Diferansiyel Ve İntegral Hesap

Diferansiyel Ve İntegral Hesap


Bugün matematiğin en önemli dallarından biri olan analizin temel yöntemlerinden biri diferansiyel, öbürü de integraldir Bu yöntemlerin bulunması ve analizin doğuşu 17 yüzyıla rastlar O yüzyılda çeşitli fizik problemlerinin çözümünü arayan, özellikle gökcisimlerinin hareketini açıklamaya çalışan bilim adamları bilinen matematik yöntemlerinin yetersiz kaldığını fark ettiler

Örneğin bir cismin hareketi ile hızı arasındaki bağıntıları bulabilmek ya da temel geometrik şekillerden çok daha karmaşık bazı kapalı bölgelerin alanını hesaplayabilmek için yeni yöntemler gerekiyordu 1676'da Alman matematikçi Gottfried von Leibniz ve gene aynı yıllarda İngiliz bilim adamı Sir Isaac Newton'ın temellerini attıkları diferansiyel ve integral hesap bu eksikliği kapatacak olan analizin doğuşunu hazırladı Sonraki yıllarda sayısız bilim adamının katkılarıyla gelişen ve giderek matematiğin en önemli dalı haline gelen analizin fizik, kimya ve bütün mühendislik bilimlerinin gelişmesinde çok büyük rolü olmuştur

Diferansiyel ve integral hesap yöntemleri olmasaydı bugünkü teknik gelişmelere ulaşılamazdı
Diferansiyel hesap, belirli bir zaman aralığının her anındaki hareketi tanımlanabilen hareketli bir cismin hızını ve ivmesini hesaplama olanağı verir Hız, bir hareket noktasından başlayarak belirli bir zaman içinde alınan yolun (ya da uzaklığın) ölçümüdür; ivme ise hızın zaman içindeki değişimini gösterir Örneğin duran bir otomobil harekete geçer ve hızlanarak yol alırsa, otomobilin zaman içinde başlangıç noktasından ne kadar uzaklaştığını gösteren eğri şekil 1'dekini andırır İlk kalkışta başlangıç noktasından yavaş yavaş uzaklaşan otomobil hızını artırdıkça bu noktadan daha çabuk uzaklaşmaya başlar

Bu eğrinin eğimi otomobilin hızını gösterdiği için taşıt ne kadar hızlanırsa eğim de o kadar artacaktır Eğer otomobilin zaman içinde aldığı yolu değil hızını gösteren bir grafik çizersek (şekil 2), bu kez eğrinin eğimi otomobilin ivmesini gösterir Otomobil 1 vitesle harekete geçerken hızı çok çabuk değişeceğinden, kalkış anında ivme en yüksek değerine ulaşır Sonra her vites değiştirişte ivme azalır; yani hız başlangıçtaki gibi birdenbire değil daha yavaş artar 4 vitese geçildiğinde otomobil yeniden vites değiştirinceye kadar hep aynı hızla yol alacağından ivme sıfıra düşer ve eğri yatay duruma gelir

Hız ve ivme gibi değişken büyüklükleri çok kesin olarak hesaplama olanağı veren bu yöntemden astronomide gezegenlerin ve uyduların yörüngelerini, balistikte bir merminin izleyeceği yolu hesaplamak için yararlanılabilir


İntegral hesap, diferansiyel hesabın tersine, ivmesi bilinen hareketli bir cismin hızını ya da konumunu hesaplamaya yarar Bu tür değişken büyüklükleri integral yöntemiyle hesaplamanın temeli, bir büyüklüğü giderek küçülen ve sıfıra yaklaşan parçaların bütünü olarak düşünmeye dayanır Eski Yunan matematikçilerinin dairenin alanını hesaplamak için uyguladıkları yöntem bu düşüncenin çıkış noktası olmuştur Bir daireyi merkezinden geçen doğru parçalarıyla dilimlere ayırıp, bu dilimleri şekil 3'teki gibi yan yana dizelim Daireyi daha çok dilime böldüğümüzde her dilim giderek incelecek ve neredeyse birer çizgi boyutuna inen bu dilimlerin yan yana dizilmesiyle oluşan şekil kabaca bir dikdörtgene dönüşecektir

Bu dikdörtgenin yüksekliği aşağı yukarı dairenin yarıçapına (r), genişliği ise dairenin çevresinin (Ç) yarısına eşittir Çünkü dairenin çevresi dikdörtgenin alt ve üst kenarları arasında bölünmüştür Demek ki bu dikdörtgenin alanı A = r x VıÇ biçiminde yazılabilir Dairenin çevresi 2nr olduğuna göre, bu değeri A = r x VıÇ eşitliğinde yerine koyarsak dikdörtgenin ve dolayısıyla dairenin alanı A = r x Vı Itîy ya da ırr olur

Bir daireyi 8, 10, 24 gibi sonlu sayıda dilime ayırarak alanını hesaplamak klasik bir geometri yöntemidir Ama dilim sayısı sonsuza ulaştığında bu dilimlerin toplam değerini veren integral yöntemi artık bir alan hesabı olmaktan çıkarak bütün değişken büyüklüklere uygulanabilir