Matematiğin Gelişimi Ve Diğer Bilimler Arasındaki Yeri Nedir?

Matematiğin Gelişimi ve Diğer Bilimler Arasındaki Yeri

Matematiğin Gelişimi ve Diğer Bilimler Arasındaki Yeri Nedir?

Yontma Taş Çağı’ndan Pisagor’un devrine kadar matematik

Her bilimsel gelişmenin temeli Matematiğe dayanır Her şeyde matematik vardır Doğada her şeyde matematik vardır Güneşin, ayın hareketlerinde şekillerinde matematik vardır
Her şeyde Matematiğin izlerine rastlamak mümkündür
Bütün Bilim dallarının temelinde Matematik vardır
Çünkü, Mantık ve matematiksel düşünce ile Felsefe ve Psikoloji, müzik aletlerinin seslerinin tiz ve kalınlığının tespit edilmesinde matematik hesap, astronomide matematik, bilgisayar bilimlerinde, bilgisayar mühendisliğinde matematik, hukuk bilgilerinde matematik düşünce, tıpta ve biyolojide matematik istatistik ve bir sürü burada sayamayacağımız kadar çok alanda matematik tarih boyunca hep kullanılarak bugüne gelinmiştir

Pisagor daha da ileri giderek tanrı sayıdır sayılar evreni yönetir demiştir Pisagor’un dönemine ve adıyla anılan teoreminin ispatını yaptığı zamana gelmeden pek öncesinde de Mısır ve Babillilerde insanların bazı matematik bilgilerine sahip olduğunu arkeolojik eserlerden biliyoruz Pisagor teoremine sonra tekrar döneceğiz

Milattan Önce 30000 ile MÖ 3000 arası

Matematik ile ilgili bilgilere en eski tarih olarak milattan önce 30000 yıllarında rastlamaktayız O yüzyıllarda insanların kemiklerin üzerine rakamların çiziklerle işaretlendiğinden arkeolojik kazılardan haberdarız Milattan önce 25000 yıllarında ilk geometrik şekiller kullanılıyordu İnsanoğlu vahşi hayvanlardan korunmak, barınmak, aç kalmamak için avlanmak zorunda kaldığı bu çağlarda on binlerce yıl pek fazla elle tutulur buluş yapamadı, bulunan buluşlar da insanların birbirinden uzak bölgelerde yaşaması sebebiyle muhtemelen diğer insanlara ulaşamadan bulan kişi öldüğünde yok olup gidiyordu
Milattan önce 5000 yıllarında Mısır’da ondalık sayı sistemi kullanılmaya başlanmıştı Milattan önce 4000 yıllarında Mısırlılar ve Babilliler takvim kullanmaya başlamışlar Milattan önce 3400 yıllarında Mısır’da rakamlar için ilk defa semboller kullanılmaya başlanmış ve basit doğrular kullanılmaya başlanmış

MÖ3000-MÖ2000

arası Matematik
Milattan önce 3000 yıllarında Orta Doğu’da hesap tahtası (abacus) geliştirilmiş ve Akdeniz çevresinde alanlar kullanılmaya başlanmış O çağlarda çeşitli rakamlar Mısır’da kullanılıyordu ve Babilliler finansal işlemleri kaydetmek için altmışlı sayı sistemini kullanıyorlardı; bu sıfırın olmadığı bir sistemdi Altmışlı sayı sistemi Babillilerden günümüze bir saatin 60 da biri dakika ve bir dakikanın 60 da biri saniye olarak kullandığımız zaman ölçü birimlerinde kullanılarak günümüze kadar gelmiştir Babillilerin neden 60 lı sayı sistemini kullandıklarını düşündüğümüzde 60 sayısının bölenlerinin çok olmasının etkili olduğunu ve 60 ın 2, 3, 4, 5, 6, ,10, 12, 15, 20 , 30 sayılarına kalansız bölündüğünü görüyoruz O çağ insanının belli bir miktar yiyeceğin veya kıymetli bir şeyin bölen sayılar kadar kişiye dağıtılmasında sağladığı kolaylık onları buna yönlendirmiş olabilir Milattan önce 2770 yıllarında Mısır takvimi kullanımdaydı O zamanlar Mısırlılar ağırlık ve ölçünün düzgün bir ondalık sistemini kullanıyorlardı

Quadratik denklemlerin ilk defa çözülüşü

Milattan önce 1950 yıllarında Babilliler quadratik (ikinci dereceden bir bilinmeyenli), a#0 olmak üzere
ax2+bx+c=0
şeklindeki denklemleri çözdüler
Bu gerçekten o zaman için çok büyük bir başarıdır
Quadratik denklemlerin kökleri
a#0 olmak üzere,
ax2+bx+c=0
denkleminde eşitliğin her iki yanına -c eklersek,
ax2+bx+c+(-c)=0+(-c )
ax2+bx=-c
elde edilirBuradan
a[x2+(b/a)x]=-c
elde edilir ve dolayısıyla,
x2+(b/a)x=-c/a
bulunur
Bu eşitliğin her iki yanına x in katsayısının yarısının karesini eklersek,
x2+(b/a)x+(b/2a)2=-c/a+(b/2a)2
olurBuradan da sağ taraf tam kare olduğundan,
[x+(b/2a)]2=-c/a+(b/2a)2
x1,2+(b/2a)=(-c/a+(b/2a)2)1/2
x1,2=-(b/2a)+(-c/a+(b/2a)2)1/2
elde edilir

Pisagor Teoremi’nin Bulunuşu

Quadratik denklemleri çözmüş olan Babilliler şüphesiz o yıllarda Pisagor teoremini biliyorlardı Pisagor teoremini ve diğer matematik bilgilerini astronomi bilgilerini geliştirmek için kullandılar Oysa teoreme adını veren Pisagor’un doğması için en az bin yıl daha geçmesi gerekiyordu
Kısa kenarları a ve b birim uzunluğunda olan ve uzun kenarı (hipotenüsü) c birim uzunluğunda olan bir dik üçgende kısa kenarların kareleri toplamı uzun kenarın karesine eşittir

a2+b2=c2

Eski Mısırlılarda matematik bulmaca problemleri

Milattan önce 1900 yıllarında Moskova papirüsü( Golenishev papirüsü olarak da bilinir) yazıldı Bu papirüs Mısır geometrisinin ayrıntılarını vermektedir
Eski Mısırlılarda matematik, bulmaca problemlerinde de çok kullanılıyordu MÖ 1850 de yazılmış olan Rhind papirüsü eski dönem Mısırlı matematikçilerin bulmaca türü matematiği geniş bir şekilde temel aldıklarını göstermektedir Şu bulmaca tipi matematik sorusu gerçekten ilginçtir:

Yedi evin yedi kedisi varHer bir kedi yedi fare öldürür Her fare yedi tane buğday tanesi yemiştir Her bir buğday tanesi ekilseydi yedi başak filizlendirirdi Acaba bu sayıların hepsinin toplamı kaçtır
7+72+73+74+75=7(1+7+72+73+74)
=7(1-75)/(1-7)

puzzle type problems

in early Egyptian mathematics

The Rhind papyrus shows that early Egyptian mathematics was largely based on puzzle type problems For example the papyrus, written in around 1850 BC, contains a rather familiar type of puzzle
Seven houses contain seven cats Each cat kills seven mice Each mouse had eaten seven ears of grain Each ear of grain would have produced seven hekats of wheat What is the total of all of these?

Babilliler MÖ 1800 de çarpı m tablosunu kullanmaya başladılar M Ö 1750 de karekök ve küp kök tablolarını oluşturdular Matematiği astronomi bilgilerini geliştirmek için kullandılar

Rhind papirüsü
MrAHRhind tarafından Luksor’da satın alınan ve sonra Britanya Müzesi’ne verilen ve yazıcısı Ahmes olan ve MÖ 1700 yıllarında yazılmış olan Rhind papirüsünde ( bazen Ahmes papirüsü olarak da söylenir) imparatorluk memurlarının uğraşmak zorunda oldukları sorunları çözmek üzere örneğin; tahsis edilen belli bir miktar yiyeceğin veya paranın belirli bir sayıda işçiye dağıtımı, belirli bir miktarda ekmek veya bira imali için gerekli olan buğday veya arpanın hesaplanması, alanların ve hacimlerin hesaplanması, hububat ölçülerinin birinin diğerine çevirilmesi gibi problemleri çözmek için gerekli bilgileri öğretmek amacıyla yazılmıştır

Anastasi I papirüsü
İçinde bir katibin , diğerinin ehliyetsizliğini onun yüzüne vurduğunu anlatan Anastasi I papirüsü bu memurların görevlerinin niteliği hakkında bize açık bir fikir vermektedir:” Sen, ‘ Ben ordu emirlerini yazan katibim” diyorsun ama, içyüzünü sana ben söyleyeyim Sana bir göl kazdırmak isteseler, askerlere ne kadar kumanya lazım olacağını öğrenmek için gelip bana sorar, ve şunu bana hesapla dersin O zaman sen görevini yapmamış oluyorsun ve sana görevini öğretmek işi benim omuzuma yıkılıyor Sana, senin efendinin-ki sen onun askerleri başında bulunan tecrübeli katibisin- bir emrini açıklarsam, seni sıkıntıya sokarım:730 arşın uzunluğunda,55 arşın genişliğinde ve 120 bölme ihtiva edecek şekilde, içine kamış ve kalas doldurulabilecek bir rampa inşa edilecek, rampa tepesinde 60 arşın, ortasında 30 arşın yüksekliğinde olacak Bu iş için ne kadar tuğlaya gerek olduğu soruldu ve orada toplanmış bulunan katiplerden hiç biri bunu hesaplayamadı Hepsi bütün ümidini sana bağladılar ve dediler ki: dostum, sen ki bu kadar deneyimli bir katipsin, ününe layık ol ve bunun yanıtını çabucak bularak bize yardım et”Bu papirüsden Rhind papirüsünün bir katiplik okulunda okutulmak üzere yazıldığı anlaşılmaktadır

Rhind papirüsünde rakamlar ve toplama

Rhind papirüsünde rakamlar sembollerle ifade edilmektedir ve bir rakamı, | ile üç rakamı, ||| ile on rakamı, Ç ile kırk rakamı, ÇÇÇÇ ile yüz rakamı ve bin rakamı daha değişik sembollerle gösterilmiştir Bu işaretleri arka arkaya yazarak belli bir yere kadar bütün sayılar kolayca yazılabilmekteydi Bu sayıların toplanması sorun olmamaktaydı Toplanacak sayılarda kaç tane bir, kaç tane on, kaç tane yüz yazıldığını saymak yeter İki kat alma özel bir toplama olup, hiçbir zorluk çıkarmamaktadır

Rhind papirüsünde çarpma
Çarpma birbiri ardısıra iki kat alma ve elde edilen sonuçları toplama yoluyla yapılmaktadır Mesela 12 x12 çarpımı
1 12
2 24
4 48
8 96Toplam 144
şeklinde yapılmaktaydı

Rhind papirüsünde bölme
Bölme işlemi Eski Mısır’lılarca tersine bir çeşit çarpma olarak düşünülmekte idi Mesela 1120 yi 80 e bölmek için 1120 yi elde edinceye kadar 80 in katını al , yahut 1120 yi buluncaya kadar üst üste topla denilerek işlem yapılmaktadır Sonuç 14 olarak bulunmaktadır
1 8010 8002 1604 320Toplam 1120
Rhind papirüsünün bir resmi

Eski Mı sır’da bizim bildiğimiz gibi pay ve paydalı kesirler mevcut değildi Günlük hayatta geçen ve her birinin özel adları bulunan az sayıda kesirler mevcuttu Eski Mısır dilinde ½ , 1/3 , 2/3 , ¼ , ¾ , 1/6 , 1/8 ler bu şekilde özel ad taşıyan kesirlerdir

MÖ 1400 de Çin’de sı fırsız ilk ondalık sayı sistemi kullanılmaya başlandı MÖ 800 de en eski Hint Sulbasutraları Baudhayana tarafından yazıldı MÖ 750 de Manava bir Sulbasutra yazdıMatematik açıdan en ilgi çekici Hint Sulbasutrası Apastamba tarafından yazıldı

Thales

(MÖ624-MÖ547)
MÖ 575 de Thales Babil matematiğ ini Yunanistan’a getirdi MÖ624-MÖ547 arasında yaşamış olan Thales’in ataları Fenikeliler olup, Antik dönemin ünlü filozofudurMeşhur Miletos Okulu' nun kurucusudur Thales zamanımıza kadar intikal eden yazılı bir eser bırakmamıştır ancak düşünceleri öğrencileri yoluyla zamanımıza kadar gelmiştir

Thales’in ünlü olması
Thales' in astronomide kurucu kabul edilmesine ve üne kavuşmasına sebep olan olaylardan en önemlisi şudur:
Atina'da MÖ 28 Mayıs 585 tarihinde görülebilecek Güneş tutulma olayını, tutulmanın olmasından önce haber vermiştirThales' e büyük ün kazandıran bu olay aslında Babilliler tarafından daha önceden bilinmekte idi

Thales' in bu bilgiyi eski Mı sır ve Mezopotamya' dan elde ettiği bilinmektedir

Matematikçi olarak Thales
Matematikte kurucu addedilmesine sebep olan bilgileri de şunlardı: bir dairenin içine üçgen çizme probleminin çözümü cisimlerin (piramitlerin) gölgesi yardımıyla yüksekliğinin hesabı, üçgenlerin kenarları ile ilgili bağıntılar ters açıların eşitliği konusu, küresel üçgenlerin bazı özellikleri eşkenar üçgenlerin taban açılarının eşitliği teoremi

Fizikçi olarak Thales
Fizikte kurucu addedilmesine sebep olan bilgileri de şunlardır Bazı cisimlerin demir üzerindeki çekim etkisi, Nil Nehri'nin taşmasının nedenlerinin açıklanması

Thales’in Mısır ve Mezopotomya gezileri
Thales‘in bilimlerde kurucu unvanını almasını sağlayan bilgiler, Thales'ten 2000 yıl kadar önceleri Eski Mısırlılar ve Mezopotamyalılar tarafından bilinmekteydi Thales, eski Mısır ve Babil'e yaptığı gezileri sırasında, buralarda eski dönemlerin bilim ve tekniklerini dönemin bilginlerinden öğrenmiştir ve bu suretle Yunan felsefesinin, geometri ve astronomisinin gelişmesine başlangıç noktası olarak temel kavramlar edinmiştir

Thales’in yanlış

"saçma" olan şu görüşler de Thales 'e aittir: "Yeryüzü, suyun üstündedir ve suyun üstünde tahta parçası gibi durur, dalgalanır", "Kehribar da cisimleri çektiğ Thales’in kurmuş olduğu Miletos Okulu

Thales’in kurmuş olduğ u Miletos Okulu' nun öğrencileri olarak, Anaxımandros (MÖ 610-543) ve Anaximenes (MÖ 546 ) yetişmiştir Kaynaklar, Pisagor 'un da (MÖ Sisam 570 -****pante 500?) bu okulda yetiştiği ve Thales'in öğrencisi olduğunu belirtir

Pisagor (MÖ 596 - 500)

Samos'lu Pisagor'un, Milattan önce 596 yıllarında doğduğu tahmin ediliyor Doğumu gibi ölüm tarihi de kesin değildir Bugünkü adıyla bilinen Sisam Adasında 596 veya 582 yılında doğmuştur Hayatı hakkında çok az bilgiler vardır Bu bilgilerin birçoğu da kulaktan kulağa söylentiler biçiminde gelmiştir Fakat, önceleri doğduğu yer olan Sisam Adasında okuduğu, daha sonraları Mısır ve Babil'e giderek oralarda bilgilerini ilerlettiği ve ülkesine geri dönerek dersler verdiği söylenir Kendisinden önceki bilgilerin tümünü öğrenmiş ve derlemiştir Kendisi, bir Yunan filozofu ve matematikçisidir
Pisagor ve öğ rencileri
Ülkesinde hüküm süren politik baskılardan kaçarak, milattan önce 530 da İtalya’da Croton’a taşınır ve orada kendi açtığı ünlü okulunda matematik, geometri, müzik ve ruhun bir bedenden diğerine geçmesi alanlarındaki dersleri verir Bu okul aynı zamanda dini bir topluluk ve o zamanın politikasına oldukça egemendir Yine söylentilere göre, Pisagor'un matematik, fizik, astronomi, felsefe ve müzikte getirmek istediği yenilik, buluşlar ve gelişmeleri hazmedemeyen bir takım siyaset ve din yobazları halkı Pisagor'a karşı ayaklandırarak okulunu ateşe vermişler, Pisagor ve öğrencileri bu okulun içinde alevler arasında MÖ 500 yıllarında ölmüşlerdir Bu nedenle Pisagor ve yaptı kları hakkında çok az bilgi bize kadar gelmiştir Pisagor'un ve öğrencilerinin yaptıklarının birçoğu bu alevler arasında yok olup gitmiştir

Pisagor, MÖ altıncı yüzyılda, dünyanın güneş etrafında hareket ettiğini ileri sürdüğü zaman oldukça sert olan bir tepkiyle karşılaşmıştır O tarihlerde bu buluşlarını nasıl elde ettiği, yine bu devirlerdeki bilgilerin hangisinin Pisagor'a ait olduğu kesin olarak bilinmemektedir Hatta, okuldaki öğretim araçlarının masa üzerindeki ıslak kum olduğu söylenir Bu koşullar altı ndaki ilmi gerçeklerin tümü o zaman yazıya geçmediği için, birçoğu da zamanla kaybolup gitmiştir Bu nedenle, Pisagor'un okulu ve öğrencileri ile birlikte yanmalarından, eser bırakıp bırakmadığı da kesin olarak belli değildir

Geometride, aksiyomlar ve postülatlar her şeyden önce gelmelidir Sonuçlar bu aksiyom ve postülatlardan yararlanılarak elde edilmelidir düşüncesini ilk bulan ve ilk uygulayan matematikçi Pisagor'dur Matematiğe aksiyomatik düşünceyi ve ispat fikrini getiren yine Pisagor'dur Çarpım cetvelinin bulunuşu ve geometriye uygulanması, yine Pisagor tarafından yapıldığı söylenir En önemli buluşlarından biri de, doğadaki her şeyin matematiksel olarak açıklanması ve yorumlanması düşüncesidir Yaşayış ve inanışa, ilimle açıklama ve yorumlamayı o getirmiştir

Pisagor ve müzik
Müzik üzerine de çalış maları vardır Müzik tonlarının, telin uzunluğunun oranlarına bağlı olduğunu keşfetmiş ve bunun tüm sayılara yorumlamasını düşünmüştür Bir yerde bugünkü gerçel ekseni söylemeden düşünmüştür Bu da, bugünkü kullandığımız gerçel eksenin sayı sisteminde kullanılmasından başka bir şey değildir

Fakat, eski Yunan matematikçileri ilk zamanlar gerçel sayı ları bilmiyorlardı O zamanlar, rasyonel sayıları uzunlukları ölçmek için kullanıyorlardı Bunun için belli bir birim alıyorlar ve bu birime oranlayarak iki nokta arasındaki uzunluğu ölçüyorlardı Rasyonel sayılarla ölçülemeyen uzunluğun keşfi günümüzden 2600 yıl önce Yunan matematikçileri tarafından olmuştur Bu sonuç, halen değerini koruyan ve koruyacak olan ünlü Pisagor teoremine dayanır Pisagor teoremi, matematikteki en büyük buluşlardan biridir Hele zamanımızdan 2600 yıl önce bulunduğu göz önüne alınırsa, bundan daha büyük bir buluş düşünülemez

Pisagor'un adını 2600 yıldır andıran, onu ünlü yapan ve insanlığın varolduğu sürece de sonsuza kadar da andıracak meşhur Pisagor teoremi matematikte en meşhur teoremlerden biridir Bu teoremin çok sayıda farklı ispatı vardır (hatta 1876 yılında Başkan Garfield tarafından yapılan bir ispatı da vardır), ve şimdi artık bilinmektedir ki Pisagor’un (MÖ572) zamanından 1000 yıl önce Babilliler’in Pisagor teoremi hakkında bilgileri vardı Ancak genel bir ispatı için geometrinin gelişmesine gerek vardır ve Pisagor’un ilk ispatı elde ettiği kabul düşünülmektedir
Pythagor teoreminin çeşitli ispatları :
Pythagor teoremi
Eğer ABC üçgeni bir dik üçgen ise hipotenüsün karesi diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir
Aşağıdaki şekilde mor karelerin alanları toplamı turuncu karenin alanına eşittir

Pisagor teoremi, rasyonel sayılarla ölçülemeyen uzunlukların da varolduğunu gösterir Örneğin, dik kenarları birer birim olan bir dik üçgeni göz önüne alalım Geometrik olarak, bu özel hal için, Pisagor teoremi gerçeklenir Yani, büyük karenin alanı, dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanları toplamıdır Diğer bir deyimle, x2=2 olur Bu denklemin kökü de rasyonel olmayan karekök 2 uzunluğ udur Yunan matematikçileri gerçel sayıları bilmiyorlardı Üstün zekalı Eudoxos tarafından bulunan oranlama yöntemini kullanıyorlardı On tabanına göre sayıların sayılması ve yazılması, büyük bir olasılıkla iki eldeki parmakların sayılmasından doğmuştur Şu sıralarda bile ilkel yaşam sürdüren bazı kabilelerde buna benzer sayma yöntemi vardır On tabanına göre sayıların yazılması ve okunması, Avrupa'ya Arap dünyasından gelmiştir Bunu Araplar Hintlilerden aldılar

"Evrenin hakimi sayı Pisagor’un Mısır ve Babil Gezileri

Pisagor hem mistik ve hem de matematikçidir Mistik tarafları çoktur Bunlar, efsaneleşmiş bir biçimde destan olarak anlatılmış, evren hakkında bu günkü gerçeklere uymayan düşünceler de ileri sürmüştür Bunları bir tarafa bırakırsak, yine yaşadığı çağa göre matematikçi yönü çok ağır basar Pisagor, Mısır'da ve Babil'de çok gezmiştir Rahiplerden ve imparator katiplerinden ilim öğrenmiş Çok tanrılı olan o zamanın dini inançlarını benimsedi
Yunan matematikçilerinin bilim dünyasını yanlış yönlendirmesi

Pisagor ve bazı Yunan filozofları, örneğin, Euclides, Eflatun ve Aristo gibi alimleri, yaşadığı devirlerde, bugün için bilinen ilmi gerçeklerde hataya düşmüşlerdir Bu filozofların felsefeleri, modern matematiğin kurucusu Descartes (1596-1650) ve Newton (1564-1642) kadar, modern fiziğin kurucusu Galile (1564-1642) ve modern kimyanın kurucusu olan Lavoisier (1743-1794) zamanına kadar iki bin yıllık bir gecikmeye nedenolmuşlardır

Medeniyetin 2000 yı

Eğer Yunan'lılar Euclides, Eflatun ve Aristo yerine Archimedes'i izlemiş olsalardı, Descartes, Newton, Galile ve Lavoisier'in kurdukları modern ilme iki bin yıl önce ulaşır ve bugün içinde bulunduğumuz medeniyete iki bin yıl önce varılırdı Yani, Archimedes'le Newton, Galile ve Lavoisier arasında tam iki bin yıllık bilimsel boşluk vardır Bu boşluk da kolay kolay doldurulamaz Bu nedenle, Yunan'lıların medeniyetin ilerlemesine iki bin yıllık bir gecikmeye sebep oldukları bir gerçektir
Baskıcı rejimlerde bilimin ilerleyemeyişi

Avrupa'da uzun yı llar egemen olan ve hüküm süren skolastik düşüncenin temeli Yunanistan'da atılmış ve İtalya'da geliştirilmiştir Bu nedenle de uzun yıllar bu skolastik düşünce yenilememiştir Bu uğurda çok sayıda ilim adamı yok edilmiştir

Pisagor'dan önce, geometride, şekillerin araları Bu sayılar, 1, 2, 3, şeklinde bugün bildiğimiz doğal sayılardı Daha sonra, kendi kendine bir çelişkiye düştüğünü, tamsayıların hatta rasyonel sayıların bile matematiğe yetmediğini, kendi adıyla anılan Pisagor teoremiyle gördü Buna bir süre karşı da çıktı Fakat, sonunda bu yenilgiyi kabul etmesini de bildi Olay karekök 2 şeklinde rasyonel bir uzunluğun olmaması problemidir Halbuki Pisagor teoremine göre böyle bir uzunluk vardır Pisagor'un kuramını yıkan problem, a2=2b2 denklemini gerçekleyen a ve b gibi iki tamsayıyı bulmak olanaksızdır Pisagor'un karşılaştığı ikinci güçlük, bir karenin kenarının köşegenine bölümünün rasyonel bir sayı olmayışıdır Bu söylediğimiz, a2=2b2 denkleminde adı geçen olaya eşdeğer olduğu açıktır

Bu problemi bugünkü matematik diliyle söylersek, karekök 2 sayısı irrasyonel bir sayıdır İşte, karenin köşegeni gibi basit bir uzunluk, Pisagor'un doğal sayılar kümesine meydan okuyarak, Pisagor'un ilk felsefe kuramını yalanlamıştır Böylece, hiç bir zaman tekrar etmeyen sonsuz ondalıklı olan irrasyonel sayı bulunmuş olunur Pisagor'un bu buluşu, modern analizin kökünü keşfetmiştir Bu problem bir yerde, sıfır ile iki sayısı arasını rasyonel sayılarla kaplayabilir miyiz sorusunu doğurur Yanıt hemen hayır olacaktır Çünkü, 0<<2 eşitsizliğ ini sağlayan karekök 2 sayısı rasyonel değildir 1,41 ile 1,42 sayıları arasında rasyonel olmayan bir sayıdır

İşte, sayı doğrusu üzerinde rasyonel sayılarla sıfır sayısından iki sayısına sürekli olarak gitmek mümkün diyenlerle, mümkün değildir diyenler arasında uzun yıllar tartışma olmuştur 20 yüzyılda çıkan Brouwer'e kadar bu tartışma çeşitli şekillerde karşımıza çıkmıştır Mümkün değil diyenler hiç bir ilerleme göstermeden yerinde saymışlar ve az hata yapmışlar fakat, mümkün diyenlerse çalışarak ve biraz da fazla hata yaparak bugünkü modern matematiğe ulaşmışlardır
Aristaeus (MÖ 340)
İki tane Aristaeus olduğunu Pappus un kaynak göstermesinden biliyoruz Aristaeus un Koniklerle ilgili Beş Kitap adlı çalışmasını Pappus kullanmış ancak sonra Aristaeus un bu çalışması kaybolmuştur