|
![]() ![]() |
|
Konu Araçları |
denir, denklem, denklemlerle, ilgili, nelerdir, neye, örnekler |
![]() |
Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir? |
![]() |
![]() |
#1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir?Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir? Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir? 2x+3=5+x Bu bir denklemdir ![]() ![]() ![]() 2x-x=5-3 x ve 3 ün yerlerini değiştirdiğimiz için işaretleri değişti ![]() x=2 x+2y =2 2x-2y=4 Bu ise 2 bilinmeyenli bir denklemdir ![]() Bu tür denklemlerde taraf tarafa toplamak en iyi yoldur ![]() x+2x+2y-2y=2+4 hem +2y hem -2y birbirlerini götürürler ![]() 3x=6 x=2 Denklem, iki niceliğin eşitliğini gösteren bağıntıdır ![]() ![]() ![]() ![]() (x + y)² =x² + 2·x·y + y² özdeşlik x² - 3·x + 2 = 0 ise bir denklemdir ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Yüzey denklemiÜç boyutlu uzayın herhangi bir P noktasının koordinatları x,y,z ise, f (x,y,z) = 0 şeklindeki denklemlerdir ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() fonksiyonlarının bulunduğu denklemlerdir ![]() ![]() ![]() f(x) = anxn + an-1xn-1 + ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Çarpan teoremiEğer (n'inci) mertebeden f(x) = 0 denkleminin x = a gibi bir kökü (çözümü) varsa, g(x) çokterimlisi (n-1) mertebeden olmak üzere: f(x) = (x-a)·g(x) yazılabilir ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Bu kökler gerçel çözümün olması için karekök altındaki ifadenin negatif olmaması gerekir ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2 ![]() ax2 + bx + c = 0 şeklindeki denklemlerdir ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ama bazı denklemler parantezle ayrılamaz ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir? |
![]() |
![]() |
#2 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir?Cauchy-Riemann denklemleri Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'a atfen Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandıran denklemler, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorfik fonksiyon olması için gerekli ve yeterli şartları sağlayan kısmi diferansiyel denklemlerdir ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Bir gerçel değerli fonksiyon çifti u(x,y) ve v(x,y) için yazılan Cauchy-Riemann denklemleri aşağıdaki gibidir: (1a) ve (1b) Genelde u ve v çifti, karmaşık değerli bir f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) fonksiyonunun gerçel ve sanal kısımları olarak alınır ![]() ![]() ![]() Yorumu ve formülasyonu Açıkorur gönderimler Cauchy-Riemann denklemleri çeşitli yollarla genelde tekrar formüle edilirler ![]() (2) karmaşık formunda yazılabilirler ![]() Bu formda, denklemler yapısal olarak Jakoben matrisinin, ve olacak şekilde, formunda olmasına karşılık gelir ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Karmaşık eşleniğin bağımsız olması Denklemler bazen tek bir denklem olarak yazılır: (3) Burada, türev operatörü olarak tanımlanmıştır ![]() Bu formda, Cauch-Riemann denklemleri "f, değişkeninden bağımsızdır" olarak yorumlanabilir ![]() Karmaşık türevlilik Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun karmaşık türevli (veya holomorfik) olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur (Ahlofors 1953, §1 ![]() ![]() f(z) = u(z) + iv(z) z∈ C karmaşık sayısının fonksiyonu olsun ![]() olarak tanımlanır ![]() Eğer bu limit varsa, limit reel eksen veya sanal eksen boyunca h→0 alınarak hesaplanabilir ve her iki durumda da aynı sonucu vermelidir ![]() elde edilir ![]() ifadesini verecektir ![]() ![]() Tersine, f: elde edilir ![]() ![]() Diğer temsiller Cauchy-Riemann denklemlerinin diğer temsilleri diğer koordinat sistemlerinde de ortaya çıkmaktadır ![]() eşitlikleri sağlanır ![]() halini alır ![]() f için bu iki denklem birleştirildiğinde elde edilir ![]() 'nin Homojen olmayan denklemler Homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemleri, R2 'nin açık bir altkümesinde verilmiş α(x,y) ve β(x,y) için, bilinmeyen iki gerçel değişkenli bir u(x,y) ve v(x,y) fonksiyon çiftinin iki denkleminden oluşur: Bu denklemler genellikle bir denklemde toplanırlar (f=u+iv ve φ=(α+iβ)/2): Eğer φ, Ck ise, o zaman herhangi sınırlı bir D bölgesinin kapanışında φ sürekli olduğu sürece, homojen olmayan denklem D 'de açık olarak çözülebilir ![]() ifadesi elde edilir ![]() kullanılarak her ζ∈ Genelleştirmeler Goursat teoremi ve genelleştirmeleri Ayrıca bakınız: Cauchy-Goursat teoremi f = u+iv, f : R2 → R2 fonksiyonu olarak karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon olsun ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Goursat teoremi 'nin varsayımları önemli bir ölçüde zayıflatılabilir ![]() ![]() ![]() f 'nin Ω üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlaması varsayımı çok önemlidir ![]() ![]() ![]() ![]() Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar ancak z=0 noktasında sürekli değildir ![]() Yine de, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini zayıf bir anlamda sağlıyorsa, o zaman fonksiyon analitiktir ![]()
Cauchy-Riemann denklemlerinin çok karmaşık değişkenlere uygun genelleştirmeleri de vardır ![]() ![]() d-bar operatörü holomorfik fonksiyonları imha eder ![]() alınarak şu genelleştirmeyi yapar: Dalga denklemi ![]() 1 boyutlu dalga denklemi ![]() Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir ![]() ![]() ![]() Gösterim Açıklama operatörü : u'nun zamana göre 2 ![]() şeklinde biçimlenir ![]() Burada c dalganın yayılma veya ilerleme hızıdır ![]() ![]() Tek boyutta çözümü Laplasyen tek boyutta adi türeve dönüşür ![]() d'Alembert çözümü ve tanımları yapılarak zincir kuralı yardımıyla: yazılabilir ![]() olduğundan, ifadesi ve aynı yol izlenerek ifadesi elde edilebilir ![]() olarak yazılır ![]() durumuna indirgenmiş olur ![]() olarak bulunur ![]() ![]() Fourier dönüşümü ile Denklem yazılıp iki tarafa da Fourier dönüşümü yapılırsa biçimine dönüşür ![]() denkliği kullanılarak diferansiyel denklemi elde edilir ![]() ![]() olarak elde edilir ![]() ![]() ![]() f ve g diye iki fonksiyonun Fourier dönüşümleri olarak kabul edilirse x uzayındaki çözüm olarak elde edilir ![]() dönüşümü de uygulanarak dalga denkleminin w,k uzayındaki çözülüerek Görüldüğü üzere birinci ve ikinci terim sırasıyla Değişkenlere ayırma yöntemi ile Dalga denklemi karışık türevler içermediği için değişkenlere ayırma yöntemi kullanılarak da çözüme gidilebilir ![]() olarak yazılır ve denkleme konulursa denklem şu hali alır: iki taraf da u ya bölünürse iki tane birbirinden bağımsız değişkenin olduğu ifade birbirine ancak bir sabite eşit olmaları durumunda eşit olabileceğinden iki denklem de ayrı ayrı bu sabite eşitlenerek çözümler bulunabilir ![]() ![]() ve sağ tarafından da bulunur ![]() ![]() ![]() ![]() Dirac denklemi Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan dönülü ve göreli kuantum mekaniği denklemi, şeklinde ifade edilebilir ![]() m_0 : parçacığın durağan kütlesini,c : ışık hızını,pμ : dörtmomentumu,γμ : Dirac matrislerinikarmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur ![]() Buradaki Ψ + ve Ψ − , Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır ![]() ![]() ve olarak tanımlanır ![]() ![]() şeklindedir ![]() göstermektedir ![]() Serbest parçacık için Dirac denklemi Dırac denklemlerinde μ = 0 bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz ![]() biçiminde yazılabilir ![]() ve olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir ![]() biçimini alır ![]() Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir ![]() Burada p0c = E = mc2 ve şeklindedir ![]() ![]() olduğundan ifade, Elektromanyetik alanda Dirac denklemi Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek: denklem, biçimine gelir ![]() ![]() Doğrusal denklem Doğrusal (Lineer) Denklem terimlerinin her biri ya birinci dereceden değişken ya da bir sabit olan denklemlerdir ![]() ![]() ![]() Burada, m sabiti doğrunun eğimini belirler; değişkeni içeren aşağıdaki formdur: b sabiti ise denklemin x ve y eksenlerini keseceği noktaları belirler (yani m sabiti değişmesi fonksiyonun artış miktarını etkilerken b sabitinin değişmesi doğrunun düzlemde ötelenmesine neden olur) ![]() ![]() Örnekler İki değişkenli bazı doğrusal denklem örnekleri: İki Boyutlu Doğrusal Denklemler ![]() Aşağıdaki formlar basit matematik bilgisiyle yazılabilecek 2 boyutlu doğrusal denklem örnekleridir ![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() m eğimi ve b de y-ekseni kesim noktasını gösterir ![]() ![]()
![]() ![]()
![]() ![]() ![]()
![]() ![]()
![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Birden fazla doğrusal denklem olduğu durumlar için lütfen bkz ![]() ![]() Doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi Yukarıdaki tüm formlarda y, x'in bir fonksiyonudur ![]() ![]() Denklemdeki y = f(x) varsayılırsa f fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir: ve a bir sayıdır ![]() ![]() İkiden fazla değişkenli doğrusal denklemler Doğrusal denklemler ikiden fazla değişkene de sahip olabilirler, n terimli genel denklemimiz aşağıdaki gibi olsun: Burada, a1, a2, …, an katsayılar, x1, x2, …, xnb de sabittir ![]() ![]() Böyle bir denklem n-boyutlu bir Öklid uzayında (n–1)-boyutlu hiper düzlem belirtir ![]() |
![]() |
![]() |
Konu Araçları | Bu Konuda Ara |
Görünüm Modları |
|