veya

= 2 binlik + 3 yüzlük + 4 onluk + 5 birlik

SAYILARIN ÜSLÜ BİÇİMDE GÖSTERİLMESİ

ÜSLÜ SAYILARIN OKUNUŞU

4 4 üssü 2 (4'ün karesi, 4'ün ikinci kuvveti)

5 5 üssü 3 (5'in kübü, 5'in üçüncü kuvveti)

3 3 üssü 4 (3'ün dördüncü kuvveti)

ÜSSÜN ANLAMI

Üs tabanın kendisi ile kaç kez çarpılacağını gösterir

10 = 10 x 10 = 100

5 = 5 x 5 x 5 = 125

4 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256

3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir 3=3, 7=7, 10=10, 15=15

Üssü 0 olan sayı 1'e eşittir 80=1, 9=1, 160=1, 0=1Kaynakwh: Doğal Sayılar

Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir 7=7, 1000=1000, 64=64, 1=1

1 sayısının bütün kuvvetleri 1'e eşittir 1=1, 1=1, 1=1

Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken; ortak taban yazılır, üsler toplanıp bir tek üs olarak yazılır

ÜSLÜ BİÇİMDE ÇÖZÜMLEME

Bir sayı üslü biçimde çözümlenirken basamak değeri 10'un üssü şeklinde yazılır

5679 = (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)

=(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)

DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA

Sayı doğrusu üzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan küçük solundaki sayıdan büyüktür Doğal sayılar sıralanırken aralarına küçük ( < ) veya büyük ( > ) işareti konur

Küçük < Büyük

Büyük > Küçük

< işaretinin sivri ucuyla gösterdiği sayı diğer taraftaki sayıdan küçüktür

DÖRT İŞLEM

DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA

AB = olmak üzere, (AB) kümesinin eleman sayısına toplama denir

A={1,2} ve B={3, 4, 5} ise

s(A) + s(B) = s(AB) = 2 + 4 = 6

Toplama işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir İşlemin sonucuna da toplam denir

Toplama işlemi, ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır Aynı türden ve birimleri aynı olan çokluklar toplanabilir

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

KAPALILIK ÖZELLİĞİ

İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır Buna kapalılık özelliği denir

3D, 4D için 3 + 4 = 7D dir

9D, 13D için 9 + 13 = 22D dir

aD, bD için (a + b)D dir

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmez Buna toplamada değişme özelliği denir

3 + 5 = 8 = 5 + 3

aD, bD ise; a + b=b + a dir

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmez Bu özelliğe

toplama işleminin birleşme özelliği denir

3 + (4 + 6) = (3 + 4) + 6 3 + 10 = 7 + 6 13 = 13

aD, bD, cD ise (a + b) + c = a + (b + c) dir

Çok terimli toplama işlemlerinde terimler kendi aralarında gruplandırılarak işlem kolaylığı sağlanır

ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN

Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir

5 + 0 = 5

0 + 6 = 6

Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır

DOĞAL SAYILARDA ÇIKARMA

A = {a,b,c,d,e} B = {d,e}

s(A) = 5 ve s(B) = 2 dir

s(A) - s(B) = s(C)

5 - 2 = 3 olarak gösterilir Burada 5 : eksilen; 2 : çıkan 3 : fark olarak adlandırılır

B A ise A - B kümesinin eleman sayısına A ve B kümelerinin eleman sayılarının farkı denir Bu farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma işlemi adı verilir

Çıkarma geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır Sağlaması; a-b=c ise a=b + c olacak şekilde yapılır Çıkarma işlemi toplamanın tersidir

ÇIKARMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Kapalılık özelliği yoktur 5D ve 6D için; 5-6 doğal sayı değildir

Değişme özelliği yoktur 6D ve 2D için; 6-2=4D; 2-6 doğal sayı değildir

Birleşme özelliği yoktur 7-(5-2) (7-5)-2 7-3 2-2 4 0

Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemine göre etkisiz (birim) eleman yoktur 3-0=3 olmakla beraber 0-3 3'tür

DOĞAL SAYILARDA ÇARPMA

Elemanlarının sayısı bilinen A ve B kümeleri için s(A)=a, s(B)=b ve s(A ) x s( B)=m ise, m doğal sayısına a ile b'nin çarpımı denir m=a x b biçiminde gösterilir Çarpma işareti ( x ) ya da( )' dır

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

KAPALILIK ÖZELLİĞİ

İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır Bu özelliğe doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır denir

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmez Bu duruma çarpmanın değişme özelliği denir

4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 4 x 5 = 5 x 4'tür

aD, bD için; a x b = b x a 'dır

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa çarpım değişmez Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir

4D, 5D, 2D için

4 x (5 x 2) = (4 x 5) x 2 4 x 10=20 x 2; 40=40'tır

ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN

Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir 1 sayısı çarpma işlemini etkilemez 1 sayısına çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı denir

1 x 5=5 5 x 1=5 5 x 1=1 x 5=5'dir

aD için a x 1=1 x a=a 'dır

YUTAN ELEMAN

Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfıra eşittir Bu nedenle 0 sayısına çarpma işleminde yutan eleman denir

4 x 0=0 0 x 4=0 4 x 0=0 x 4=0 'dır

aD için 0 x a=a x 0=0 'dır

ÇARPMANIN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

aD, bD, cD için a x (b + c)=(a x b) + (a x c) ve

aD, bD, cD için a x (b-c)=(a x b) - (a x c) 'dir

Bu özelliğe, çarpmanın toplama ya da çıkarma üzerine dağılma özelliği denir

ÇARPMADA KOLAYLIKLAR

Bir sayıyı 10, 100, 1000, ile çarpmak için, sayının sağına bir, iki, üç, sıfır yazılır

14 x 10 = 140

16 x 100 = 1600

22 x 1000 = 22000

7 x 10000 = 70000

Bir sayıyı 25 ile çarpmak için, sayı 100 ile çarpılır Çarpım 4'e bölünür

25 x 36=(36 x 100)/4=900

Bir sayı 50 ile çarpılırken, sayı 100'le çarpılır, çarpım 2'ye bölünür

78 x 50=(78 x 100)/2=7800/2=3200

Bir sayı 5'le çarpılırken, sayı 10'la çarpılır sonra 2'ye bölünür

89 x 5=(89 x 10)/2=890/2=445

Bir sayı 9'la çarpılırken, sayı 10'la çarpılır, çarpımdan sayının kendisi çıkarılır

56 x 9=(56 x 10)-56, 560-56=504

DOĞAL SAYILARDA BÖLME

aD, bD ve b0 olmak üzere, a x b=c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa, c sayısına a'nın b'ye bölümü denir a/b=c veya a:b=c olarak gösterilir

BÖLMENİN SAĞLAMASI

Sağlama işlemi, Bölünen = (bölen x bölüm) + kalan eşitliğiyle yapılır

Çarpma ve bölme işlemleri birbirinin tersidir

BÖLME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Bölme işleminin doğal sayılarda kapalılık özelliği yoktur

4D, 3D için 4/3=doğal sayı değildir

Bölme işleminin doğal sayılarda değişme özelliği yoktur

5D, 15D için, 15/5 5/15

Doğal sayılarda bölme işleminin birleşme özelliği yoktur

(24/4)/2 24/(4/2) 6/2 24/2 3 12

Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur

2/1 1/2 2 0,5

Bir doğal sayının 1'e bölümü kendisine eşittir

aD için a/1=a dır 1/1=1, 39/1=39, 3/1=3, 101/1=101

Sıfırın (0) bir sayma sayısına bölümü sıfırdır

0/a=0 'dır 0/4=0, 0/100=0, 0/15=0

0 hariç, bir doğal sayının kendisine bölümü 1'e eşittir

aD için a/a=1 'dir 6/6=1, 109/109=1, 10/10=1, 88/88=1

Bir doğal sayı sıfıra bölünemez

5/0=tanımsız, 12/0=tanımsız

Bir sayıyı 10, 100, 1000 ile bölmek;

10'a bölerken bir sıfır silinir 400/10 = 40

100'e bölerken iki sıfır silinir 200/100 = 2

1000'e bölerken üç sıfır silinir 3000/1000 = 3