Rasyonel Sayılarda Dört İşlem - Rasyonel Sayılarda Dört İşlem Soru-Cevap Örnekleri

Rasyonel sayılarda dört işlem - Rasyonel sayılarda dört işlem soru-cevap örnekleri
Rasyonel sayılarda dört işlem - Rasyonel sayılarda dört işlem soru-cevap örnekleri

Oranlı Sayılar , (rasyonel sayılar veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardırOranlı sayılar kümesi, tam sayıların bir genişlemesidir ve ile gösterilir kümesi genelde şöyle tanımlanır:

(a ve b tam sayı ve sıfır olmamak üzere a/b şeklindeki sayılara oranlı sayı denir)
ve veya eşdeğer oranlı sayılardır Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir Oranlı sayıların en basit formu ve tamsayılarının ortak böleninin olmadığı veya veya , tam sayılar kümesi 'yi kapsar Yani Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir Böylece her denklik sınıfı bir oranlı sayı olarak anılır kümesinden seçilmiş keyfî (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" bağıntısı olarak tanımlansın Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir Bu durumda, denklik sınıfları olurlar Oranlı sayı ise basitçe şeklinde tanımlanırTanımda paydanın sıfır olmama şartı ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdırSıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denirPozitif rasyonel sayılar kümesi ile gösterilir Negatif rasyonel sayılar kümesiile gösterilir ifadesidir Her tam sayı oranlı sayıdır Çünkü şeklinde yani oranlı sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirlerOranlı sayılar kümesi

Örneğin



Dörde bölünüp, dörtte biri kesilip alınmış ve geri kalan dörtte üçü gösterilen bir yuvarlak pasta

Yandaki şekilde,bir bütün yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi olarak görülmektedir Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan eksikdir Geriye kalan, dört eşit parçaya bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3de 4 oranı) veya (kesiri)dir Bu ifadesi şeklinde gösterilir Burada ifadede kesir çizgisinin üstündeki değere (yani 3e) pay, kesir çizgisinin altındaki değere (yani 4’e) payda denir Bu kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur
Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi

• Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse, paydalar eşitlenir Payların mutlak değerleri toplamı paya yazılırOrtak payda,paydaya yazılırtoplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir
• Tam sayılı kesirler toplanırken , bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır

Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi

• Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenirpayların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılırOrtak payda ,paydaya yazılırtoplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir

Kapalılık özelliği

• İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır

Toplamsal birim öğe (Etkisiz eleman özelliği)

• bir oranlı sayı ise olduğunda toplamanın birim öğesidir ve ile gösterilir
• ”0” tam sayısına, rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir

Toplamsal tersinir öğe

• ve iki oranlı sayı olsun Eğer ise bu iki sayı birbirinin toplamsal tersidir
• Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir

Toplamada değişme özelliği

• Rasyonel sayılar kümesinde,toplama işleminin değişme özelliği vardır

Toplamada birleşme özelliği

• Rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır

Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma) Çarpma belitleri

• İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır
• Tam sayılı kesir biçiminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilirSonra çarpma işlemi yapılır
• Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır

Örneğin

Kapalılık özelliği

• İki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır

Yutan eleman

• Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır ”0”sayısına ,çarpma işleminin yutan elemanı denir

Çarpımsal birim öğe (Etkisiz eleman)

• bir oranlı sayı ise olduğunda çarpmanın birim öğesidir ve ile gösterilir
• rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir

Çarpımsal tersinir öğe (Ters eleman)

• ve iki oranlı sayı olsun Eğer ise bu iki sayı birbirinin çarpımsal tersidir
• , Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir

Çarpmada değişme özelliği

• Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır

Çarpmada birleşme özelliği

• Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır

Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma)

• , Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır

Çarpma işleminin çıkarma işlem üzerine dağılma özelliği

• , Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır

Çıkarma belitleri

İki rasyonel sayının farkı bulunurken, eksilen rasyonel sayı,çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersidir
Yukarıda verilen örneğe göre iki rasyonel sayının farkı,yine bir rasyonel sayıdırBuna göre rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır

Bölme belitleri

• İki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken, bölünen rasyonel sayı , bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılırElde edilen çarpım bölümü verir
• Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif; ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır

• +1 tam sayısının , bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm,bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir
• (-1) tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir
• Bir rasyonel sayının , +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , rasyonel sayının kendisine eşittir
• Bir rasyonel sayının,(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir
• Sıfır sayısının , sıfırdan farklı olan her rasyonel sayıya bölümü ”0” dır
• Bir rasyonel sayının sıfıra bölümü tanımsızdır
• Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminde , doğal sayılar ve tam sayılar kümesindeki bölme işleminde olduğu gibi; ”bölünen = pay payda” ilişkisi vardır
• Rasyonel sayılar kümesi , bölme işlemine göre kapalıdır
• Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin değişme özelliği yoktur
• Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin birleşme özelliği yoktur

Oranlı sayıların eşitliği

İki oranlı sayının eşitliği, o sayıların pay ve paydalarının oranlı olmasıyla anlaşılır olmak üzere ve iki oranlı sayı ise bu iki sayı ancak olduğunda eşittir
Bu koşul, yukarıdaki tanımdan çıkarsanabilir İki oranlı sayı aynı denklik sınıfındaysa birbirine eşittir, Denklik bağıntısı da zaten koşulunu içermekteydi