Özdeşlik Nedir? Özdeşlikler Ve Binom Açılımı - Özdeşlik Neye Denir?

Özdeşlik Nedir? Özdeşlikler ve Binom Açılımı - Özdeşlik Neye Denir?
Özdeşlik Nedir? Özdeşlikler ve Binom Açılımı - Özdeşlik Neye Denir?

Özdeşlikler ve Binom Açılımı
Kısa kenar uzunluğu 2 birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgenin
alanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu 2,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birim
olan bir dikdörtgenin alanının ise 7,2 birim kare olduğunu biliyoruz Burada dik-
dörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluk-
larını çarpıyoruz Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz ve
amacımız dışındadır Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gere-
kir Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıfla-
rında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden ol-
muştur Dikdörtgenin alanının bulunmasıile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç bi-
rim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar
uzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenar
uzunluğu olmak üzere A = xy şeklinde kısaca ifade edebiliriz Benzer şekilde yarı-
çapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r
2
şeklinde ifade edebiliriz Alan
formülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlem
yapma imkanı da sağlamaktadır Örneğin
"bir dikdörtgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanı ne
kadar değişir?"
sorusuna kolayca cevap verebiliriz

Kenar uzunluklarıx ve y birim olan bir dikdörtgenin x birim uzunluğundaki kenar-
larının uzunlukları 1 birim artırılsın Bu durumda yeni dikdörtgenin kenar uzun-
lukları x +1 ile y birim olduğundan alanı (x + 1) y = xy + y birim kare olur Dikdört-
genin alanındaki değişme miktarı, son alan ile ilk alan arasındaki fark olduğundan,
bu fark xy + y - xy = y birim karedir Buna göre bir dikdörtgenin ayrıtlarından biri-
sinin uzunluğu 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, diğer
kenarın uzunluğu kadar birim karedir diyebiliriz
Yukarıdaki soruya x,y gibi harfleri kullanmadan cevap vermeye çalışınız
Bu tip sorulara kelimelerle, sözlerle cevap vermek genellikle kolay değildir Keli-
meler, sözler yerine harfleri ve sembolleri kullandığımızda bu tür sorulara daha ko-
lay cevap verebiliriz Harfler ve semboller içeren ifadelere cebirsel ifadeler diyece-
ğiz
Örneğin,
xy, πr
2
, 2x + 5 , 3x
2
- 4x +1,
şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili topla-
ma, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet alma, kök alma gibi
işlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bu-
lunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,,t gibi harflere de değişken
veya bilinmeyen diyoruz Cebirsel ifadelerde değişkenler yerine sayılar yazılıp
gerekli işlemler yapılarak ifadenin sayısal değeri bulunur Örneğin 3x
2
- 4x +1 ifade-
sinin x = -2 için sayısal değeri 3(-2)
2
- 4(-2) + 1 = 12 + 8 +1 = 21 dir
İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu iki
ifadeye özdeştir diyoruz Örneğin x
2
- 1 ile (x - 1)(x + 1) ifadesini ele alalım İkinci
ifadedeki çarpma işlemini ve gerekli kısaltmaları yaparsak,
(x -1)(x + 1)= xx + x1 - 1x -11 = x
2
- 1
buluruz Dolayısıyla her x gerçel sayısı için
x
2
- 1 = (x - 1)(x + 1)
dır Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz
Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir
İki ifadenin özdeşliği ≡ işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde bu
işaret yerine = işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir

?
x
2
+ 1,
x + 1
x
2
+ 1
, 3x
2
- y
2
+ 2, x
2
+ y
3
3
,
1
2
gt
2

x + y ifadesinin pozitif tam kuvvetleriyle ilgili özdeşlikler sıkça kullanılmaktadır
Şimdi bu özdeşlikleri ele alalım
(x + y)
2
= (x + y) (x + y) = xx + xy + yx + yy = x
2
+ 2xy + y
2
olduğundan
dir
x ve y pozitif gerçel sayı olduğunda bu özdeşliğin (eşitliğin) doğruluğunu geomet-
rik olarak da görmek mümkündür Bunun için (x + y)
2
sayısını, bir kenar uzun-
luğu x + y olan bir karenin, x
2
ile y
2
yi de sırasıyla bir kenar uzunluğu x ve y
olan karelerin alanlarıolarak düşünebiliriz Buna göre özdeşliğin doğruluğu aşağı-
daki şekilden kolayca görülebilir
Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazarsak aşağıdaki özdeşliği elde ederiz
x > y > 0 için bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki şekilden görmeye çalışınız
Ö Z D E Ş L İ K L E R , D E N K L E M L E R V E E Ş İ T S İ Z L İ K L E R
39
Her x , y ∈ IR için (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
2
y
x
x
y
x
y
y
x
xy
y
2
xy
x
2
Her x , y ∈ IR için (x - y)
2
= x
2
- 2xy + y
2
Page 6
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Bir diğer özdeşlik,
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için sağ taraftaki çarpma işlemini yapmak ye-
terlidir x ve y nin pozitif sayı olması durumunda bu özdeşliğin doğruluğunu geo-
metrik olarak da görmek mümkündür
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için
(x + y)
3
= (x + y)
2
(x + y) = (x
2
+ 2xy + y
2
)(x +y)

y
y
y
y
x
xy
xy
x - y
x - y
y
y
x
x
y
2
x
2
Şekil 21
Her x , y ∈ IR için x
2
- y
2
= (x - y) (x + y)
x
x - y
y
y
A
B
C
D
y
2
x - y
2
2
x
y
x - y
2
2
x + y
A
B
C
D
Şekil 22
Her x , y ∈ IR için (x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3

çarpma işlemini yapmak yeterlidir Bu özdeşliği pozitif x ve y için geometrik olarak
doğrulamak için aşağıdaki şekli inceleyiniz

Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazılırsa,
bulunur
Her zaman karşımıza çıkan,
özdeşliklerini de unutmamalıyız
Son iki eşitlikte sağtaraftaki çarpma işlemi yapılarak özdeşliğin doğruluğu ispatla-
nabilir Bunlara benzer şekilde
(x + y)
4
= (x + y)( x + y)
3
= (x + y)(x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
)
= x
4
+3x
3
y +3x
2
y
2
+ xy
3
+ yx
3
+3x
2
y
2
+3xy
3
+ y
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
dır O halde,
(x + y)
2
, (x + y)
3
, (x + y)
4
ifadelerinin açılımları , n doğal sayı olmak üzere (x +
y)
n
nin Newton Binom Açılımı’nın (formülünün) özel halleridir Bu açılım,
şeklindedir Bu özdeşlik tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir
Burada olduğu gibi k∈ IN olmak üzere 1234k çarpımına k faktöriyel denir
ve k! şeklinde gösterilir Örneğin 3! = 123 = 6, 5!=12345 = 120 dir
0! = 1 olarak tanımlanır Faktöriyel tanımından sonra Binom Açılımınışöyle yazabi-
liriz

Her x , y ∈ IR için (x - y)
3
= x
3
- 3x
2
y + 3xy
2
- y
3
Her x, y ∈ IR için (x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
x + y
n
= x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n n - 1
12
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
123
x
n-3
y
3
+
+
n n - 1 n - 2 n -3 n - k + 1
123k
x
n-k
y
k
+ +
n n - 1 21
123n
y
n
Her x , y ∈ IR için x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
- xy +y
2
)
Her x , y ∈ IR için x
3
- y
3
= (x - y)(x
2
+ xy +y
2
)

Binom formülü biraz karmaşık gibi görünse de uygulaması oldukça kolaydır For-
mülden de açıkça görüldüğü gibi, bu açılımda;
i) terim sayısı n + 1 dir,
ii) ilk terim x
n
dir ve x in kuvvetleri birer birer azalırken y nin kuvvetleri birer
birer artar ve son terim y
n
olur,
iii) her terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n dir,
iv) baştan k + 1 -inci terim, A katsayı olmak üzere Ax
n-k
y
k
dır ve burada A kat-
sayısının payın den başlayan birer birer azalan k tane tamsayının çarpımı, pay-
dası ise k! dir
Örnek:
= x
10
+ 10 x
9
y + 45 x
8
y
2
+ 120 x
7
y
3
+ 210 x
6
y
4
+ 252 x
5
y
5
+ 210 x
4
y
6
+ 120 x
3
y
7
+ 45 x
2
y
6
+10 x y
9
+ y
10

Örnek :
(2y)
2
= 2
2
y
2
= 4y
2
, (2y)
3
= 2
3
y
3
= 8y
3
, (2y)
4
=2
4
y
4
= 16y
4
olduğundan
(x + 2y)
4
= x
4
+ 8x
3
y + 24x
2
y
2
+ 32xy
3
+ 16y
4
dir Bu açılımda ikinci terimin 2y olduğuna ve 2y nin kuvvetlerinin alındığına dik-
kat ediniz

x + y
n
= x
n
+
n
1!
x
n-1
y +
n n - 1
2!
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
3!
x
n-3
y
3
+
+
n n - 1 n - 2 n -3 n - k + 1
k!
x
n-k
y
k
+ + y
n
x + y
10
= x
10
+
10
1
x
9
y +
109
12
x
8
y
2
+
1098
123
x
7
y
3
+
10987
1234
x
6
y
4
+
109876
12345
x
5
y
5
+
1098765
123456
x
4
y
6
+
10987654
1234567
x
3
y
7
+
109876543
12345678
x
2
y
8
+
1098765432
123456789
xy
9
+ y
10
x + 2y
4
= x
4
+
4
1
x
3
2y +
43
12
x
2
2y
2
+
432
123
x 2y
3
+
4321
1234
2y
4
= x
4
+ 4x
3
2y + 6x
2
2y
2
+ 4x 2y
3
+ 2y
4
Page 10
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Örnek :
= 32x
5
– 80 x
4
y + 80x
3
y
2
- 40x
2
y
3
+ 10xy
4
– y
5

Burada da birinci terimin 2x, ikinci terimin –y olduğuna ve bunların kuvvetlerinin
alındığına dikkat ediniz
Örnek:
1002 998 = (1000 + 2)(1000 – 2) =1000
2
– 2
2
= 1000 000 – 4 = 999 996
Örnek :
47
2
= (50 – 3)
2
= 50
2
- 2503 + 3
2
= 2500 - 300 + 9 =2209 ,
veya
47
2
= (40 + 7)
2
= 40
2
+ 2407 +7
2
= 1600 + 560 + 49 = 2209
Örnek:
Toplamaları 50, çarpımları 481 olan iki gerçel sayının kareleri toplamı kaçtır?
Bu sayılardan birincisine x, ikincisine y diyelim Buna göre x + y = 50 , xy = 481 olur
Diğer taraftan (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
= (x
2
+ y
2
) + 2xy olduğundan
50
2
= (x
2
+ y
2
) + 2 481 olur Buradan da x
2
+ y
2
= 50
2
- 962 = 2500 - 962 = 1538
bulunur
Binom açılımında baştan k+1 -inci terimin katsayısının
olduğunu belirtmiştik Bu sayı kısaca
şeklinde de gösterilir Buna göre
dir Özel olarak
alınır Buna göre örneğin
dir

2x - y
5
= 2x + -y
5
= 2x
5
+
5
1!
2x
4
-y +
54
2!
2x
3
-y
2
+
543
3!
2x
2
-y
3
+
5432
4!
2x -y
4
+ -y
5
n n - 1 n - 2 n - k + 1
1234k
n
k
n
k
=
n n - 1 n - 2 n - k + 1
1234k
=
n n - 1 n - 2 n - k + 1
k!
n
0
= 1
4
0
= 1,
4
1
=
4
1
= 4,
4
2
=
43
12
= 6,
4
3
=
432
123
= 4,
4
4
=
4321
1234
= 1

yazılabilir Bu ifadenin sağ tarafında payın 1234 n = n! , paydanın ise
(123k)[123(n-k)] = k! (n-k)! olduğu görülebilir Bu kısaltmalardan sonra,
şu şekilde yazılabilir:
Bu gösterimden sonra Binom formülünü şöyle de ifade edebiliriz
Örnek:
= x
7
+ 7x
6
y + 21x
5
y
2
+ 35x
4
y
3
+ 35x
3
y
4
+ 21x
2
y
5
+ 7xy
6
+ y
7

Örnek:
(x + y)
11
in Binom açılımında x
4
y
7
teriminin katsayısı kaçtır?
Çözüm:
Binom açılımında x
n-k
y
k
teriminin katsayısı
dır Burada k nın y nin kuvveti
olduğuna dikkat ediniz Buna göre, x
4
y
7
nin katsayısı
dır
Şimdi (x + y) nin pozitif tam kuvvetlerinin açılımlarıile bu açılımlardaki katsayılara
birlikte bir göz atalım

n n - 1 n - k + 1
123k
=
n n - 1 n - 2 n - k - 1
1234k

n - k n - k + 1 n - k + 2 n - n - 2 n - n - 1
n - k n - k + 1 n - k + 2 n - n - 2 n - n - 1
n
k
n
k
=
n !
k ! n - k !
, n ∈ IN , k ∈ IN
x + y
7
=
7
0
x
7
+
7
1
x
6
y +
7
2
x
5
y
2
+
7
3
x
4
y
3
+
7
4
x
3
y
4
+
7
5
x
2
y
5
+
7
6
xy
6
+
7
7
y
7
= x
7
+
7!
1!6!
x
6
y +
7!
2!5!
x
5
y
2
+
7!
3!4!
x
4
y
3
+
7!
4!3!
x
3
y
4
+
7!
5!2!
x
2
y
5
+
7!
6!1!
xy
6
+
7!
7!0!
y
7
n
k
11
7
=
11!
7!4!
= 330
x + y
n
=
n
0
x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n
2
x
n-2
y
2
+ +
n
k
x
n-k
y
k
+ +
n
n
y
n
, n ∈ IN , k ∈ IN

(x + y) = x + y
1 1
(x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
1 2 1
(x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
1 3 3 1
(x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
1 4 6 4 1
(x + y)
5
= x
5
+ 5x
4
y + 10x
3
y
2
+ 10x
2
y
3
+ 5xy
4
+ y
5
1 5 10 10 5
1
(x + y)
6
= x
6
+ 6x
5
y + 15x
4
y
2
+ 20x
3
y
3
+ 15x
2
y
4
+ 6xy
5
+ y
6
1 6 15 20 15 6 1


Yukarıda katsayıların oluşturduğu üçgen biçimindeki tablodan açılımla ilgili şu
özellikleri görüyoruz Bu açılımlarda n satırda ilk katsayı 1, ikinci katsayı n, diğer
katsayılar ise bir üst satırda o katsayının üstündeki sayı ile onun solundaki sayının
toplamıdır Örneğin üçüncü satırdaki 3, üstündeki 2 ile 2 nin solundaki 1 in toplamı-
na, 6-ıncı satırdaki ikinci 15 de üstündeki 5 ile 5 in solundaki 10 nun toplamına eşit-
tir Bu kural diğer bütün katsayılar için de geçerlidir Bunun doğruluğunu tablodan
kolayca görebilirsiniz Bu üçgende 7-inci satır, x + y nin 7-inci kuvvetinin açılımın-
daki katsayılardan oluşacaktır 6-ıncısatırdaki katsayılar bilindikten sonra 7-inci sa-
tırdaki katsayılar, yukarıda açıklamaya çalıştığımız kuralla kolayca bulunabilir Bu
katsayılar, 1,7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 dir Binom açılımında katsayıların bulunmasında ol-
dukça kolaylık sağlayan bu tabloya Pascal Üçgeni denilmektedir x + y nin n-inci
kuvvetinin açılımındaki katsayılarıPascal üçgeni ile bulabilmek için (n-1)-inci kuv-
vetin açılımındaki katsayıların (yani Pascal Üçgeninde n-1 -inci satırın) bilinmesi
gerekmektedir Bu n büyüdükçe Pascal üçgeninin uygulanabilirliğini kısıtlayan bir
özelliktir