|
|
Konu Araçları |
denir, denklem, denklemlerle, ilgili, nelerdir, neye, örnekler |
Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir? |
09-11-2012 | #1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir?Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir? Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir? 2x+3=5+x Bu bir denklemdir Bir bilinmeyenlidir Aynı olan türleri bir tarafta toplarsanız sonuca ulaşırsınız 2x-x=5-3 x ve 3 ün yerlerini değiştirdiğimiz için işaretleri değişti x=2 x+2y =2 2x-2y=4 Bu ise 2 bilinmeyenli bir denklemdir Bu tür denklemlerde taraf tarafa toplamak en iyi yoldur Fakat her hangi birisinden x veya y'nin değerini bulup diğer kullanmadığınız denklemde yerine yazarsanız yine sonuca ulaşırsınız x+2x+2y-2y=2+4 hem +2y hem -2y birbirlerini götürürler 3x=6 x=2 Denklem, iki niceliğin eşitliğini gösteren bağıntıdır Araya (=) işareti konularak ifade edilir Denklemlerde eşitlik değişkenlerin belirli değerleri için sağlanır Değişkenlerin her değeri için geçerli olan eşitliklere özdeşlik denir (x + y)² =x² + 2·x·y + y² özdeşlik x² - 3·x + 2 = 0 ise bir denklemdir x² - 3·x + 2 = 0 denklemi sadece x = 1 ve x = 2 sayıları için doğrudur, diğer değerler için yanlıştır Özdeşlikte ise her x ve y değeri için eşitlik doğrudur Denklemlerde değişkenlerin en büyük kuvveti denklemin derecesini gösterir Her terimin derecesi aynı olan denklemlere homojen denklem denir Yüzey denklemiÜç boyutlu uzayın herhangi bir P noktasının koordinatları x,y,z ise, f (x,y,z) = 0 şeklindeki denklemlerdir Eğri denklemiEğri, tarifinden dolayı iki yüzeyin arakesiti bir eğridir f(x,y,z) = 0 ve g(x,y,z) = 0 yüzey denklemleri bir arada eğri denklemi verir İki boyutlu uzayda x ve y gibi iki değişkenle meydana gelen denklemler bir eğri denklemidir: y² = 2x, y = 3x, x² + y² = 1 birer eğri denklemidir Cebirsel denklemTerimleri cebirsel fonksiyonlardan meydana gelen denklemlerdir Denklem sistemiOrtak çözümleri olsun veya olmasın iki veya daha fazla denklemler grubu Lineer denklemDeğişkenleri birinci dereceden olan cebirsel denklem Mesela: 3x + y = 5, 8x + 9 =3 gibi Logaritmik denklemBilinmeyenlerin logaritmiktrigonometrik fonkisiyonlardan meydana getirilen denklem böyledir(İngilizcesi transcendental olan bu kelimenin Türkçe'si "AŞKIN" olarak çevirilmiş Bu ifade aynı zamanda pi,e gibi sayılar için de kullanılır Kendi kendini aşandan (AŞKIN) gelmektedir Aşkın Sayılar) fonksiyonlarının bulunduğu denklemlerdir log(x) + 3·log(3x) = 4 gibi Transandant denklemCebirsel olmayan denklemlerdir Logaritmik, üstel, Denklemler teorisi f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0 çok terimli denklemleriyle ilgilenir Burada n denklemin derecesini ve an denklemin baş katsayısını gösterir Çarpan teoremiEğer (n'inci) mertebeden f(x) = 0 denkleminin x = a gibi bir kökü (çözümü) varsa, g(x) çokterimlisi (n-1) mertebeden olmak üzere: f(x) = (x-a)·g(x) yazılabilir Kök sayısıBir denklemin en fazla, derecesi kadar kökü vardır Katlı kökEğer: f(x)=(x-a)k·g(x) yazılabiliyorsa x=a, f(x)=0 denkleminin k katlı köküdür Mesela: x³ + x² - 5x + 3 = (x-1)²·(x+3) = 0 denkleminde x = 1 iki katlı kök, x = -3 tek katlı köktür Karmaşık kökEğer gerçel katsayılara sahip f(x) = 0 denkleminin bir kökü x= a + ib ise, x = a - ib de diğer bir köktür Gerçel kökün yeriEğer gerçel katsayılara sahip f(x) için f(a) ve f(b) ters işaretli değerler ise, a ve b arasında f(x) = 0 denkleminin bir kökü vardır Mesela f(x) = x5 - x - 1 = 0 da f(1) = -1 ve f(2) = 29 olduğu için, denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü vardır İkinci derece denklemx² + ax + b = 0 denkleminin en çok iki kökü bulunur Bu kökler gerçel çözümün olması için karekök altındaki ifadenin negatif olmaması gerekir Eğer kökün altındaki ifade sıfırsa, kök tek olarak iki katlı ortaya çıkar Negatif ise gerçek kök yoktur Beşinci ve daha yüksek dereceden denklemlerin yalnızca cebirsel işlemler içeren formüller yardımıyla çözülmesinin olanaksızlığını ilk kez Paolo Ruffini öne sürdü ve Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel beşinci dereceden denklemler için bunu kanıtladı (1824) Abel'den bağımsız olarak aynı sonuca varan Fransız matematikçi Evariste Galois, oluşturduğu denklemler kuramını matematikte yeni bir kavram olan gruplar kuramına dayandırmıştı Yirmi yaşında bir düelloda öldürülen Galois, ölümünden bir gece önce bir arkadaşına aceleyle yazıp bıraktığı bir mektupta, günümüzde kendi adıyla anılan kuramı ortaya koydu 2 derece denklemler ax2 + bx + c = 0 şeklindeki denklemlerdir Bu çeşit denklemlerin 2 adet kökü bulunur Bu denklemlerin bazıları çarpanlara ayrılarak yapılır Örneğinx2 − 7x + 12 = 0 denklemi (x-4)(x-3)=0 şeklinde açılabilir Çözüm kümesi de Ç={4,3}'tür Ama bazı denklemler parantezle ayrılamaz Bunların çözüm kümesini bulmak için diskriminant formülü vardır Bu formül kökü reel olmayan denklemler için de geçerlidir |
Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir? |
09-11-2012 | #2 |
Prof. Dr. Sinsi
|
Denklem Nedir? Denklem Neye Denir? Denklemlerle İlgili Örnekler Nelerdir?Cauchy-Riemann denklemleri Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'a atfen Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandıran denklemler, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorfik fonksiyon olması için gerekli ve yeterli şartları sağlayan kısmi diferansiyel denklemlerdir Bu denklemler sistemi ilk defa Jean le Rond d'Alembert'in 1752 yılındaki çalışmasında ortaya çıkmıştır Daha sonra, 1777 yılındaki çalışmasıyla Leonhard Euler bu sistemi analitik fonksiyonlarla ilişkilendirmiştir Cauchy ise bu sistemi 1814'teki çalışmasındaki fonksiyonlar teorisinde kullanmıştır Riemann'ın fonksiyonlar teorisi üzerine olan doktora tezinin tarihi ise 1851'dir Bir gerçel değerli fonksiyon çifti u(x,y) ve v(x,y) için yazılan Cauchy-Riemann denklemleri aşağıdaki gibidir: (1a) ve (1b) Genelde u ve v çifti, karmaşık değerli bir f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) fonksiyonunun gerçel ve sanal kısımları olarak alınır u ve v, C 'nin açık bir kümesinde sürekli şekilde türevlenebilir bir fonksiyon olsun O zaman, f=u+iv ancak ve ancak u ve v Cauchy-Riemann denklemlerini ((1a)'yı ve (1b)'yi) sağlarsa, holomorfiktir Yorumu ve formülasyonu Açıkorur gönderimler Cauchy-Riemann denklemleri çeşitli yollarla genelde tekrar formüle edilirler Birincisi, (2) karmaşık formunda yazılabilirler Bu formda, denklemler yapısal olarak Jakoben matrisinin, ve olacak şekilde, formunda olmasına karşılık gelir Bu formdaki bir matris bir karmaşık sayının matris temsilidir Geometrik olarak, böyle bir matris her zaman homotetisi olan bir rotasyonun bileşkesidir ve bilhassa açıları korur Sonuç olarak, türevi sıfırdan farklı, Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan bir fonksiyon düzlemdeki eğriler arasındaki açıyı korur Yani, Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun açıkorur gönderim olması için olan koşullardır Karmaşık eşleniğin bağımsız olması Denklemler bazen tek bir denklem olarak yazılır: (3) Burada, türev operatörü olarak tanımlanmıştır Bu formda, Cauch-Riemann denklemleri "f, değişkeninden bağımsızdır" olarak yorumlanabilir Karmaşık türevlilik Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun karmaşık türevli (veya holomorfik) olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur (Ahlofors 1953, §12 ) Daha ayrıntılı bir şekilde, f(z) = u(z) + iv(z) z∈ C karmaşık sayısının fonksiyonu olsun O zaman, f 'nin z0 noktasında karmaşık türevi eğer limit varsa olarak tanımlanır Eğer bu limit varsa, limit reel eksen veya sanal eksen boyunca h→0 alınarak hesaplanabilir ve her iki durumda da aynı sonucu vermelidir Reel eksen boyunca yaklaşılırsa elde edilir Diğer taraftan sanal eksen boyunca yaklaşılırsa ifadesini verecektir Farkedilirse bu, z0 noktasındaki (2) nolu Cauchy-Riemann denklemidir Tersine, f: elde edilir İki eksen boyunca alınan türevlerin eşitliği C → C, R2 'de türevli olarak algılanırsa, o zaman f ancak ve ancak Cauchy-Riemann denklemleri sağlanırsa karmaşık türevlidir Diğer temsiller Cauchy-Riemann denklemlerinin diğer temsilleri diğer koordinat sistemlerinde de ortaya çıkmaktadır Sürekli şekilde türevlenebilir bir u ve v fonksiyon çifti için (1a) ve (1b) sağlanıyorsa, o zaman birim dik ve pozitif yönlü olduğu herhangi (n(x,y), s(x,y)) koordinatı için de eşitlikleri sağlanır Sonuç olarak, özellikle, z=reiθ olarak verilen kutupsal koordinatlar sisteminde, denklemler halini alır f için bu iki denklem birleştirildiğinde elde edilir 'nin Homojen olmayan denklemler Homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemleri, R2 'nin açık bir altkümesinde verilmiş α(x,y) ve β(x,y) için, bilinmeyen iki gerçel değişkenli bir u(x,y) ve v(x,y) fonksiyon çiftinin iki denkleminden oluşur: Bu denklemler genellikle bir denklemde toplanırlar (f=u+iv ve φ=(α+iβ)/2): Eğer φ, Ck ise, o zaman herhangi sınırlı bir D bölgesinin kapanışında φ sürekli olduğu sürece, homojen olmayan denklem D 'de açık olarak çözülebilir Aslında Cauchy integral formülüD için ifadesi elde edilir kullanılarak her ζ∈ Genelleştirmeler Goursat teoremi ve genelleştirmeleri Ayrıca bakınız: Cauchy-Goursat teoremi f = u+iv, f : R2 → R2 fonksiyonu olarak karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon olsun O zaman Goursat teoremi, f 'nin açık karmaşık bir Ω bölgesinde ancak ve ancak fonksiyon Cauchy-Riemann denklemlerini sağlarsa analitik olacağını ifade eder (Rudin 1966, Teorem 112) Özelde, f 'nin sürekli türevliliği varsayılmak zorunda değildir (Dieudonné 1969, §910, Al 1) Goursat teoremi 'nin varsayımları önemli bir ölçüde zayıflatılabilir f=u+iv açık bir Ω kümesinde sürekliyse ve f 'nin Ω 'da x ve y 'ye göre kısmi türevleri varsa, o halde f holomorfiktir (ve bu yüzden analitiktir) Bu sonuç Looman–Menchoff teoremi olarak bilinir f 'nin Ω üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlaması varsayımı çok önemlidir Bir noktada Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan ancak analitik olmayan bir fonksiyon inşa etmek mümkündür (mesela f(z) = z5/|z|4) Benzer bir şekilde, aşağıdaki örneğin de gösterdiği gibi, Cauchy-Riemann denklemlerinin yanında (süreklilik gibi) bazı ek varsayımlara da ihtiyaç vardır (örnek Looman 1923, sf 107'dedir): Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar ancak z=0 noktasında sürekli değildir Yine de, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini zayıf bir anlamda sağlıyorsa, o zaman fonksiyon analitiktir Daha kesin bir anlamda (Gray Morris 1978, Teorem 9),
Cauchy-Riemann denklemlerinin çok karmaşık değişkenlere uygun genelleştirmeleri de vardır Kısmi diferansiyel denklemleri önemli bir [artık belirtilmiş sistemleri]]ni oluştururlar Çoğu zaman formüle edildiği gibi d-bar operatörü holomorfik fonksiyonları imha eder Bu doğrudan alınarak şu genelleştirmeyi yapar: Dalga denklemi 1 boyutlu dalga denklemi Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir Bu denklemin çözümlerinden, ses, ışık ve su dalgalarının hareketlerini betimleyen fiziksel nicelikler çıkar Kullanım alanı, akustik, akışkanlar mekaniği ve elektromanyetikte oldukça fazladır Denklemin dalga hareketinde bulunan herhangi bir u skaler büyüklüğü için gösterimleri Gösterim Açıklama operatörü : u'nun zamana göre 2 türevi : d'Alembert İşlemcisi şeklinde biçimlenir Burada c dalganın yayılma veya ilerleme hızıdır Dalganın dağılması, yani ilerledikçe başka başka frekanslar haline bürünmesi olgusu (dispersion) göz önüne alınırsa denklemde c yerine faz hızı kullanılır Ayrıca daha gerçekçi sistemlerde hızın, dalganın genliğine bağlı olduğu dikkate alındığından denklem doğrusal olmayan Tek boyutta çözümü Laplasyen tek boyutta adi türeve dönüşür d'Alembert çözümü ve tanımları yapılarak zincir kuralı yardımıyla: yazılabilir olduğundan, ifadesi ve aynı yol izlenerek ifadesi elde edilebilir İki denklem birbirinden çıkartılarak dalga denklemi buradan, olarak yazılır Dolayısıyla denklem, durumuna indirgenmiş olur Kısmî diferansiyel denklemin çözümü, tek tek değişkenler için integral alınarak olarak bulunur Burada f, +x yönünde ilerleyen, g de -x yönünde ilerleyen düzlem dalgayı betimler Fourier dönüşümü ile Denklem yazılıp iki tarafa da Fourier dönüşümü yapılırsa biçimine dönüşür denkliği kullanılarak diferansiyel denklemi elde edilir Burada, dağılım (dispersion) ilişkisini vermesi görülebilir Elde edilmiş olan diferansiyel denklemin çözümü olarak elde edilir Ancak bu çözüm konum uzayı x de değil, başka bir uzay olan k uzayındaki çözümdür Çözümün konum uzayında bulunabilmesi için k uzayındaki çözüme ters Fourier dönüşümü uygulanır f ve g diye iki fonksiyonun Fourier dönüşümleri olarak kabul edilirse x uzayındaki çözüm olarak elde edilir dönüşümü de uygulanarak dalga denkleminin w,k uzayındaki çözülüerek Görüldüğü üzere birinci ve ikinci terim sırasıyla Değişkenlere ayırma yöntemi ile Dalga denklemi karışık türevler içermediği için değişkenlere ayırma yöntemi kullanılarak da çözüme gidilebilir olarak yazılır ve denkleme konulursa denklem şu hali alır: iki taraf da u ya bölünürse iki tane birbirinden bağımsız değişkenin olduğu ifade birbirine ancak bir sabite eşit olmaları durumunda eşit olabileceğinden iki denklem de ayrı ayrı bu sabite eşitlenerek çözümler bulunabilir Bu sabit pozitif, negatif ve sıfır olması durumlarında incelenerek diferansiyel denklemler çözülebilir ancak fizikte zaman genelde salınım olarak ortaya çıktığından sabit, − k2, k:reel seçilerek fiziksel olarak anlamlı çözüme hızlıca gidilebilir Böylece denklemin sol tarafından: ve sağ tarafından da bulunur Sinüs ve kosinüs ile elde edilen çözümler sınır koşullarını rahatça sağlayacaklarından genellikle sınır değer problemlerinde kullanılırlar Dalga boşlukta hareket eden bir elektromanyetik bir ışınsa o zaman çözümleri K1eikx ve K2eikct olarak vermek daha rahat olur Matematiksel olarak iki çözüm de doğru olmasına rağmen fiziksel kaidelerden serbest ve bağlı olarak çözümler böyle sınıflandırılabilir Dirac denklemi Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan dönülü ve göreli kuantum mekaniği denklemi, şeklinde ifade edilebilir Burada; m_0 : parçacığın durağan kütlesini,c : ışık hızını,pμ : dörtmomentumu,γμ : Dirac matrislerinikarmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur Bu dört sayı da iki gruba ayrılır: Buradaki Ψ + ve Ψ − , Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır Ψ + dönücüsü, pozitif enerjileri, Ψ − negatif enerjileri ifāde eder Bunlar da ve olarak tanımlanır ψ yukarı dönü ve φ aşağı dönü olarak anlam kazanır Yani, dalga fonksiyonu; şeklindedir göstermektedir Ayrıca Ψ, dört tane Serbest parçacık için Dirac denklemi Dırac denklemlerinde μ = 0 bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz Minkowski uzayzamanı), Dirac denklemi; biçiminde yazılabilir Dirac matrisleri; I, birim matris olmak üzere ve olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir Bunlar yerine konunca Dirac denklemi, biçimini alır Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir: Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir: Burada p0c = E = mc2 ve şeklindedir Buradan E için pozitif ve negatif değerler gelir olduğundan ifade, Elektromanyetik alanda Dirac denklemi Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek: denklem, biçimine gelir Buradaki Aμ, elektromanyetik dörtpotansiyeldir ve e elektriksel yüktür Doğrusal denklem Doğrusal (Lineer) Denklem terimlerinin her biri ya birinci dereceden değişken ya da bir sabit olan denklemlerdir Bu tür denklemler aynı zamanda birinci dereceden bir polinom belirtirler Böyle denklemlere "doğrusal" denmesinin nedeni içerdikleri terim ve değişkenlerin sayısına bağlı olarak (n) düzlemde ya da uzayda (ya da n-boyutlu ortam) bir doğru belirtmesindendir Doğrusal denklemlerin en yaygını bir x ve y Burada, m sabiti doğrunun eğimini belirler; değişkeni içeren aşağıdaki formdur: b sabiti ise denklemin x ve y eksenlerini keseceği noktaları belirler (yani m sabiti değişmesi fonksiyonun artış miktarını etkilerken b sabitinin değişmesi doğrunun düzlemde ötelenmesine neden olur) Aynı terimde iki değişken barındıran ya da değişken terimin derecesi 1'den farklı olan denklemler: x2 ya da y1 / 3 (terimler birinci dereceden ya da bir sabit olmadığından) ve xy (tek bir terim çift değişken içerdiğinden) doğrusal değildir Örnekler İki değişkenli bazı doğrusal denklem örnekleri: İki Boyutlu Doğrusal Denklemler Aşağıdaki formlar basit matematik bilgisiyle yazılabilecek 2 boyutlu doğrusal denklem örnekleridir Burada büyük harfler sabitlerin x ve y'ler değişkenlerin yerine kullanılmıştır
m eğimi ve b de y-ekseni kesim noktasını gösterir x = 0 de y = b olduğu direk gözlenir
Birden fazla doğrusal denklem olduğu durumlar için lütfen bkz: Doğrusal denklem sistemi Doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi Yukarıdaki tüm formlarda y, x'in bir fonksiyonudur Fonksiyon grafiği denklem grafiğiyle aynıdır Denklemdeki y = f(x) varsayılırsa f fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir: ve a bir sayıdır Bunları sağlayan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir İkiden fazla değişkenli doğrusal denklemler Doğrusal denklemler ikiden fazla değişkene de sahip olabilirler, n terimli genel denklemimiz aşağıdaki gibi olsun: Burada, a1, a2, …, an katsayılar, x1, x2, …, xnb de sabittir Üç değişkenli denklemlerde genelde x1 yerine sadece x, x2 sadece y ve x3 yerine z kullanılır Böyle bir denklem n-boyutlu bir Öklid uzayında (n–1)-boyutlu hiper düzlem belirtir değişkenlerdir, ve |
Konu Araçları | Bu Konuda Ara |
Görünüm Modları |
|